injektiv,surjektiv...zeigen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Fr 09.11.2007 | | Autor: | sunspot |
Hallo, ich hab da ne kleine(große?) Frage zu folgender Aufgabe, bzw. zu meiner dazugehörigen Lösung:
Seie f : X [mm] \to [/mm] Y und g : Y [mm] \to [/mm] Z Abbildungen. Zeigen sie:
Sind f und g injektiv (bzw. surjektiv, bijektiv), dann ist g [mm] \circ [/mm] f ebenfalls injektiv (bzw. surjektiv, bijektiv).
Meine Lösung zu injektiv:
Def. injektiv: Sind a,b [mm] \in [/mm] A und ist f(a)=f(b), so ist a=b
Seien x1,x2 [mm] \in [/mm] X mit
f(x1) = f(x2)
Sei f injektiv. Dann gilt: x1 = x2
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x1) = y1 = f(x2) , y1 [mm] \in [/mm] Y (*)
Sei g injektiv, dann gilt wegen (*)
[mm] \Rightarrow [/mm] g(f(x1)) = g(f(x2))
[mm] \Rightarrow [/mm] g [mm] \circ [/mm] f(x1) = g [mm] \circ [/mm] f(x2)
Also ist g [mm] \circ [/mm] f injektiv.
Also ich vermute dass der Ansatz mit g(f(x1)) = g(f(x2)) schon falsch ist weil f(x1) = f(x2) schon vorher festgelegt wurde. Ach, ich weiß nicht, andererseits find ichs auch richtig und da wollt ich hier mal nachfragen ob ich das so stehen lassen kann.
Würd mich über Antworten freuen!
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> Hallo, ich hab da ne kleine(große?) Frage zu folgender
> Aufgabe, bzw. zu meiner dazugehörigen Lösung:
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> Seie f : X [mm]\to[/mm] Y und g : Y [mm]\to[/mm] Z Abbildungen. Zeigen sie:
> Sind f und g injektiv (bzw. surjektiv, bijektiv), dann ist
> g [mm]\circ[/mm] f ebenfalls injektiv (bzw. surjektiv, bijektiv).
>
> Meine Lösung zu injektiv:
>
> Def. injektiv: Sind a,b [mm]\in[/mm] A und ist f(a)=f(b), so ist
> a=b
>
> Seien x1,x2 [mm]\in[/mm] X mit
> f(x1) = f(x2)
> Sei f injektiv. Dann gilt: x1 = x2
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x1) = y1 = f(x2) , y1 [mm]\in[/mm] Y (*)
> Sei g injektiv, dann gilt wegen (*)
> [mm]\Rightarrow[/mm] g(f(x1)) = g(f(x2))
> [mm]\Rightarrow[/mm] g [mm]\circ[/mm] f(x1) = g [mm]\circ[/mm] f(x2)
> Also ist g [mm]\circ[/mm] f injektiv.
>
> Also ich vermute dass der Ansatz mit g(f(x1)) = g(f(x2))
> schon falsch ist weil f(x1) = f(x2) schon vorher festgelegt
> wurde.
Hallo,
Dein Unbehagen ist begründet.
Du hast gezeigt: [mm] x_1=x_2 [/mm] ==> g [mm]\circ[/mm] f(x1) = g [mm]\circ[/mm] f(x2),
und das haut einen wirklich nicht vom Hocker, sondern ist selbstverständlich.
Du willst ja genau die andere Richung zeigen, also g [mm]\circ[/mm] f(x1) = g [mm]\circ[/mm] f(x2) ==> [mm] x_1=x_2.
[/mm]
Anleitung: Starte mit
g [mm]\circ[/mm] f(x1) = g [mm]\circ[/mm] f(x2)
==> g(f(x1)) = g(f(x2)).
Und nun spiele zuerst die Injektivität v. g aus und dann v. f.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Fr 09.11.2007 | | Autor: | sunspot |
danke :)
also das ganze andersrum, dann könnte die jetzige Lösung ja stimmen (ich mach mal da weiter wo du aufgehört hast):
Da g injektiv ist, gilt:
f(x1) = f(x2)
und da f injektiv ist, gilt:
x1 = x2
Das erscheint mir jetzt zu einfach um richtig zu sein^^
Aber jetzt erscheints mir wenigstens durchaus logisch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Fr 09.11.2007 | | Autor: | Blech |
> danke :)
> also das ganze andersrum, dann könnte die jetzige Lösung
> ja stimmen (ich mach mal da weiter wo du aufgehört hast):
>
> Da g injektiv ist, gilt:
> f(x1) = f(x2)
Wann gilt das? Für beliebige x1 und x2? Nur für bestimmte?
> und da f injektiv ist, gilt:
> x1 = x2
>
> Das erscheint mir jetzt zu einfach um richtig zu sein^^
> Aber jetzt erscheints mir wenigstens durchaus logisch.
Es ist richtig, Du mußt es jetzt nur noch sauber hinschreiben.
=)
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