innere Punkte von Q über R < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Im folgenden sei Rund [mm] R^2 [/mm] jeweils mit der Topologie versehen, die von der euklidischen Metrik erzeugt wird. Bestimmen Sie innere Punkte, Berührpunkte und Randpunkte folgender Mengen:
[...]
b) [mm] \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}
[/mm]
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Hallo,
ich bin mir nicht sicher, ob hier ganz [mm] \mathbb{R} [/mm] die Menge aller inneren Punkte von [mm] \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} [/mm] ist.
Die Definition sagt mir, dass ein Punkt x dann innerer Punkt einer Menge M ist, wenn M Umgebung von x ist.
Nun übertragen auf [mm] \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} [/mm] würde das ja bedeuten, dass [mm] \mathbb{Q} [/mm] auch Umgebung von [mm] \mathbb{Q} [/mm] \ [mm] \mathbb{R} [/mm] sein müsste.
Aber ist denn [mm] \mathbb{Q} [/mm] \ [mm] \mathbb{R} [/mm] auch Umgebung von z.B. [mm] \wurzel{2}? [/mm] Oder muss der Punkt dafür in [mm] \mathbb{Q} [/mm] liegen?
Ich hoffe, ich habe einigermaßen verständlich ausgedrückt, was ich meine 
Danke schonmal für Antworten und Gruß
vom congo.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mi 05.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Im folgenden sei Rund [mm]R^2[/mm] jeweils mit der Topologie
> versehen, die von der euklidischen Metrik erzeugt wird.
> Bestimmen Sie innere Punkte, Berührpunkte und Randpunkte
> folgender Mengen:
>
> [...]
>
> b) [mm]\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich bin mir nicht sicher, ob hier ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] die Menge
> aller inneren Punkte von [mm]\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}[/mm]
> ist.
Nein, ist sie nicht. Ein innerer Punkt von [mm] $\IQ$ [/mm] ist insbesondere ein Element von [mm] $\IQ$ [/mm] -- womit die Menge der inneren Punkte nicht ganz [mm] $\IR$ [/mm] sein kann!
> Die Definition sagt mir, dass ein Punkt x dann innerer
> Punkt einer Menge M ist, wenn M Umgebung von x ist.
Exakt. Oder anders gesagt: $x [mm] \in \IR$ [/mm] ist ein innerer Punkt von [mm] $\IQ$, [/mm] wenn es ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gibt mit [mm] $B_\varepsilon(x) \subseteq \IQ$.
[/mm]
So, und jetzt ueberleg mal, fuer welche $x$ und welche [mm] $\varepsilon$ [/mm] dies ueberhaupt der Fall sein kann.
LG Felix
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Na dann müsste ja die Menge aller inneren Punkte von [mm] \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} [/mm] doch dann [mm] \mathbb{Q} [/mm] sein, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mi 05.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Na dann müsste ja die Menge aller inneren Punkte von
> [mm]\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}[/mm] doch dann [mm]\mathbb{Q}[/mm] sein,
> oder?
Nein. Warum sollte es denn? Wo ist deiner Begründung?
SEcki
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Naja, weil sich um jeden Punkt aus [mm] \mathbb{Q} [/mm] eine [mm] \epsilon [/mm] - Umgebung legen lässt die in [mm] \mathbb{Q} [/mm] enthalten ist. Oder muss ganz [mm] \mathbb{Q} [/mm] Umgebung von den inneren Punkten sein? Denn dann wäre es ja die leere Menge, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:42 Mi 05.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Naja, weil sich um jeden Punkt aus [mm]\mathbb{Q}[/mm] eine [mm]\epsilon[/mm]
> - Umgebung legen lässt die in [mm]\mathbb{Q}[/mm] enthalten ist.
Wie soll denn das gehen, dass die [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung nur rationale Zahlen enthält? Eine [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung eines Punktes [mm] $\bruch{p}{q}\in\IQ$ [/mm] ist das offene Intervall
[mm] (\bruch{p}{q}-\epsilon,\bruch{p}{q}+\epsilon) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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> Wie soll denn das gehen, dass die [mm]\epsilon[/mm]-Umgebung nur
> rationale Zahlen enthält?
Ja, da war ich mir halt nicht so sicher...
Dann müsste doch die Menge der inneren Punkte aus der leeren Menge bestehen oder nicht? Wenn man [mm] \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} [/mm] als Umgebung betrachtet so sind ja auf jeden Fall Punkte enthalten, die nicht in [mm] \mathbb{Q} [/mm] liegen und somit [mm] \mathbb{Q} [/mm] nicht Umgebung dieser Punkte (wie z.B. [mm] \wurzel{2})
[/mm]
Ist das so richtig, oder habe ich immer noch nen Denkfehler?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:53 Do 06.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Dann müsste doch die Menge der inneren Punkte aus der
> leeren Menge bestehen oder nicht?
Ja, aber wieso? Was ist das Argument?
> Wenn man [mm]\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}[/mm]
> als Umgebung betrachtet so sind ja auf jeden Fall Punkte
> enthalten, die nicht in [mm]\mathbb{Q}[/mm] liegen und somit
> [mm]\mathbb{Q}[/mm] nicht Umgebung dieser Punkte (wie z.B.
> [mm]\wurzel{2})[/mm]
Bitte was?
> Ist das so richtig, oder habe ich immer noch nen
> Denkfehler?
Wohl eher zweiteres ... was sind denn deine Argumente?
SEcki
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Na weil nicht ganz [mm] \mathbb{R} [/mm] in [mm] \mathbb{Q} [/mm] liegt, kann [mm] \mathbb{Q} [/mm] nicht Umgebung von [mm] \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} [/mm] sein.
Ist das nicht richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Do 06.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Na weil nicht ganz [mm]\mathbb{R}[/mm] in [mm]\mathbb{Q}[/mm] liegt, kann
> [mm]\mathbb{Q}[/mm] nicht Umgebung von [mm]\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}[/mm]
> sein.
> Ist das nicht richtig?
Nicht richtig und nicht falsch - es ist unverständlich.
Eigentlich ist schon alles gesagt worden. Trotzdem:
Sei [mm] x_0 \in \IQ. [/mm] Annahme: [mm] x_0 [/mm] ist innerer Punkt von [mm] \IQ. [/mm] Dann ex. ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 so, dass das offene Intervall
(*) [mm] $(x_0 [/mm] - [mm] \varepsilon, x_0 [/mm] + [mm] \varepsilon) \subseteq \IQ$ [/mm]
ist. Nun ist es aber so, dass obiges Intervall saumäßig viele irrationale Zahlen enthält. Somit kann (*) nicht stimmen ! Widerspruch !
FAZIT: [mm] \IQ [/mm] hat keine inneren Punkte.
FRED
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Ok, ja das meinte ich. Kann mich nur noch nicht so gut "mathematisch" ausdrücken. Vielen Dank für eure Geduld!
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Zu den Berührpunkten:
Erstmal die Definition übertragen auf die Aufgabe:
x ist Berührpunkt von [mm] \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \Leftrightarrow [/mm] jede Umgebung von x enthält mind. einen Pkt. aus [mm] \mathbb{Q}
[/mm]
Nun weiß ich leider nicht, wie genau [mm] \mathbb{R} [/mm] aussieht. Wenn ich mal davon ausgehe, dass um jeden Punkt aus [mm] \mathbb{Q} [/mm] unendlich viele Punkte aus [mm] \mathbb{R} [/mm] liegen (ist das so?), so dürfte es die Menge der Berührpunkte ja wieder der leeren Menge entsprechen, da es zu jedem Punkt [mm] x_0 [/mm] aus [mm] \mathbb{Q} [/mm] eine beliebig kleine Umgebung gibt die nur irrationale Zahlen außer [mm] x_0 [/mm] enthält, oder?
Und folglich wäre dann der Rand die Menge [mm] \partial(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} [/mm] ) gleich der Berührpunkte ohne die inneren Punkte. Also [mm] \emptyset [/mm] \ [mm] \emptyset [/mm] = [mm] \emptyset.
[/mm]
Vielen Dank im Voraus für Antworten.
congo
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Do 06.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zu den Berührpunkten:
> Erstmal die Definition übertragen auf die Aufgabe:
>
> x ist Berührpunkt von [mm]\mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \Leftrightarrow[/mm]
> jede Umgebung von x enthält mind. einen Pkt. aus
> [mm]\mathbb{Q}[/mm]
O.K.
>
> Nun weiß ich leider nicht, wie genau [mm]\mathbb{R}[/mm] aussieht.
> Wenn ich mal davon ausgehe, dass um jeden Punkt aus
> [mm]\mathbb{Q}[/mm] unendlich viele Punkte aus [mm]\mathbb{R}[/mm] liegen
> (ist das so?), so dürfte es die Menge der Berührpunkte ja
> wieder der leeren Menge entsprechen, da es zu jedem Punkt
> [mm]x_0[/mm] aus [mm]\mathbb{Q}[/mm] eine beliebig kleine Umgebung gibt die
> nur irrationale Zahlen außer [mm]x_0[/mm] enthält, oder?
Das ist doch Unfug ! Jedes Intervall (a,b) mit a<b enthält unendliche viele rationale Zahlen und unendlich viele irrationale Zahlen
(*) Somit ist jede reelle Zahl Berührpunkt von [mm] \IQ
[/mm]
>
> Und folglich wäre dann der Rand die Menge
> [mm]\partial(\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}[/mm] ) gleich der
> Berührpunkte ohne die inneren Punkte. Also [mm]\emptyset[/mm] \
> [mm]\emptyset[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
Mit (*) noch mal von vorne
FRED
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> Vielen Dank im Voraus für Antworten.
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> congo
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