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inhomogene Dgl System: Lösungsraum bestimmen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Fr 12.12.2014
Autor: matheneuling24

Aufgabe
[mm] y_{1}' [/mm] = -2 [mm] y_{1}+y_{1}+40e^{x} [/mm]
[mm] y_{2}' [/mm] =  [mm] 4y_{2} -2y_{2}+24e^{-x} [/mm]

Bestimmen sie den Lösungsraum des Dgl Systems.


Hi,
ich bin schon eine weile am rumrechnen, bin mir jedoch nicht sicher ob mein Ansatz richtig ist...

zuerst habe ich [mm] y_{h}, [/mm] die homogen Lösung bestimmt:
da habe ich als Eigenwerte: 0 und -4 raus bekommen.

die dazu gehörigen Eigenvektoren sind :

[mm] \lambda_{1}=0 [/mm] :

[mm] EV_{1}= \vektor{2a \\ a} [/mm]

[mm] \lambda_{2}=-4: [/mm]

[mm] EV_{2}=\vektor{2b \\ -b} [/mm]

die Spezielle Lösung bereitet mir etwas mehr Schwierigkeiten.
mein Ansatz:

[mm] Ys=\vec{a}e^{x}+\vec{b}e^{-x}+\vec{c} [/mm]
[mm] Ys'=\vec{a}e^{x}-\vec{b}e^{-x} [/mm]

Bei diesem schritt bin ich mir nicht sicher ob ich [mm] e^{x} [/mm] und [mm] e^{-x} [/mm] als zwei vektoren im Ansatz schreiben soll:

eingesetzt in [mm] y'=Ay+\vektor{40 \\ 0}e^{x}+\vektor{0 \\ 42}e^{-x} [/mm]

ergibt:

[mm] \vec{a}e^{x}-\vec{b}=A(\vec{a}e^{x}-\vec{b}^-x+\vec{c})+\vektor{40 \\ 0}e^{x}+\vektor{0 \\ 42}e^{-x} [/mm]


durch Koeffizientenvergleich bestimme ich [mm] \vec{a},\vec{b},\vec{c} [/mm] :

[mm] \vec{a} [/mm] bestimmen:   [mm] \vec{a}=A\vec{a}+\vektor{40 \\ 0}e^{x} \gdw (A-E)\vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{-40 \\ 0} [/mm]
ergibt: [mm] \vec{a}=\vektor{20 \\ 20} [/mm]

analog [mm] \vec{b} [/mm] und [mm] \vec{c} [/mm] bestimmen

würde mich freuen wenn mir jemand sagen kann ob mein Ansatz bei der speziellen Lösung richtig ist :)

Gruß Matheneuling




Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
inhomogene Dgl System: tippfehler
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:57 Fr 12.12.2014
Autor: matheneuling24

[mm] \vec{a} [/mm] bestimmen:   [mm] \vec{a}=A\vec{a}+\vektor{40 \\ 0}e^{x} \gdw (A-E)\vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{-40 \\ 0} [/mm]
ergibt: [mm] \vec{a}=\vektor{20 \\ 20} [/mm]

bei diesem Abschnitt hab ich mich vertippt, das [mm] e^{x} [/mm] muss weg

Bezug
        
Bezug
inhomogene Dgl System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 Fr 12.12.2014
Autor: MathePower

Hallo matheneuling24,

> [mm]y_{1}'[/mm] = -2 [mm]y_{1}+y_{1}+40e^{x}[/mm]
>  [mm]y_{2}'[/mm] =  [mm]4y_{2} -2y_{2}+24e^{-x}[/mm]
>  
> Bestimmen sie den Lösungsraum des Dgl Systems.
>  Hi,
>  ich bin schon eine weile am rumrechnen, bin mir jedoch
> nicht sicher ob mein Ansatz richtig ist...
>  
> zuerst habe ich [mm]y_{h},[/mm] die homogen Lösung bestimmt:
>  da habe ich als Eigenwerte: 0 und -4 raus bekommen.
>

Dann muesste  das DGL-System so lauten:

[mm]y_{1}' = -2 y_{1}+y_{\blue{2}}+40e^{x}[/mm]
[mm]y_{2}' = 4y_{\blue{1}} -2y_{2}+24e^{-x}[/mm]


>
> die dazu gehörigen Eigenvektoren sind :
>  
> [mm]\lambda_{1}=0[/mm] :
>  
> [mm]EV_{1}= \vektor{2a \\ a}[/mm]
>  
> [mm]\lambda_{2}=-4:[/mm]
>  
> [mm]EV_{2}=\vektor{2b \\ -b}[/mm]
>


Wenn das DGL-System so wie oben angenommen lautet.
dann sind die Eigenvektoren nicht richtig.


> die Spezielle Lösung bereitet mir etwas mehr
> Schwierigkeiten.
>  mein Ansatz:
>  
> [mm]Ys=\vec{a}e^{x}+\vec{b}e^{-x}+\vec{c}[/mm]
>  [mm]Ys'=\vec{a}e^{x}-\vec{b}e^{-x}[/mm]
>


Den konstanten Vektor kannst Du Dir schenken,
da dieser Lösung des homogenen DGL-Systems ist.

Sonst ist der Ansatz richtig. [ok]


> Bei diesem schritt bin ich mir nicht sicher ob ich [mm]e^{x}[/mm]
> und [mm]e^{-x}[/mm] als zwei vektoren im Ansatz schreiben soll:
>  
> eingesetzt in [mm]y'=Ay+\vektor{40 \\ 0}e^{x}+\vektor{0 \\ 42}e^{-x}[/mm]
>  
> ergibt:
>  
> [mm]\vec{a}e^{x}-\vec{b}=A(\vec{a}e^{x}-\vec{b}^-x+\vec{c})+\vektor{40 \\ 0}e^{x}+\vektor{0 \\ 42}e^{-x}[/mm]
>  
>
> durch Koeffizientenvergleich bestimme ich
> [mm]\vec{a},\vec{b},\vec{c}[/mm] :
>  
> [mm]\vec{a}[/mm] bestimmen:   [mm]\vec{a}=A\vec{a}+\vektor{40 \\ 0}e^{x} \gdw (A-E)\vec{a}[/mm]
> = [mm]\vektor{-40 \\ 0}[/mm]
>  ergibt: [mm]\vec{a}=\vektor{20 \\ 20}[/mm]
>  


Das musst Du nochmal nachrechen.


> analog [mm]\vec{b}[/mm] und [mm]\vec{c}[/mm] bestimmen
>  
> würde mich freuen wenn mir jemand sagen kann ob mein
> Ansatz bei der speziellen Lösung richtig ist :)
>  
> Gruß Matheneuling
>  
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
inhomogene Dgl System: Korrketur Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Sa 13.12.2014
Autor: matheneuling24

Stimmmt bei dem dgl system habe ich mich vertippt das sollte heißen:

[mm] y_{1}' [/mm] = -2 [mm] y_{1}+y_{2}+40e^{x} [/mm]
[mm] y_{2}' [/mm] =  [mm] 4y_{1} -2y_{2}+24e^{-x} [/mm]


bei der Berechnung der Eigenvektoren bin ich folgendermaßen vorgegangen:

[mm] \lambda_{1}= [/mm] 0:

[mm] (A-\lambda_{1}E)\vec{x}=0 [/mm]

[mm] \pmat{ -2-0 & 1 \\ 4 & -2-0 }=\pmat{ -2 & 1 \\ 4 & -2 }=\pmat{ -4 & 2 \\ 0 & 0 } [/mm] = 0  [mm] \Rightarrow 4x_{1}=2x_{2} [/mm]


[mm] EV_{1}=\vektor{2a\\ a} [/mm]

bei [mm] \lambda_{2}= [/mm] -4:

[mm] (A-\lambda_{2}E)\vec{x}=0 [/mm]

[mm] \pmat{ -2+4 & 1 \\ 4 & -2+4 }=\pmat{ 2 & 1 \\ 4 & 2 }= [/mm] 0  [mm] \Rightarrow 2x_{1}=-x_{2} [/mm]

[mm] EV_{2}=\vektor{2b\\ -b} [/mm]

ich verstehe nicht wo ich mich da verrechnet habe.




Bezug
                        
Bezug
inhomogene Dgl System: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 Sa 13.12.2014
Autor: MathePower

Hallo matheneuling24,

> Stimmmt bei dem dgl system habe ich mich vertippt das
> sollte heißen:
>  
> [mm]y_{1}'[/mm] = -2 [mm]y_{1}+y_{2}+40e^{x}[/mm]
>  [mm]y_{2}'[/mm] =  [mm]4y_{1} -2y_{2}+24e^{-x}[/mm]
>  
>
> bei der Berechnung der Eigenvektoren bin ich
> folgendermaßen vorgegangen:
>  
> [mm]\lambda_{1}=[/mm] 0:
>  
> [mm](A-\lambda_{1}E)\vec{x}=0[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ -2-0 & 1 \\ 4 & -2-0 }=\pmat{ -2 & 1 \\ 4 & -2 }=\pmat{ -4 & 2 \\ 0 & 0 }[/mm]
> = 0  [mm]\Rightarrow 4x_{1}=2x_{2}[/mm]

>


Hier kannst Du z.B.  [mm]x_{1}=1, \ x_{2}=2[/mm] wählen.
Und damit als Eigenvektor

[mm]EV_{1}=\vektor{x_{1} \\ x_{2}}=\vektor{1\\ 2}[/mm]

>
> [mm]EV_{1}=\vektor{2a\\ a}[/mm]
>  
> bei [mm]\lambda_{2}=[/mm] -4:
>  
> [mm](A-\lambda_{2}E)\vec{x}=0[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ -2+4 & 1 \\ 4 & -2+4 }=\pmat{ 2 & 1 \\ 4 & 2 }=[/mm] 0  
> [mm]\Rightarrow 2x_{1}=-x_{2}[/mm]
>


Hier kannst Du z.B.  [mm]x_{1}=1, \ x_{2}=-2[/mm] wählen.
Und damit als Eigenvektor

[mm]EV_{2}=\vektor{x_{1} \\ x_{2}}=\vektor{1\\ -2}[/mm]


> [mm]EV_{2}=\vektor{2b\\ -b}[/mm]
>  
> ich verstehe nicht wo ich mich da verrechnet habe.
>  


Im eigenen Interesse stelle Fragen nicht als MItteilungen,
sondern wirklich als Fragen, denn dann werden Sie eher
gelesen und beantwortet, als wenn sie als Mitteilungen
eingestellt werden.


Gruss
MathePower

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