induktive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] wird induktiv definiert durch [mm] a_{1}=2 [/mm] und [mm] a_{n+1}=\bruch{1}{2}*(a_{n}+\bruch{2}{a_{n}}).
[/mm]
Man beweise: Für je n aus [mm] \IN [/mm] gilt [mm] (a_{n})^{2}>2. [/mm] |
Hallo!
Ich glaube, die Aufgabe ist recht einfach durch Induktion zu lösen, aber ich komme an einer Stelle nicht weiter:
IA: für n=1 [mm] (a_{1})^{2}=4 [/mm] >2.
IV: Sei [mm] (a_{n})^{2}>2 [/mm] für ein n gezeigt.
IS: n-> n+1
[mm] (a_{n+1})^{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}*(a_{n}+\bruch{2}{a_{n}})^{2}
[/mm]
--> bin. Formel: [mm] =1/4*((a_{n})^{2}+4+4/(a_{n})^{2})
[/mm]
so weiter komme ich leider nicht.
Ich hab das auch ausmultipliziert, aber ich kann dann irgendwie immernoch nicht aussagen, dass es > 2 sein muss:-(.
Vielleicht kann mir ja jemand einen Tipp geben, wie ich an dieser Stelle weiter machen muss.
Vielen Dank und viele Grüße,
Jana
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
du hast also schon gezeigt, dass [mm] a_{n+1}=\bruch{1}{4}*\left((a_n)^2+4+\bruch{4}{(a_n)^2}\right) [/mm] . Nun ist nach der Induktionsvoraussetzung [mm] (a_n)^2>2 [/mm] ... Naja, du hast auf der rechten Seite doch nur noch [mm] a_n's [/mm] stehen, wie groß ist denn der klammerterm mindestens ? Bedenke, dass der Term [mm] \bruch{4}{(a_n)^2} [/mm] nie wirklich null wird.
Lg
|
|
|
|
