innere Verknüpfung auf Menge < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Es sei H = {a,b}. Geben Sie alle inneren Verknüpfungen auf H an. |
Hallo zusammen,
ich habe bereits herausgefunden das es auf einer Menge mit n Elementen n^(2n) innere Verknüpfungen gibt. Bei einer 2 elementigen Menge macht das also 2^(2*2) = [mm] 2^4 [/mm] = 16.
ich finde aber nur 8 innere Verknüpfungen:
a*a = a
a*b = a
b*a = a
b*b = a
a*a = b
a*b = b
b*a = b
b*b = b
Wie sehen denn dann die anderen aus?
Vielen Dank für eure Hilfe :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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In einem Mathe-Buch habe ich gefunden:
Eine Verknüpfung auf der Menge H ist durch eine Abbildung ◦ : H × H → H definiert.
Gilt H={a1, . . . ,am}, so wird eine Verknüpfung ◦ auch vollständig durch ein Element
(◦(a1 , a1 ), ◦(a1 , a2 ), . . . , ◦(a1 , am ), ◦(a2 , a1 ), . . . , ◦(am , am )) ∈ [mm] H^{m^2} [/mm]
beschrieben.
Es gibt [mm] m^{2^m} [/mm] = m^(2m) derartige Elemente, also m^(2m) verschiedene Verknüpfungen auf H .
Hmmm
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Wer kann mir sagen wie das gemeint ist wenn es nur acht Verknüpfungen gibt?
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Hallo nochmal,
in dem von Dir zitierten Text geht es nicht um die einzelnen Verknüpfung je zweier Elemente, sondern um die Zahl aller möglichen Verknüpfungstabellen/-tafeln.
In jeder dieser Tabellen stehen m*m Paare. Für jedes Paar gibt es m mögliche Ergebnisse. Insgesamt sind also [mm] m^{(m^2)} [/mm] Tabellen möglich.
Jede komplette Tabelle entspricht einer möglichen Verknüpfung.
Bei zwei Elementen sähe die erste Tabelle wohl so aus:
a*a=a
a*b=a
b*a=a
b*b=a
Die letzte wäre dann:
a*a=b
a*b=b
b*a=b
b*b=b
Die achte Tabelle wäre
a*a=a
a*b=b
b*a=b
b*b=b
...und insgesamt gäbe es eben [mm] 2^{(2^2)}=16 [/mm] Tabellen.
Bei drei Elementen wären es schon [mm] 3^9=19683 [/mm] Tabellen. Die würde ich nicht mehr von Hand aufschreiben wollen.
Bei vier Elementen gäbe es fast [mm] 4,3*10^9 [/mm] Tabellen, bei fünf schon fast [mm] 3*10^{17}.
[/mm]
So besser?
Grüße
reverend
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Ah Okay! Jetzt habe ich es Verstanden.
Danke
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