injektive mengenbeweis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Community,
ich soll folgendes beweisen.
f: X -> Y
a) f injektive <==> [mm] f(X\M) \subset Y\f(M) [/mm] für alle M [mm] \subset [/mm] X
b) f surjektiv <==> [mm] Y\f(M) \subset f(X\M) [/mm] für alle M [mm] \subset [/mm] X
Nun fehlt mir leider jedglicher Ansatz. Ich verstehe die Aussagen schon
und es ist für mich auch logisch, dass sie gelten.
Wir haben zunächste gelernt immer zu versuchen mit x [mm] \in [/mm] zu argumentieren. Aber mir fehlt der erste Schritt den ich aus den
Aussagen folgern kann.
Danke schon mal für jede Hilfe!
mit freundlichen Grüßen
oktollber
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a)
Du weißt ja, dass 2 Richtungen zu zeigen sind.
"=>"
Grundidee: Ist ein Widerspruchsbeweis
f injektive => [mm]f(X\setminus M) \subset Y\setminus f(M)[/mm]
Also sei f injektiv und [mm] $M\subset [/mm] X$ beliebig. Zu zeigen ist [mm] $f(X\setminus [/mm] M) [mm] \subset Y\setminus [/mm] f(M)$, d.h. [mm] $y\in f(X\setminus [/mm] M) [mm] \Rightarrow y\in Y\setminus [/mm] f(M)$
Widerspruch über Annahme: [mm] $y\not\in Y\setminus [/mm] f(M) $, d.h. [mm] $y\in [/mm] f(M)$
Sei dazu [mm] $y\in f(X\setminus [/mm] M)$, dann gibt es ein x mit ......
Wäre [mm] $y\in [/mm] f(M)$, dann gibt es ein [mm] $\hat{x}$ [/mm] mit [mm] $x\in [/mm] $?? und y=f(x)
Was sagt dir aber die Injektivität über $x$ und [mm] $\hat{x}$?
[/mm]
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Zunächste, das sollte [mm] f(X\M) \subset Y\f(M) [/mm] heißen.
Zu deinem Grundgerüst:
X ist doch die übergeordnete Menge, also kann X [mm] \subset [/mm] M doch garnicht gelten, oder?
Mit deinem "z.z." beweißt man doch, dass X = M, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Mi 02.11.2011 | | Autor: | wieschoo |
Ich bin noch nicht fertig, deswegen ist der Status auch rot. Dieses $Y(M)$ hat das auch eine Definition?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Mi 02.11.2011 | | Autor: | oktollber |
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Fr 04.11.2011 | | Autor: | wieschoo |
siehe https://matheraum.de/read?i=832656
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> a)
> Du weißt ja, dass 2 Richtungen zu zeigen sind.
>
> "=>"
> Grundidee: Ist ein Widerspruchsbeweis
> f injektive => [mm]f(X\setminus M) \subset Y\setminus f(M)[/mm]
> Also sei f injektiv und [mm]M\subset X[/mm] beliebig. Zu zeigen ist
> [mm]f(X\setminus M) \subset Y\setminus f(M)[/mm], d.h. [mm]y\in f(X\setminus M) \Rightarrow y\in Y\setminus f(M)[/mm]
>
> Widerspruch über Annahme: [mm]y\not\in Y\setminus f(M) [/mm], d.h.
> [mm]y\in f(M)[/mm]
>
> Sei dazu [mm]y\in f(X\setminus M)[/mm], dann gibt es ein x mit
> ......
> Wäre [mm]y\in f(M)[/mm], dann gibt es ein [mm]\hat{x}[/mm] mit [mm]x\in [/mm]?? und
> y=f(x)
>
> Was sagt dir aber die Injektivität über [mm]x[/mm] und [mm]\hat{x}[/mm]?
>
Also die Injektivität sagt mir für zwei verschiedene x, dass sie zwei verschiedene Bilder haben.
Versteh ich den Beweis richtig:
Sei y [mm] \in f(X\setminus [/mm] M) => x [mm] \not\in [/mm] M
Aber laut Annahme:
y [mm] \in [/mm] f(M) => [mm] \exists [/mm] x [mm] \in [/mm] M mit y=f(x) <- Hier wäre der Widerspruch zu oben?
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Sei f injektiv und [mm] $M\subset [/mm] X$ beliebig.
Desweiteren sei [mm] $y\in f(X\setminus [/mm] M)$. Damit [mm] $\exists x\in X\setminus [/mm] M$ mit $y=f(x)$.
Annahme: [mm] $y\in [/mm] f(M)$. Damit gibt es ein [mm] $\hat{x}\in [/mm] M$ mit [mm] $y=f(\hat{x})$.
[/mm]
Aber f ist injektiv also gilt [mm] $x=\hat{x}$. [/mm] Widerspruch!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:32 Mi 02.11.2011 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zusammen,
gemeint ist:
a) f injektive <==> [mm]f(X\setminus M) \subset Y\setminus f(M)[/mm] für alle M [mm]\subset[/mm] X
b) f surjektiv <==> [mm]Y\setminus f(M) \subset f(X\setminus M)[/mm] für alle M [mm]\subset[/mm] X
An oktollber:
Wenn du ein [mm] $\setminus$ [/mm] in einer Formel haben willst, musst du \setminus eingeben.
Viele Grüße
Tobias
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