inhomogene DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:56 Sa 16.02.2013 | | Autor: | ralfr |
Hallo ich hänge gerade bei dem Thema inhomogene DGL
Als Beispiel ist hier eine Gleichung angegeben:
[mm] $\frac{dy}{dx} [/mm] - xy= -2x$
die allgemeine homogene Lösung lautet:
[mm] $y_{hom}(x)=ce^{x^2/2}$ [/mm] (Dieses c ist einfach bloß eine Konstante die wir noch nicht berechnen können oder wie soll ich mir das vorstellen?)
Der unbekannte Koeffizient wird ja nun wie folgt berechnet:
$c(x)= [mm] \integral{ dx} \frac{f(x)}{y_{hom}(x)}$
[/mm]
dort stand dann auf einmal
$c(x)= [mm] \integral{ dx}2xe^{-x^2/2}$
[/mm]
$f(x)$ ist doch aber -2x oder nicht? ist das dann nicht:
$c(x)= [mm] \integral{ dx}-2xe^{-x^2/2}$?
[/mm]
Die vollständige Lösung der Differentialgleichung soll dann auf einmal sein:
$y(t)=-2+ [mm] ce^{x^2/x}$
[/mm]
Wie kommt man auf einmal zu der Lösung?
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Hallo ralfr,
> Hallo ich hänge gerade bei dem Thema inhomogene DGL
> Als Beispiel ist hier eine Gleichung angegeben:
> [mm]\frac{dy}{dx} - xy= -2x[/mm]
> die allgemeine homogene Lösung
> lautet:
> [mm]y_{hom}(x)=ce^{x^2/2}[/mm] (Dieses c ist einfach bloß eine
> Konstante die wir noch nicht berechnen können oder wie
> soll ich mir das vorstellen?)
>
> Der unbekannte Koeffizient wird ja nun wie folgt
> berechnet:
> [mm]c(x)= \integral{ dx} \frac{f(x)}{y_{hom}(x)}[/mm]
> dort stand
> dann auf einmal
> [mm]c(x)= \integral{ dx}2xe^{-x^2/2}[/mm]
> [mm]f(x)[/mm] ist doch aber -2x
> oder nicht? ist das dann nicht:
> [mm]c(x)= \integral{ dx}-2xe^{-x^2/2}[/mm]?
Ja.
> Die vollständige
> Lösung der Differentialgleichung soll dann auf einmal
> sein:
> [mm]y(t)=-2+ ce^{x^2/x}[/mm]
>
> Wie kommt man auf einmal zu der Lösung?
Berechne zunächst [mm]c\left(x\right)[/mm].
Setze dies dann in den Ansatz für die partikuläre Lösung ein.
Die Gesamtlösung setzt sich aus der homogenen
und der partikulären Lösung der DGL zusammen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Sa 16.02.2013 | | Autor: | ralfr |
Ok dankeschön also $c(x)= [mm] -2e^{-x^2/2}$
[/mm]
[mm] $y_{part}(x)=c(x)y_{hom}(x)$
[/mm]
[mm] $y_{part}(x)=-2e^0=-2$
[/mm]
[mm] $y(x)=y_{part}(x)+y_{hom}(x)$
[/mm]
$y=-2+ [mm] ce^{x^2/2}$
[/mm]
Vielleicht ist das ja beim ersten Post untergegangen aber:
$ [mm] y_{hom}(x)=ce^{x^2/2} [/mm] $ bei der berechnung von der homogenen Lösung ist dort ein c. Was hat es damit auf sich?
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Hallo ralfr,
> Ok dankeschön also [mm]c(x)= -2e^{-x^2/2}[/mm]
>
> [mm]y_{part}(x)=c(x)y_{hom}(x)[/mm]
> [mm]y_{part}(x)=-2e^0=-2[/mm]
> [mm]y(x)=y_{part}(x)+y_{hom}(x)[/mm]
> [mm]y=-2+ ce^{x^2/2}[/mm]
>
> Vielleicht ist das ja beim ersten Post untergegangen aber:
> [mm]y_{hom}(x)=ce^{x^2/2}[/mm] bei der berechnung von der homogenen
> Lösung ist dort ein c. Was hat es damit auf sich?
Bei der homogenen Lösung der DGL ist das c konstant.
Zur Bestimmung der partikulären Lösung der DGL wird
dieses c zusätzlich von x abhängig gemacht.
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 So 17.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ok dankeschön also [mm]c(x)= -2e^{-x^2/2}[/mm]
>
> [mm]y_{part}(x)=c(x)y_{hom}(x)[/mm]
> [mm]y_{part}(x)=-2e^0=-2[/mm]
> [mm]y(x)=y_{part}(x)+y_{hom}(x)[/mm]
> [mm]y=-2+ ce^{x^2/2}[/mm]
>
> Vielleicht ist das ja beim ersten Post untergegangen aber:
> [mm]y_{hom}(x)=ce^{x^2/2}[/mm] bei der berechnung von der homogenen
> Lösung ist dort ein c. Was hat es damit auf sich?
Eine homogene lineare DGL 1. Ordnung sieht so aus:
(*) y'=a(x)y,
wobei a:I [mm] \to \IR [/mm] stetig ist (I ein Intervall).
Ist nun A eine Stammfunktion von a auf I, so kann man für eine Funktion y: I [mm] \to \IR [/mm] zeigen:
y ist eine Lösung von (*) auf I [mm] \gdw [/mm] es ex. ein c [mm] \in \IR: y(x)=ce^{A(x)}
[/mm]
D.h: für jedes c [mm] \in \IR [/mm] ist [mm] y(x)=ce^{A(x)} [/mm] eine Lösung der DGL.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:19 So 17.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Eine Bemerkung:
manchmal kann man sich viel Arbeit sparen, wenn man sich eine DGL genau ansieht.
Dass die DGL $y' - xy= -2x $ die spezielle Lösung [mm] y_p \equiv [/mm] 2 hat , kann man (fast) "sehen".
FRED
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