inkongruente Lsg. bestimmen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Di 06.01.2009 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | Man bestimme alle inkongruenten Lösugen der Kongruenz
[mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + 8x + 9 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 35 |
Hallo!
Ich hänge gerade beim Lösen der obigen Aufgabe etwas fest.
den modulo kann ich ganz einfach faktorisieren, damit das Lösen einfacher wird.
35 = 5 * 7
damit erhalte ich:
I: [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + 3x + 4 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 5
II: [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + x + 2 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 7
nun gehe ich alle werte durch, die x jeweils annehmen kann
I: [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + 3x + 4 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 5
I(0) = 0 + 0 + 0 + 4 = 4
I(1) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 5
I(2) = 16 + 2*8 + 6 + 4 = 42
I(3) = 81 + 2 * 27 + 9 + 4 = 148
I(4) = 256 + 2 * 64 + 12 + 4 = 400 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 5
II: [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + x + 2 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 7
II(0) = 0 + 0 + 0 + 2 = 2
II(1) = 6
II(2) = 16 + 2 * 8 + 2 + 2 = 36
II(3) = 81 + 2 * 27 + 3 + 2 = 140 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 7
II(4) = 256 + 2 * 64 + 4 + 2 = 390
II(5) = 625 + 2 * 125 + 5 + 2 = 882 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 7
II(6) = 1296 + 2 * 218 + 6 + 2 = 1736 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 7
I: [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + 3x + 4 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 5
Lösungsmenge: {1,4}
II: [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^3 [/mm] + x + 2 [mm] \equiv [/mm] 0 mod 7
Lösungsmenge: {3,5,6}
Also habe ich nun meine Ausgangstupel für den Chinesischen Restsatz:
(1,3),(1,5),(1,6),(4,3),(4,5),(4,6)
für das erste tupel:
x [mm] \equiv [/mm] 1 mod 5
x [mm] \equiv [/mm] 3 mod 7
[mm] r_i [/mm] * [mm] m_i [/mm] + [mm] s_i [/mm] * M = 1
[mm] e_i [/mm] := [mm] s_i [/mm] * M
x := [mm] \summe_{i=1}^{n} a_i e_i [/mm]
M = 5 * 7 = 35
[mm] m_1 [/mm] = [mm] \bruch{35}{5} [/mm] = 7
[mm] a_1 [/mm] = 1
[mm] m_2 [/mm] = [mm] \bruch{35}{7} [/mm] = 5
[mm] a_2 [/mm] = 3
[mm] r_i [/mm] * 7 + [mm] s_i [/mm] * 35 = 1
und hier komme ich nie weiter, da der ggt von 7 und 35 nicht 1 ist
hoffe mir kann jemand helfen
lg
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Hallo uniklu,
> Man bestimme alle inkongruenten Lösugen der Kongruenz
> [mm]x^4[/mm] + [mm]2x^3[/mm] + 8x + 9 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 35
> Hallo!
>
> Ich hänge gerade beim Lösen der obigen Aufgabe etwas fest.
>
> den modulo kann ich ganz einfach faktorisieren, damit das
> Lösen einfacher wird.
>
> 35 = 5 * 7
>
> damit erhalte ich:
>
> I: [mm]x^4[/mm] + [mm]2x^3[/mm] + 3x + 4 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 5
> II: [mm]x^4[/mm] + [mm]2x^3[/mm] + x + 2 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 7
>
> nun gehe ich alle werte durch, die x jeweils annehmen kann
>
>
> I: [mm]x^4[/mm] + [mm]2x^3[/mm] + 3x + 4 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 5
> I(0) = 0 + 0 + 0 + 4 = 4
> I(1) = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 5
> I(2) = 16 + 2*8 + 6 + 4 = 42
> I(3) = 81 + 2 * 27 + 9 + 4 = 148
> I(4) = 256 + 2 * 64 + 12 + 4 = 400 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 5
>
> II: [mm]x^4[/mm] + [mm]2x^3[/mm] + x + 2 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 7
> II(0) = 0 + 0 + 0 + 2 = 2
> II(1) = 6
> II(2) = 16 + 2 * 8 + 2 + 2 = 36
> II(3) = 81 + 2 * 27 + 3 + 2 = 140 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 7
> II(4) = 256 + 2 * 64 + 4 + 2 = 390
> II(5) = 625 + 2 * 125 + 5 + 2 = 882 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 7
> II(6) = 1296 + 2 * 218 + 6 + 2 = 1736 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 7
>
>
> I: [mm]x^4[/mm] + [mm]2x^3[/mm] + 3x + 4 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 5
> Lösungsmenge: {1,4}
> II: [mm]x^4[/mm] + [mm]2x^3[/mm] + x + 2 [mm]\equiv[/mm] 0 mod 7
> Lösungsmenge: {3,5,6}
>
> Also habe ich nun meine Ausgangstupel für den Chinesischen
> Restsatz:
> (1,3),(1,5),(1,6),(4,3),(4,5),(4,6)
>
> für das erste tupel:
>
> x [mm]\equiv[/mm] 1 mod 5
> x [mm]\equiv[/mm] 3 mod 7
>
> [mm]r_i[/mm] * [mm]m_i[/mm] + [mm]s_i[/mm] * M = 1
> [mm]e_i[/mm] := [mm]s_i[/mm] * M
> x := [mm]\summe_{i=1}^{n} a_i e_i[/mm]
>
> M = 5 * 7 = 35
> [mm]m_1[/mm] = [mm]\bruch{35}{5}[/mm] = 7
> [mm]a_1[/mm] = 1
> [mm]m_2[/mm] = [mm]\bruch{35}{7}[/mm] = 5
> [mm]a_2[/mm] = 3
>
> [mm]r_i[/mm] * 7 + [mm]s_i[/mm] * 35 = 1
>
> und hier komme ich nie weiter, da der ggt von 7 und 35
> nicht 1 ist
Hier mußt Darstellung
[mm]r_{i} * 7 + s_{i} * 5 = 1[/mm]
,da Du
[mm]x^4 + 2x^3 + 8x + 9 \equiv 0 [/mm] mod 5
und
[mm]x^4 + 2x^3 + 8x + 9 \equiv 0 [/mm] mod 7
betrachtest.
> hoffe mir kann jemand helfen
>
> lg
>
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:50 Di 06.01.2009 | | Autor: | uniklu |
danke!
ich bin ein idiot :P
ich musste ja [mm] M_i [/mm] noch berechnen...
[mm] M_i [/mm] = M / [mm] m_i
[/mm]
danke dir!
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