inhomogene DGL 2 ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:24 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Mafiose |
Hallo,
ich möchte die oben genannte DGL lösen.
mit Laplacetransformation => hab ich schon gemacht.
jetzt wollte ich noch mit anderen Methoden es lösen:
also: die nullstellen sind "komplex"
[mm] \alpha=0
[/mm]
[mm] \beta=-1
[/mm]
[mm] yh=e^\alpha*(C1*cos(\beta)x+C2*sin(\beta)x)
[/mm]
=>C1*cos(x)+C2*sin(x)
q=x (Störfunktion)
ist kein Resonanzfall, also kann man die Form
[mm] x^2(A1*x^n) [/mm] aus Formelsammlung verwenden.
Stimmt es soweit? ab hier weiß ich nicht weiter.
oder Variation der Konstanen
yp=C1(x)*cos(x)+C2(x)*sin(x)
0=C1'(x)*cos(x)+C2'(x)*sin(x)
yp'=-C1(x)sin(x)+C2(x)cos(x)
yp''=-C1'(x)sin(x)+C2'(x)cos(x)-C1(x)cos(x)-C2(x)sin(x)
in dgl einsetzen:
-C1'(x)sin(x)+C2'(x)cos(x)-C1(x)cos(x)-C2(x)sin(x)+C1(x)*cos(x)+C2(x)*sin(x)=x
bleibt übrig:
-C1'(x)sin(x)+C2'(x)cos(x)=x
mit hilfe der Gleichung C berechnen
0=C1'(x)*cos(x)+C2'(x)*sin(x)
da bleib ich wieder hängen, da die beiden gleichungen unterschiedlich sind..
so es gibt noch eine Variante :)
Wronski-Determinante
yp=u(x)y1(x)+v(x)y2(x)
[mm] W(y1,y2)=y1*y2'-y2*y1'=cos(x)^2+sin(x)^2
[/mm]
jetzt u(x) und v(x) berechnen
[mm] u(x)=-\integral{\bruch{y2*q}{W(y1,y2}}
[/mm]
[mm] =>\integral{x*\bruch{sin(x)}{sin(x)^2+cos(x)^2}}
[/mm]
so hier bleib ich auch hängen...
kann mir da jemand weiter helfen?
und welche Methoden sind eher geeignet für dgl? oder woran erkenne ich welche ist besser/schneller? laplace, variation der konstanten, Wronski
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Fr 27.04.2007 | | Autor: | smarty |
Hallo Mafiose,
nur interessehalber: wie kommst du auf [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] ?
Gruß
Smarty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Mafiose |
die Nullstellen ausrechnen:
z.B. p,q formel.
y''+y=0
[mm] =>x^2+0+1=0
[/mm]
[mm] -\bruch{0}{2}\pm\wurzel{\bruch{0}{2}}-1
[/mm]
[mm] \alpha\pmj\beta
[/mm]
[mm] 0\pmj-1 [/mm] ähm...kommt da jetzt -1 oder 1 :D ich glaub das ist der Fehler oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Fr 27.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was du da aus der Formelsammlung hast versteh ich nicht.
Eigentlich sieht man doch direkt, das y=x; y''=0 eine partikuläre Lösung ist.
zur Wronski det: sin^2x+cos^2x=1 sollte man unbedingt wissen.
Wie du bei der Variation der Konst. abgeleitet hast versteh ich nicht!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Mafiose |
also in der Formelsammlung steht:
wenn [mm] S(x)=An*x^n+An-1x^{n-1}+.....und [/mm] die Nullstellen nicht gleich null sind, dann [mm] Yp=x^2(A1n*x^n+....)
[/mm]
so genau verstehe ich das auch nicht.
und ich hab ja S(x)=x, es ist gleich [mm] Anx^n=1*x^1 [/mm] oder?
Dann bei Variation der Konstanten. ich habe bei der ersten Ableitung C1'(x)sin+C2'(x)cos weg gelassen, da die ja 0 ergeben (wegen der Hilfsgleichung) könnte auch sein das ich falsch abgeleitet habe.
zur Wronski
woher weißt du das? oder wo findet man die Informationen dazu?
und ich verstehe nicht wie du direkt sehen kannst das y=x; y''=0 eine partikuläre Lösung ist. :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:14 Fr 27.04.2007 | | Autor: | smarty |
Hallo Mafiose,
> also in der Formelsammlung steht:
> wenn [mm]S(x)=A_n*x^n+A_{n-1}x^{n-1}+..... [/mm]und die Nullstellen
> nicht gleich null sind, dann [mm]Yp=x^2(A1n*x^n+....)[/mm]
> so genau verstehe ich das auch nicht.
ich auch nicht, aber da steht sicher noch mehr - das erscheint mir ziemlich aus dem Zusammenhang gerissen.
> und ich hab ja S(x)=x, es ist gleich [mm]Anx^n=1*x^1[/mm] oder?
> Dann bei Variation der Konstanten. ich habe bei der ersten
> Ableitung C1'(x)sin+C2'(x)cos weg gelassen, da die ja 0
> ergeben (wegen der Hilfsgleichung) könnte auch sein das ich
> falsch abgeleitet habe.
nö, aber um nochmal auf deine Funktion zu kommen wenn y''+y=0 ist, dann lautet deine char. Gleichung [mm] x^2+1=0 [/mm] und damit
[mm] $x_{1,2}=\pm\wurzel{-1}=\pm [/mm] i$
> zur Wronski
> woher weißt du das? oder wo findet man die Informationen
> dazu?
was denn genau? Es gibt mehrere tausend Links. Google, Wronskidet, pdf und los geht's
>
> und ich verstehe nicht wie du direkt sehen kannst das y=x;
> y''=0 eine partikuläre Lösung ist. :)
du hast doch nur das x für das y ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") - ok, setze doch mal [mm] y=x^2 [/mm] ein oder y=1 und dann noch [mm] y=ax^3+bx+c
[/mm]
schau mal was passiert 
Schönen Abend
Gruß
Smarty
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Mafiose |
war mein Fehler ich hab falschen Ansatz gewählt.
richtige wäre Ax :)
das mit Variation der Konstanten habe ich noch nicht richtig verstanden...oder nicht gelöst...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:16 Sa 28.04.2007 | | Autor: | smarty |
Hallo Mafi
Variation der Konstanten gibt es nur bei DGL 1. Ordnung
Gruß
Smarty
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Zuerst löst du die homogene DGL. y''+y=0 bzw. y''=-y. Hierzu findest du y=Asin(x) oder y=Bcos(x) und damit allgemein y=Asin(x)+Bcos(x), was sich zu y=Csin(x+a) zusammenfassen lässt. Damit hast du alle homogenen Lösungen.
Jetzt brauchst du nur noch eine einzige spezielle Lösung der Ausgangsgleichung. Sie hat irgendwie mit dem noch nicht benutzten x zu tun. Es fällt nun auf, dass gerade die 2. Ableitung von x 0 ist, also verschwindet. Setzt man also y=x, dann wird y''+y=0+x=x. Also erfüllt x die spezielle inhom. Gleichung.
Die Gesamtlösung besteht aus der Summe aller Lösungen der homogenen + einer Lösung der inhomogenen Gleichung und heißt daher y=C sin(x+a)+x
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:39 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Mafiose |
@HJKweseleit
wie haste y=Asin(x)+Bcos(x) zusammengefasst? verstehe ich nicht.???
der Rest ist logisch. Nur es ist nicht immer so einfach (hängt von S(x) ab)
deshalb möchte ich auf verschiedenen Arten auf die gleiche lösung kommen.
jetzt hab ich wenigstens eine Lösung zum vergleichen ;) wenn deine Lösung stimmt.
edit:
habe mit wronski im prinzip das gleiche raus oder?
yp=(xcos(x)+sin(x))*cos(x)+(xsin-cos)*sin(x)
[mm] =>xcos(x)^2+xsin(x)^2=>x(cos(x)^2+sin(x)^2)=> [/mm] x
weil [mm] cos(x)^2+sin(x)^2=1
[/mm]
y=yh+yp
y=C1cos(x)+C2sin(x)+x
jetzt nur noch variation der Konstanten
und mit der Formelsammlung
es gibt halt bei nicht Resonanz einen Lösungsansatz für yp
z.B wenn S(x)=Ae^(ax) =>yp=Ae^(ax) und dann ableiten und in Ausgangs dgl einsetzen....dies möchte auch für S(x)=x tun....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:59 Fr 27.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. dass sin^2x+cos^2x=1 ist ist der Phythagoras im rechtwinkligen Dreieck mit Hypothenuse 1. Und das solltest du dir wirklich merken, man braucht es immer wieder.
Wenn du s(x)=Ax einsetzt bekommst du doch auch 0+Ax=x also A=1. da die Gleichung so kurz ist, dachte ich man kanns auch direkt sehen!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Mafiose |
ah thx.
ähm Ax ist doch der Ansatz für die Methode mit der "formelsammlung" weiß nicht wie die Methode heißt.
dann wäre es ja
Yp=Ax
yp'=A
yp''=0
in DGL einsetzen: 0+Ax=x
A=1
Yp=1*x
juppi :D jetzt nur noch Variation der Konstanten
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Ich dreh das Ganze mal um:
C sin (x+a)= C (sin(x)cos(a)+cos(x)sin(a)) (Additionstheorem)
= (C cos(a))*sin(x) + (C sin(a))* cos(x)
= A* sin(x) + B * cos(x).
Kennt man A und B und will daraus C und a bestimmen, geht man von diesem Ansatz aus und erkennt:
B/A=Csin(a)/Ccos(a)=sin(a)/cos(a)=tan(a), also tan(a)=B/A
und [mm] A^2+B^2=C^2cos^2(a)+C^2sin^2(a)=C^2(sin^2(a)+cos^2(a))=C^2, [/mm] also [mm] C^2=A^2+B^2
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Fr 27.04.2007 | | Autor: | Mafiose |
hm..ich weiß nicht ob es an der Uhrzeit liegt oder am was anderem :)
aber ich verstehe nicht so ganz wie du auf das ganze drauf kommst.
nach dem ich Yh bereschnet habe. Kann ich ja Yp bilden.
das wäre A(x)sin(x)+B(x)cos(x) (ist wie bei Variation der Konstanten)
und wie machst du jetzt weiter?
Ist dein C wie eine Konstante anzusehen?
Warum fasst du es überhaupt zusammen? ich würd deine Methode auch gerne können..sieht nach wenig aus :D oder gilt diese Methode nur für diese Aufgabe?
und ist meine Lösung mit Wronski nicht gleich mit deiner? oder ist das dat selbe...?
Edit:
es fehlt nur noch Variation der Konstanten (ich weiß bei der Aufgabe ist es überflüssig) aber ich möcht trotzdem durchrechnen.
könntest du evtl. drüber gucken?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
Variation der Konstanten führst du wie oben genannt durch. Dann bekommst du Gleichungen, aus denen du die Konstanten bestimmen kannst.
Zusammenfassen brauchst du reintheoretisch gar nicht. Es ist zum Beispiel für die physikalische Interpretation der Lösung von Vorteil, weil man dann Amplitude bei der Oszillation und etc. leichter ausrechnen kannst.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 So 29.04.2007 | | Autor: | Mafiose |
Hallo Hund,
noch verstehe es nicht so ganz.
was meinst du mit wie oben beschrieben?
also ich kenne nur die Methode mit der Hilfsgleichung, siehe meinen ersten Post.
und da komm ich nicht weiter, weil die 2 Gleichungen unterschiedlich sind, eigentlich sollte ich da auf C1 und C2 kommen....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:47 So 29.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wenn du richtig gerechnet hast, ist das genau richtig. Aus der Gleichung und der Hilfsgleichung hast du ein Gleichungssystem für die c´, daraus kannst du sie bestimmen (z.B. Einsetztungsverfahren). Durch Integration erhälst du dann die c und dann die partikuläre Lösung deiner DGl.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:02 Mi 02.05.2007 | | Autor: | Mafiose |
Hi,
jepp danke habs gelöst
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