injektive Abbildung < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Sa 17.12.2011 | | Autor: | heinze |
| Aufgabe | Zeige, dass [mm] f:\IK\to M_{2x2}(K), x\mapsto \pmat{ 1 & x \\ 0 & 1 }injektiv [/mm] ist.
zeige auch dass für [mm] x,y\in [/mm] K gilt f(x+y)=f(x)+f(y) |
Wie zeigt man, dass diese Abbildung injektiv ist?
Zu Injektiv fällt mir gerade bloß ein: Jedes Bild hat höchstens ein Urbild.
Könnt ihr mir erklären wie ich die Injektivität hier zeige?
Bei dem 2.Aufgabenteil frage ich mich: was ist konkret mein x und was mein y? Mir scheint die Aussage die zu zeigen ist so logisch, dass es gleich wieder kompliziert wird es zu beweisen.
LG
heinze
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
> Zeige, dass [mm]f:\IK\to M_{2x2}(\IK)\ ,\quad x\mapsto \pmat{ 1 & x \\ 0 & 1 }[/mm]
> injektiv ist.
>
> zeige auch dass für [mm]x,y\in[/mm] K gilt f(x+y)=f(x)+f(y)
> Wie zeigt man, dass diese Abbildung injektiv ist?
> Zu Injektiv fällt mir gerade bloß ein: Jedes Bild hat
> höchstens ein Urbild.
>
> Könnt ihr mir erklären wie ich die Injektivität hier
> zeige?
>
> Bei dem 2.Aufgabenteil frage ich mich: was ist konkret mein
> x und was mein y? Mir scheint die Aussage die zu zeigen ist
> so logisch, dass es gleich wieder kompliziert wird es zu
> beweisen.
>
> LG
> heinze
Hallo heinze,
unter welchen Umständen sind zwei Matrizen aus [mm] M_{2x2}(K)
[/mm]
gleich ?
Nimm einmal an, du hättest zwei verschiedene reelle Zahlen
x und y mit f(x)=f(y) und zeige, dass diese Annahme auf
einen Widerspruch führt.
Zum 2. Teil: notiere einfach das scheinbar Selbstverständliche
ganz genau, ohne dich auf die Selbstverständlichkeit zu
stützen !
Stütze dich nur auf die Definition der Addition in [mm] M_{2x2}(K) [/mm] .
Sei auch für eine allfällige Überraschung bereit !
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:39 So 18.12.2011 | | Autor: | heinze |
Erst einmalmal vielen Dank für die Erklärung.
Allerdings ist mir die ganze Geschichte nich nicht richtig klar geworden.
2 Matrizen sind gleich, wenn sie die gleiche Anzahl an Zeilen und Spalten haben und jeder ihrer Einträge gleich ist.
Das bringt mich bei der Aufgabe aber nicht weiter.
Du meintest ich soll f(x+y)=f(x)*f(y) allgemein zeigen? also mit x und y allgemein? Die Aufgabe verwirrt mich, bisher kenne ich f(x+y)= f(x)+f(y) und nicht die Multiplikation
LG
heinze
|
|
|
| |
|
2 Aufgabenteile mit [mm]f(\blue{x}):=\pmat{1&\blue{x}\\
0&1}[/mm]
a) über Definition:
z.z. f ist injektiv, d.h. [mm]\forall x,y : f(x)=f(y)\Rightarrow x=y[/mm]
oder aus [mm]x\neq y\in K[/mm] folgt [mm]f(x)\neq f(y)\in K^{2\times 2}[/mm]. Nehmen wir mal die zweite Formulierung.
Du nimmst dir beliebige [mm]x,y\in K[/mm]. Annahme f ist nicht injektiv, d.h. es gilt [mm]x\neq y\wedge f(x)=f(y)[/mm].
Siehst du es?
b) berechne
[mm]f(\blue{x+y})[/mm]
und
[mm] f(\blue{x})+f(\blue{y})=\ldots[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 So 18.12.2011 | | Autor: | heinze |
das heißt ich nehme zwei identsiche matrizen und zeige damit die Injektivität?
Bei b) muss es lauten f(x+y)=f(x)*f(y) laut Übungsblatt.
Wähle ich da auch Matrizen?
Es wäre mir eine Hilfe, wenn du mir einfach mal den Anfang zeigst wie ich das aufschreibe, dann komme ich sicher alleine weiter ;)
LG
heinze
|
|
|
| |
|
Hallo heinze,
> das heißt ich nehme zwei identsiche matrizen und zeige
> damit die Injektivität?
Ja, du nimmst zwei identische Bilder (das sind ja hier Matrizen) her, also [mm]f(x)=f(y)=\pmat{1&x\\
0&1}=\pmat{1&y\\
0&1}[/mm] und musst daraus folgern, dass bitteschön auch [mm]x=y[/mm] gelten muss.
>
> Bei b) muss es lauten f(x+y)=f(x)*f(y) laut Übungsblatt.
> Wähle ich da auch Matrizen?
Du nimmst zwei beliebige [mm]x,y\in\IK[/mm] her und rechnest beide Seiten einfach aus.
[mm]f(x+y)=\pmat{1&x+y\\
0&1}[/mm]
Was ist [mm]f(x)\cdot{}f(y)[/mm] ?
>
> Es wäre mir eine Hilfe, wenn du mir einfach mal den Anfang
> zeigst wie ich das aufschreibe, dann komme ich sicher
> alleine weiter ;)
>
>
> LG
> heinze
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 So 18.12.2011 | | Autor: | heinze |
Matrizenmultiplikation ist mir bekannt, dass sollte kein problem für mich darstellen!
Das Problem liegt lediglich darin, die Aufgabe "anzupacken" und zu formalisieren. Nur mit was? mit 2 identischen Matrizen? DA liegt das Problem.
Ich habe mich tatsächlich vertippt!
LG
heinze
|
|
|
| |
|
> Matrizenmultiplikation ist mir bekannt, dass sollte kein
> Problem für mich darstellen!
Aha. Oben hast du nur mal geschrieben:
"Die Aufgabe verwirrt mich, bisher kenne ich f(x+y)= f(x)+f(y)
und nicht die Multiplikation"
> Das Problem liegt lediglich darin, die Aufgabe "anzupacken"
> und zu formalisieren. Nur mit was? mit 2 identischen
> Matrizen? DA liegt das Problem.
>
> Ich habe mich tatsächlich vertippt!
>
> LG
> heinze
Hallo,
dann berechne doch einfach einmal
$\ f(x)*f(y)\ =\ [mm] \pmat{1&x\\0&1}*\pmat{1&y\\0&1}$ [/mm]
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 So 18.12.2011 | | Autor: | heinze |
[mm] f(x)*f(y)=\pmat{ 1 & x \\ 0 & 1 }\pmat{ 1 & y \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & x+y \\ 0 & 1 }
[/mm]
Richtig?
LG
heinze
|
|
|
| |
|
Hallo,
> [mm]f(x)*f(y)=\pmat{ 1 & x \\
0 & 1 }\pmat{ 1 & y \\
0 & 1 }=\pmat{ 1 & x+y \\
0 & 1 }[/mm]
>
> Richtig?
Ja!
>
>
> LG
> heinze
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 So 18.12.2011 | | Autor: | heinze |
Vielen Dank! Das war einfacher als gedacht. Da sieht man, dass Mathe nicht immer kompliziert sein muss ;)
LG
heinze
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
matrix![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Matrizenmultiplikation