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inhomogene DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:11 Di 28.12.2010
Autor: zocca21

Aufgabe
Bestimmen sie alle reelen Lösungen:

y'' + y' = 2x + 10 cos(2x)

Bin wirklich interessiert wie nun das ganze von statten geht:

Ich habe mal angefangen mit Hilfe von Internet und Skript das ganze zu berechnen.

Zunächst habe ich das ganze als homogen betrachtet:

y'' + y' = 0

So bin ich auf meine Eigenwerte [mm] \lambda_1 [/mm] = 0 und  [mm] \lambda_2 [/mm] = -1 gekommen.

Das Fundamentalsystem ist ja dann: [mm] f_1(x) [/mm] = 1 und [mm] f_2(x) [/mm] = [mm] e^{-x} [/mm]

[mm] f_h(x) [/mm] = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2 *e^{-x} [/mm]

nun muss ich ja eine Variation der Konstanten machen, von der ich nicht genau weiß wie sie abläuft.

Ich habe nun fp(x) = [mm] Cp_1(x) [/mm] + [mm] Cp_2(x)*e^{-x} [/mm]

f'p(x) = [mm] C'p_1(x) [/mm] + [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] - [mm] Cp_2(x)*e^{-x} [/mm]

f''p(x) = [mm] C''p_1(x) [/mm] + [mm] C''p_2(x)*e^{-x} [/mm] - [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] - [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] + [mm] Cp_2(x)*e^{-x} [/mm]

Nun einsetzen in die DGL:

[mm] C''p_1(x) [/mm] + [mm] C''p_2(x)*e^{-x} [/mm] -2 [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm]  + [mm] Cp_2(x)*e^{-x} [/mm] + [mm] Cp_1(x) [/mm] + [mm] Cp_2(x)*e^{-x} [/mm] = 2x + 10cos(2x)

Nun habe ich gelesen aber dass man fordert: dass in f'p(x): [mm] C'p_1(x) [/mm] + [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] = 0 wird

und in f''p(x):  [mm] C''p_1(x) [/mm] + [mm] C''p_2(x)*e^{-x} [/mm] - [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] - [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] = 0

Ist das korrekt? Und warum wäre das so..
Dann hätte ich ja nur noch

[mm] 2C_p2(x)*e^{-x} [/mm] + [mm] Cp_1(x) [/mm] = 2x + 10cos(2x)

Wie ist denn das allgemeine vorgehen bei der Variation der Konstanten?

Vielen Vielen Dank...ich bekomm das nicht gebacken

        
Bezug
inhomogene DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Di 28.12.2010
Autor: MathePower

Hallo zocca21,


> Bestimmen sie alle reelen Lösungen:
>  
> y'' + y' = 2x + 10 cos(2x)
>  Bin wirklich interessiert wie nun das ganze von statten
> geht:
>  
> Ich habe mal angefangen mit Hilfe von Internet und Skript
> das ganze zu berechnen.
>  
> Zunächst habe ich das ganze als homogen betrachtet:
>  
> y'' + y' = 0
>  
> So bin ich auf meine Eigenwerte [mm]\lambda_1[/mm] = 0 und  
> [mm]\lambda_2[/mm] = -1 gekommen.
>  
> Das Fundamentalsystem ist ja dann: [mm]f_1(x)[/mm] = 1 und [mm]f_2(x)[/mm] =
> [mm]e^{-x}[/mm]
>  
> [mm]f_h(x)[/mm] = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2 *e^{-x}[/mm]


[ok]


>  
> nun muss ich ja eine Variation der Konstanten machen, von
> der ich nicht genau weiß wie sie abläuft.
>  
> Ich habe nun fp(x) = [mm]Cp_1(x)[/mm] + [mm]Cp_2(x)*e^{-x}[/mm]
>  
> f'p(x) = [mm]C'p_1(x)[/mm] + [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] - [mm]Cp_2(x)*e^{-x}[/mm]
>  
> f''p(x) = [mm]C''p_1(x)[/mm] + [mm]C''p_2(x)*e^{-x}[/mm] - [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] -
> [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] + [mm]Cp_2(x)*e^{-x}[/mm]
>  
> Nun einsetzen in die DGL:
>  
> [mm]C''p_1(x)[/mm] + [mm]C''p_2(x)*e^{-x}[/mm] -2 [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm]  +
> [mm]Cp_2(x)*e^{-x}[/mm] + [mm]Cp_1(x)[/mm] + [mm]Cp_2(x)*e^{-x}[/mm] = 2x + 10cos(2x)


Das muss hier so lauten:

[mm]C''p_1(x) + C''p_2(x)*e^{-x} -2 C'p_2(x)*e^{-x} + Cp_2(x)*e^{-x} + C\blue{'}p_1(x) + C\blue{'}p_2(x)*e^{-x}\red{-Cp_2(x)*e^{-x}} = 2x + 10cos(2x)[/mm]




>  
> Nun habe ich gelesen aber dass man fordert: dass in f'p(x):
> [mm]C'p_1(x)[/mm] + [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] = 0 wird


Das ist korrekt.


>  
> und in f''p(x):  [mm]C''p_1(x)[/mm] + [mm]C''p_2(x)*e^{-x}[/mm] -
> [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] - [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] = 0


Differenziere die Forderung

[mm]C'p_1(x)[/mm] + [mm]C'p_2(x)*e^{-x}= 0[/mm]

nach x und Du kannst

[mm]C''p_1(x) + C''p_2(x)*e^{-x}[/mm]

ersetzen.


>  
> Ist das korrekt? Und warum wäre das so..
>  Dann hätte ich ja nur noch
>  
> [mm]2C_p2(x)*e^{-x}[/mm] + [mm]Cp_1(x)[/mm] = 2x + 10cos(2x)


Das musst Du nochmal nachrechnen.


>  
> Wie ist denn das allgemeine vorgehen bei der Variation der
> Konstanten?


Hier tut man sich leichter, wenn die DGL 2. Ordnung in ein
System von DGLn 1. Ordnung überführt wird. Dann ist die
Variation der Konstanten wie gewohnt anwendbar.


>  
> Vielen Vielen Dank...ich bekomm das nicht gebacken


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
inhomogene DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:57 Di 28.12.2010
Autor: zocca21

Ok stimmt...ich hatte y'' + y = ... gesetzt anstatt y'' + y'

Dann muss es heißen:

mit [mm] C'p_1(x) [/mm] + [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] = 0

[mm] C''p_1(x) [/mm] + [mm] C''p_2(x)\cdot{}e^{-x} [/mm] -2 [mm] C'p_2(x)\cdot{}e^{-x} [/mm] = 2x + 10cos(2x)



Wie kann ich das nun ersetzen? Wie differenzieren? Wenn ich nur wüsste wie die Variation der konstanten normal wäre...

Danke sehr für die viele Mühe!!

Bezug
                        
Bezug
inhomogene DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 Di 28.12.2010
Autor: MathePower

Hallo zocca21.

> Ok stimmt...ich hatte y'' + y = ... gesetzt anstatt y'' +
> y'
>  
> Dann muss es heißen:
>  
> mit [mm]C'p_1(x)[/mm] + [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] = 0
>  
> [mm]C''p_1(x)[/mm] + [mm]C''p_2(x)\cdot{}e^{-x}[/mm] -2 [mm]C'p_2(x)\cdot{}e^{-x}[/mm]
> = 2x + 10cos(2x)
>  
>
>
> Wie kann ich das nun ersetzen? Wie differenzieren? Wenn ich
> nur wüsste wie die Variation der konstanten normal
> wäre...


Diffferenziere

[mm]C'p_1(x) + C'p_2(x)*e^{-x} = 0[/mm]

nach x:

[mm]C''p_1(x) + C''p_2(x)*e^{-x}- C'p_2(x)*e^{-x} = 0[/mm]

Daraus ergibt sich_

[mm]C''p_1(x) + C''p_2(x)*e^{-x} = C'p_2(x)*e^{-x}[/mm]

Damit

[mm]C''p_1(x)[/mm] + [mm]C''p_2(x)\cdot{}e^{-x}[/mm] -2 [mm]C'p_2(x)\cdot{}e^{-x}=C'p_2(x)*e^{-x}-2 C'p_2(x)\cdot{}e^{-x}=-C'p_2(x)\cdot{}e^{-x}[/mm]

Somit lautet die 2.Gleichung:

[mm]-C'p_2(x)\cdot{}e^{-x}=2x+10*cos(2x)[/mm]


>  
> Danke sehr für die viele Mühe!!



Gruss
MathePower

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inhomogene DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:09 Di 28.12.2010
Autor: zocca21

Ah ok..dann kann ich ja nun mit partieller Integration agieren:

$ [mm] -C'p_2(x)\cdot{}e^{-x}=2x+10\cdot{}cos(2x) [/mm] $

$ [mm] C'p_2(x)=-2x\cdot{}e^{x}-10\cdot{}cos(2x)\cdot{}e^{x} [/mm] $

kann ich die ja getrennt partiell Integrieren?

[mm] \integral [/mm] -2x * [mm] e^x [/mm] dx= - [mm] 2x*e^x [/mm] + [mm] 2e^x [/mm]

[mm] \integral -10cos(2x)*e^x [/mm] dx= [mm] -10cos(2x)*e^x-\integral 20sin(2x)*e^x [/mm] dx
=  [mm] -10cos(2x)*e^x [/mm] - [mm] 20sin(2x)*e^x -\integral 40cos(2x)*e^x [/mm] dx
30 [mm] \integral cos(2x)*e^x [/mm] dx = [mm] -10cos(2x)*e^x [/mm] - [mm] 20sin(2x)*e^x [/mm]

= [mm] -(1/3)cos(2x)*e^x [/mm] - [mm] (2/3)sin(2x)*e^x [/mm]

[mm] Cp_2(x) [/mm] =  - [mm] 2x*e^x [/mm] + [mm] 2e^x -(1/3)cos(2x)*e^x [/mm] - [mm] (2/3)sin(2x)*e^x [/mm] + D(Integrationskonstante)

mal abgesehen davon ob das stimmt, wo ich mir nich sicher bin.

Kann ich dann mein [mm] Cp_2(x) [/mm] in [mm] fp=Cp_1(x) [/mm] + [mm] Cp_2(x)*e^x [/mm] einsetzen?
Wie würde ich dann noch das [mm] Cp_1(x) [/mm] erhalten..

Danke Danke

Bezug
                                        
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inhomogene DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Di 28.12.2010
Autor: MathePower

Hallo zocca21,

> Ah ok..dann kann ich ja nun mit partieller Integration
> agieren:
>  
> [mm]-C'p_2(x)\cdot{}e^{-x}=2x+10\cdot{}cos(2x)[/mm]
>  
> [mm]C'p_2(x)=-2x\cdot{}e^{x}-10\cdot{}cos(2x)\cdot{}e^{x}[/mm]
>  
> kann ich die ja getrennt partiell Integrieren?
>  
> [mm]\integral[/mm] -2x * [mm]e^x[/mm] dx= - [mm]2x*e^x[/mm] + [mm]2e^x[/mm]
>  
> [mm]\integral -10cos(2x)*e^x[/mm] dx= [mm]-10cos(2x)*e^x-\integral 20sin(2x)*e^x[/mm]
> dx
>  =  [mm]-10cos(2x)*e^x[/mm] - [mm]20sin(2x)*e^x -\integral 40cos(2x)*e^x[/mm]
> dx
>  30 [mm]\integral cos(2x)*e^x[/mm] dx = [mm]-10cos(2x)*e^x[/mm] -
> [mm]20sin(2x)*e^x[/mm]
>  
> = [mm]-(1/3)cos(2x)*e^x[/mm] - [mm](2/3)sin(2x)*e^x[/mm]
>  
> [mm]Cp_2(x)[/mm] =  - [mm]2x*e^x[/mm] + [mm]2e^x -(1/3)cos(2x)*e^x[/mm] -
> [mm](2/3)sin(2x)*e^x[/mm] + D(Integrationskonstante)


Der rot markierte Teil stimmt nicht:

[mm]Cp_2(x) = - 2x*e^x +2e^x -\red{(1/3)}cos(2x)*e^x-\red{ (2/3)}sin(2x)*e^x + D[/mm]

Lass hier die Integrationskonstante D weg.


>  
> mal abgesehen davon ob das stimmt, wo ich mir nich sicher
> bin.
>  
> Kann ich dann mein [mm]Cp_2(x)[/mm] in [mm]fp=Cp_1(x)[/mm] + [mm]Cp_2(x)*e^x[/mm]
> einsetzen?
>  Wie würde ich dann noch das [mm]Cp_1(x)[/mm] erhalten..


Aus der ersten Gleichung:

[mm]C'p_{1}\left(x\right)+C'p_{2}\left(x\right)*e^{-x}=0[/mm]


>  
> Danke Danke



Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
inhomogene DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:47 Di 28.12.2010
Autor: zocca21

Super!!

Bei der partiellen Integration von

$ [mm] \integral -10cos(2x)\cdot{}e^x [/mm] $ = [mm] -10cos(2x)*e^{x}-\integral 20sin(2x)*e^{x} [/mm]
$ [mm] \integral -10cos(2x)\cdot{}e^x [/mm] $ = [mm] -10cos(2x)*e^{x}- 20sin(2x)*e^{x} [/mm] - [mm] \integral 40cos(2x)*e^{x} [/mm]

Nun zieh ich doch - [mm] \integral 40cos(2x)*e^{x} [/mm] auf die Linke Seite:
Komme ich dann nicht auf 30 [mm] \integral cos(2x)*e^{x}?? [/mm]

Danke nochmal!

Bezug
                                                        
Bezug
inhomogene DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:21 Mi 29.12.2010
Autor: MathePower

Hallo zocca21,

> Super!!
>  
> Bei der partiellen Integration von
>  
> [mm]\integral -10cos(2x)\cdot{}e^x[/mm] = [mm]-10cos(2x)*e^{x}-\integral 20sin(2x)*e^{x}[/mm]
>  
> [mm]\integral -10cos(2x)\cdot{}e^x[/mm] = [mm]-10cos(2x)*e^{x}- 20sin(2x)*e^{x}[/mm]
> - [mm]\integral 40cos(2x)*e^{x}[/mm]


Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:

[mm]\integral -10cos(2x)\cdot{}e^x = -10cos(2x)*e^{x}- 20sin(2x)*e^{x} \red{+} \integral 40cos(2x)*e^{x}[/mm]


>  
> Nun zieh ich doch - [mm]\integral 40cos(2x)*e^{x}[/mm] auf die Linke
> Seite:
>  Komme ich dann nicht auf 30 [mm]\integral cos(2x)*e^{x}??[/mm]
>  
> Danke nochmal!


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
inhomogene DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:23 Mi 29.12.2010
Autor: zocca21

$ [mm] \integral -10cos(2x)\cdot{}e^x [/mm] = [mm] -10cos(2x)\cdot{}e^{x}- 20sin(2x)\cdot{}e^{x} \red{+} \integral 40cos(2x)\cdot{}e^{x} [/mm] $

Ok dann erhalte ich ja auf der linken Seite -50  [mm] \integral [/mm] cos(2x)

und mein Ergebnis wird:

= [mm] \bruch{1}{5}cos(2x)\cdot{}e^{x} [/mm] + [mm] \bruch{2}{5}sin(2x)\cdot{}e^{x} [/mm]

passts nun?

Bezug
                                                                        
Bezug
inhomogene DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Mi 29.12.2010
Autor: MathePower

Hallo zocca21,

> [mm]\integral -10cos(2x)\cdot{}e^x = -10cos(2x)\cdot{}e^{x}- 20sin(2x)\cdot{}e^{x} \red{+} \integral 40cos(2x)\cdot{}e^{x}[/mm]
>  
> Ok dann erhalte ich ja auf der linken Seite -50  [mm]\integral[/mm]
> cos(2x)
>  
> und mein Ergebnis wird:
>  
> = [mm]\bruch{1}{5}cos(2x)\cdot{}e^{x}[/mm] +
> [mm]\bruch{2}{5}sin(2x)\cdot{}e^{x}[/mm]
>
> passts nun?


Wenn Du dieses Ergebnis jetzt noch mit (-10)
multiplizierst, dann passts.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
Bezug
inhomogene DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:07 Mi 29.12.2010
Autor: zocca21

Ok also ich fass mal zusammen:

dann ist [mm] Cp_2(x) [/mm] = [mm] -2x*e^{x}+2e^{x}-2cos(2x)*e^{x}-4sin(2x)*e^{x} [/mm]

Aus [mm] C'p_1(x) [/mm] + [mm] C'p_2(x)*e^{x} [/mm] = 0

[mm] Cp_1(x) [/mm] = [mm] -x^2 [/mm] -20sin(2x)

Eingesetzt in fp:

[mm] f_p(x) [/mm] = [mm] -x^2 [/mm] - 20sin(2x) + [mm] (-2x*e^{x}+2e^{x}-2cos(2x)*e^{x}-4sin(2x)*e^{x})*e^x [/mm]

[mm] f_h(x) [/mm] = [mm] C_1 [/mm] + [mm] C_2*e^{-x} [/mm]

Ergebnis [mm] f_p [/mm] + [mm] f_h [/mm]

Bezug
                                                                                        
Bezug
inhomogene DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:25 Mi 29.12.2010
Autor: MathePower

Hallo zocca21,

> Ok also ich fass mal zusammen:
>  
> dann ist [mm]Cp_2(x)[/mm] =
> [mm]-2x*e^{x}+2e^{x}-2cos(2x)*e^{x}-4sin(2x)*e^{x}[/mm]
>  
> Aus [mm]C'p_1(x)[/mm] + [mm]C'p_2(x)*e^{x}[/mm] = 0


Hier muss es doch lauten:

[mm]C'p_1(x) + C'p_2(x)*e^{\red{-}x} = 0[/mm]


>  
> [mm]Cp_1(x)[/mm] = [mm]-x^2[/mm] -20sin(2x)
>  
> Eingesetzt in fp:
>  
> [mm]f_p(x)[/mm] = [mm]-x^2[/mm] - 20sin(2x) +
> [mm](-2x*e^{x}+2e^{x}-2cos(2x)*e^{x}-4sin(2x)*e^{x})*e^x[/mm]
>  
> [mm]f_h(x)[/mm] = [mm]C_1[/mm] + [mm]C_2*e^{-x}[/mm]
>  
> Ergebnis [mm]f_p[/mm] + [mm]f_h[/mm]  


Die partikuläre Lösung musst Du nochmal nachrechnen.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                
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inhomogene DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Mi 29.12.2010
Autor: zocca21

[mm] f_p(x) [/mm] = [mm] -x^2 [/mm] - 20sin(2x) + [mm] (-2x\cdot{}e^{x}+2e^{x}-2cos(2x)\cdot{}e^{x}-4sin(2x)\cdot{}e^{x})\cdot{}e^{-x} [/mm]

damit kürzt sich das [mm] e^x [/mm] raus

und es bleibt:

[mm] f_p(x) [/mm] = [mm] -x^2 [/mm] - 20sin(2x) + (-2x+2-2cos(2x)-4sin(2x))

Bezug
                                                                                                        
Bezug
inhomogene DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:49 Mi 29.12.2010
Autor: MathePower

Hallo zocca21,

> [mm]f_p(x)[/mm] = [mm]-x^2[/mm] - 20sin(2x) +
> [mm](-2x\cdot{}e^{x}+2e^{x}-2cos(2x)\cdot{}e^{x}-4sin(2x)\cdot{}e^{x})\cdot{}e^{-x}[/mm]
>
> damit kürzt sich das [mm]e^x[/mm] raus
>  
> und es bleibt:
>  
> [mm]f_p(x)[/mm] = [mm]-x^2[/mm] - 20sin(2x) + (-2x+2-2cos(2x)-4sin(2x))


Der rot markierte Ausdruck stimmt nicht:

[mm]f_p(x)= \red{-x^2 - 20sin(2x)} + (-2x+2-2cos(2x)-4sin(2x)) [/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                                                
Bezug
inhomogene DGL: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Mi 29.12.2010
Autor: zocca21

Das bedeutet ja mein [mm] Cp_1(x) [/mm] ist falsch:

Ich hab dies folgendermaßen berechnet:

[mm] C'p_1(x) [/mm] +  [mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] = 0

[mm] -C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] = 2x + 10cos(2x)

[mm] C'p_2(x)*e^{-x} [/mm] = -2x - 10cos(2x)

Eingesetzt:

[mm] C'p_1(x) [/mm] = 2x + 10cos(2x)

Dann ist [mm] Cp_1(x)= x^2 [/mm] + 20sin(2x)

Korrekt? Waren die Vorzeichen falsch?

Bezug
                                                                                                                        
Bezug
inhomogene DGL: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:50 Mi 29.12.2010
Autor: MathePower

Hallo zocca21,

> Das bedeutet ja mein [mm]Cp_1(x)[/mm] ist falsch:
>  
> Ich hab dies folgendermaßen berechnet:
>  
> [mm]C'p_1(x)[/mm] +  [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] = 0
>  
> [mm]-C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] = 2x + 10cos(2x)
>  
> [mm]C'p_2(x)*e^{-x}[/mm] = -2x - 10cos(2x)
>  
> Eingesetzt:
>  
> [mm]C'p_1(x)[/mm] = 2x + 10cos(2x)
>  
> Dann ist [mm]Cp_1(x)= x^2[/mm] + 20sin(2x)


Eine Stammfunktion von 10cos(2x) ist doch [mm]5*\sin\left(2x\right)[/mm]

Daher

[mm]Cp_1(x)= x^2 + \blue{5}sin(2x)[/mm]


>  
> Korrekt? Waren die Vorzeichen falsch?


Unter anderem waren die Vorzeichen nicht richtig.


Gruss
MathePower

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Bezug
inhomogene DGL: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:51 Mi 29.12.2010
Autor: zocca21

Natürlich!

Vielen Dank für alles!!

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