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| Aufgabe | Sei f:A [mm] \to [/mm] B eine Abbildung. Wir definieren eine Abbildung f*: P(A) [mm] \to [/mm] P(B) durch:
f* (U) = [mm] \{f(a)|a\in U \} [/mm] (für alle [mm] U\subseteq [/mm] A)
Zeige:Wenn f injektiv ist, dann ist auch f* injektiv |
Guten abend zusammen,
ich hab im moment leider noch keine wirkliche Ahnung wie ich am besten an die aufgabe rangehen.also ich würd wohl mit den definitionen anfangen,die hab ich auch verstanden,aber weiter komme ich irgendwie nicht.
Es wär super,wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
viele grüße
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Widerspruchsbeweis.
Seien [mm] U_{1} [/mm] und [mm] U_{2} [/mm] mit f* ( [mm] U_{1} [/mm] ) = f* ( [mm] U_{2} [/mm] ). Dann gibt es für jedes a [mm] \in U_{1} [/mm] ein [mm] b_{a} \in U_{2} [/mm] mit f(a) = [mm] f(b_{a}) [/mm] nach Definition von f* und obiger vorausgesetzter Gleichung.
Weil f injektiv, folgt a = [mm] b_{a}, [/mm] und zwar für jedes a in [mm] U_{1}. [/mm] Das bedeutet [mm] U_{1} \subset U_{2}.
[/mm]
Aus Symmetriegründen folgt analog [mm] U_{2} \subset U_{1}. [/mm] Folglich [mm] U_{1} [/mm] = [mm] U_{2}. [/mm] qed
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Vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Ich hab da noch eine kleine frage. wie funktioniert denn das ganze mit surjektivität?also aus f ist surjektiv folgt,dass auch f* ist surjektiv.
muss ich mir jetzt ein element aus B oder eins aus P(B) nehmen,um dann zuzeigen,dass es ein zugehöriges a gibt mit f(a)=b.und was für eine rolle spielt jetzt das U,da es ja Teil der Definitionsmenge ist?
vielen dank schonmal im voraus.
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Hallo,
für die Surjektivität von [mm] f^{\*} [/mm] mußt Du zeigen, daß auf jedes Element von P(B) eins aus P(A) abgebildet wird.
Sei also [mm] Y\in [/mm] P(B). Was bedeutet das? Y ist eine Teilmenge von B, [mm] Y\subseteq [/mm] B.
Jetzt mußt Du ein Element [mm] X\in [/mm] P(A) angeben, also eine Teilmenge von A, welche auf Y abgebildet wird, für welche also [mm] f^{\*} [/mm] (X)=Y gilt.
Hierfür mußt Du Dir die Surjektivität von f zunutze machen.
Gruß v. Angela
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vielen dank für deine antwort.
ich hab jetzt auch verstanden was ich zeigen muss und so,aber mir ist irgendwie noch nicht so klar wie ich das f mit reinbringe um auf [mm] f\* [/mm] (X)=Y zu kommen.
wär super nett wenn du mir da nochmal helfen könntest.
schönen abend noch
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> vielen dank für deine antwort.
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> ich hab jetzt auch verstanden was ich zeigen muss und
> so,aber mir ist irgendwie noch nicht so klar wie ich das f
> mit reinbringe um auf [mm]f\*[/mm] (X)=Y zu kommen.
>
> wär super nett wenn du mir da nochmal helfen könntest.
Hallo,
ist die die Aussage rein anschaulich-gefühlsmäßig klar?
Stell Dir vor, Du hättest eine Teilmenge Y des Zielbereiches: was würdest Du tun, um eine teilmenge des Definitionsbereiches zu finden, die darauf abgebildet wird?
Gruß v. Angela
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