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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:00 Mo 08.09.2008 | | Autor: | ladytine |
aufgabe lautet:
beweise:
integral [mm] (1/(1+x^2)) [/mm] dx = arctan(x)
hilfestellung
tan (arctan x) = x
tan(x)' = 1+ tan [mm] (x^2)
[/mm]
mag mir jemand das ma erklären? ich kanns nicht. danke schon mal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Framl |
> aufgabe lautet:
>
> beweise:
>
> integral [mm](1/(1+x^2))[/mm] dx = arctan(x)
>
> hilfestellung
>
> tan (arctan x) = x
> tan(x)' = 1+ tan [mm](x^2)[/mm]
Es ist [mm] $tan(x)'=1+tan(x)^2$, [/mm] das "hoch 2" steht außerhalbt vom tan, nicht in dem Argument des tan. Wem sieht diese Ableitung denn ähnlich?
>
> mag mir jemand das ma erklären? ich kanns nicht. danke
> schon mal.
Gruß Framl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ladytine!
Hier muss/soll mittels Substitution integriert werden. Wähle hierzu: $x \ := \ [mm] \tan(u)$ [/mm] .
Nun noch die gegebenen Tipps verwenden.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Wenn du es so rum nicht schaffst, kannst du natürlich auch zeigen, dass [mm] (arctan(x))'=\bruch{1}{1+x^2} [/mm] gilt.
Dazu kannst du die Beziehung zwischen den Ableitungen von Umkehrfunktionen verwenden [mm] (\overline{f}'(y)=\bruch{1}{f'(x)}, [/mm] mit f(x)=y=tan(x) und [mm] \overline{f}(y)=x=arctan(y)).
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:44 Mo 08.09.2008 | | Autor: | ladytine |
ich verstehe ehrlich gesagt beide antworten nicht. ich weiß weder was mit "integrieren per substitution" noch mit "umkehrfunktionen" anzufangen. vllt ein anderer weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Teufel |
Wie ich grad sehe, sollen dich die Ergebnisse zu meiner Antwort locken ;)
Ok, du hast tan(arctan(x))=x, das verstehst du ja auch sicher.
Leite jetzt mal beide Seiten der Gleichung ab (Kettenregel links) und dann kannst du gut nach (arctan(x))' umstellen.
Teufel
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