inhomogene Dgl System < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] y_{1}' [/mm] = -2 [mm] y_{1}+y_{1}+40e^{x}
[/mm]
[mm] y_{2}' [/mm] = [mm] 4y_{2} -2y_{2}+24e^{-x}
[/mm]
Bestimmen sie den Lösungsraum des Dgl Systems. |
Hi,
ich bin schon eine weile am rumrechnen, bin mir jedoch nicht sicher ob mein Ansatz richtig ist...
zuerst habe ich [mm] y_{h}, [/mm] die homogen Lösung bestimmt:
da habe ich als Eigenwerte: 0 und -4 raus bekommen.
die dazu gehörigen Eigenvektoren sind :
[mm] \lambda_{1}=0 [/mm] :
[mm] EV_{1}= \vektor{2a \\ a}
[/mm]
[mm] \lambda_{2}=-4:
[/mm]
[mm] EV_{2}=\vektor{2b \\ -b}
[/mm]
die Spezielle Lösung bereitet mir etwas mehr Schwierigkeiten.
mein Ansatz:
[mm] Ys=\vec{a}e^{x}+\vec{b}e^{-x}+\vec{c}
[/mm]
[mm] Ys'=\vec{a}e^{x}-\vec{b}e^{-x}
[/mm]
Bei diesem schritt bin ich mir nicht sicher ob ich [mm] e^{x} [/mm] und [mm] e^{-x} [/mm] als zwei vektoren im Ansatz schreiben soll:
eingesetzt in [mm] y'=Ay+\vektor{40 \\ 0}e^{x}+\vektor{0 \\ 42}e^{-x}
[/mm]
ergibt:
[mm] \vec{a}e^{x}-\vec{b}=A(\vec{a}e^{x}-\vec{b}^-x+\vec{c})+\vektor{40 \\ 0}e^{x}+\vektor{0 \\ 42}e^{-x}
[/mm]
durch Koeffizientenvergleich bestimme ich [mm] \vec{a},\vec{b},\vec{c} [/mm] :
[mm] \vec{a} [/mm] bestimmen: [mm] \vec{a}=A\vec{a}+\vektor{40 \\ 0}e^{x} \gdw (A-E)\vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{-40 \\ 0}
[/mm]
ergibt: [mm] \vec{a}=\vektor{20 \\ 20}
[/mm]
analog [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] bestimmen
würde mich freuen wenn mir jemand sagen kann ob mein Ansatz bei der speziellen Lösung richtig ist :)
Gruß Matheneuling
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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[mm] \vec{a} [/mm] bestimmen: [mm] \vec{a}=A\vec{a}+\vektor{40 \\ 0}e^{x} \gdw (A-E)\vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{-40 \\ 0}
[/mm]
ergibt: [mm] \vec{a}=\vektor{20 \\ 20}
[/mm]
bei diesem Abschnitt hab ich mich vertippt, das [mm] e^{x} [/mm] muss weg
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Hallo matheneuling24,
> [mm]y_{1}'[/mm] = -2 [mm]y_{1}+y_{1}+40e^{x}[/mm]
> [mm]y_{2}'[/mm] = [mm]4y_{2} -2y_{2}+24e^{-x}[/mm]
>
> Bestimmen sie den Lösungsraum des Dgl Systems.
> Hi,
> ich bin schon eine weile am rumrechnen, bin mir jedoch
> nicht sicher ob mein Ansatz richtig ist...
>
> zuerst habe ich [mm]y_{h},[/mm] die homogen Lösung bestimmt:
> da habe ich als Eigenwerte: 0 und -4 raus bekommen.
>
Dann muesste das DGL-System so lauten:
[mm]y_{1}' = -2 y_{1}+y_{\blue{2}}+40e^{x}[/mm]
[mm]y_{2}' = 4y_{\blue{1}} -2y_{2}+24e^{-x}[/mm]
>
> die dazu gehörigen Eigenvektoren sind :
>
> [mm]\lambda_{1}=0[/mm] :
>
> [mm]EV_{1}= \vektor{2a \\ a}[/mm]
>
> [mm]\lambda_{2}=-4:[/mm]
>
> [mm]EV_{2}=\vektor{2b \\ -b}[/mm]
>
Wenn das DGL-System so wie oben angenommen lautet.
dann sind die Eigenvektoren nicht richtig.
> die Spezielle Lösung bereitet mir etwas mehr
> Schwierigkeiten.
> mein Ansatz:
>
> [mm]Ys=\vec{a}e^{x}+\vec{b}e^{-x}+\vec{c}[/mm]
> [mm]Ys'=\vec{a}e^{x}-\vec{b}e^{-x}[/mm]
>
Den konstanten Vektor kannst Du Dir schenken,
da dieser Lösung des homogenen DGL-Systems ist.
Sonst ist der Ansatz richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Bei diesem schritt bin ich mir nicht sicher ob ich [mm]e^{x}[/mm]
> und [mm]e^{-x}[/mm] als zwei vektoren im Ansatz schreiben soll:
>
> eingesetzt in [mm]y'=Ay+\vektor{40 \\ 0}e^{x}+\vektor{0 \\ 42}e^{-x}[/mm]
>
> ergibt:
>
> [mm]\vec{a}e^{x}-\vec{b}=A(\vec{a}e^{x}-\vec{b}^-x+\vec{c})+\vektor{40 \\ 0}e^{x}+\vektor{0 \\ 42}e^{-x}[/mm]
>
>
> durch Koeffizientenvergleich bestimme ich
> [mm]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/mm] :
>
> [mm]\vec{a}[/mm] bestimmen: [mm]\vec{a}=A\vec{a}+\vektor{40 \\ 0}e^{x} \gdw (A-E)\vec{a}[/mm]
> = [mm]\vektor{-40 \\ 0}[/mm]
> ergibt: [mm]\vec{a}=\vektor{20 \\ 20}[/mm]
>
Das musst Du nochmal nachrechen.
> analog [mm]\vec{b}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] bestimmen
>
> würde mich freuen wenn mir jemand sagen kann ob mein
> Ansatz bei der speziellen Lösung richtig ist :)
>
> Gruß Matheneuling
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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Stimmmt bei dem dgl system habe ich mich vertippt das sollte heißen:
[mm] y_{1}' [/mm] = -2 [mm] y_{1}+y_{2}+40e^{x}
[/mm]
[mm] y_{2}' [/mm] = [mm] 4y_{1} -2y_{2}+24e^{-x}
[/mm]
bei der Berechnung der Eigenvektoren bin ich folgendermaßen vorgegangen:
[mm] \lambda_{1}= [/mm] 0:
[mm] (A-\lambda_{1}E)\vec{x}=0
[/mm]
[mm] \pmat{ -2-0 & 1 \\ 4 & -2-0 }=\pmat{ -2 & 1 \\ 4 & -2 }=\pmat{ -4 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow 4x_{1}=2x_{2} [/mm]
[mm] EV_{1}=\vektor{2a\\ a}
[/mm]
bei [mm] \lambda_{2}= [/mm] -4:
[mm] (A-\lambda_{2}E)\vec{x}=0
[/mm]
[mm] \pmat{ -2+4 & 1 \\ 4 & -2+4 }=\pmat{ 2 & 1 \\ 4 & 2 }= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow 2x_{1}=-x_{2} [/mm]
[mm] EV_{2}=\vektor{2b\\ -b}
[/mm]
ich verstehe nicht wo ich mich da verrechnet habe.
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Hallo matheneuling24,
> Stimmmt bei dem dgl system habe ich mich vertippt das
> sollte heißen:
>
> [mm]y_{1}'[/mm] = -2 [mm]y_{1}+y_{2}+40e^{x}[/mm]
> [mm]y_{2}'[/mm] = [mm]4y_{1} -2y_{2}+24e^{-x}[/mm]
>
>
> bei der Berechnung der Eigenvektoren bin ich
> folgendermaßen vorgegangen:
>
> [mm]\lambda_{1}=[/mm] 0:
>
> [mm](A-\lambda_{1}E)\vec{x}=0[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -2-0 & 1 \\ 4 & -2-0 }=\pmat{ -2 & 1 \\ 4 & -2 }=\pmat{ -4 & 2 \\ 0 & 0 }[/mm]
> = 0 [mm]\Rightarrow 4x_{1}=2x_{2}[/mm]
>
Hier kannst Du z.B. [mm]x_{1}=1, \ x_{2}=2[/mm] wählen.
Und damit als Eigenvektor
[mm]EV_{1}=\vektor{x_{1} \\ x_{2}}=\vektor{1\\ 2}[/mm]
>
> [mm]EV_{1}=\vektor{2a\\ a}[/mm]
>
> bei [mm]\lambda_{2}=[/mm] -4:
>
> [mm](A-\lambda_{2}E)\vec{x}=0[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -2+4 & 1 \\ 4 & -2+4 }=\pmat{ 2 & 1 \\ 4 & 2 }=[/mm] 0
> [mm]\Rightarrow 2x_{1}=-x_{2}[/mm]
>
Hier kannst Du z.B. [mm]x_{1}=1, \ x_{2}=-2[/mm] wählen.
Und damit als Eigenvektor
[mm]EV_{2}=\vektor{x_{1} \\ x_{2}}=\vektor{1\\ -2}[/mm]
> [mm]EV_{2}=\vektor{2b\\ -b}[/mm]
>
> ich verstehe nicht wo ich mich da verrechnet habe.
>
Im eigenen Interesse stelle Fragen nicht als MItteilungen,
sondern wirklich als Fragen, denn dann werden Sie eher
gelesen und beantwortet, als wenn sie als Mitteilungen
eingestellt werden.
Gruss
MathePower
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