integral berechnen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Mi 26.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Leute!
Könnt ihr mir bitte helfen, diese Aufgabe zu lösen? Ich habe versucht, sie zu lösen, aber ich komm nicht weiter. Danke!
Die Aufgabe:
Berechne
[mm] \integral_{0}^{2\pi} {cos^{n}(x)} [/mm] dx, n [mm] \in \IN [/mm] gerade.
Was ist die Stammfunktion dieses Integrals? Ich habe es mit Substitution versucht, aber es klappt nicht. Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen, oder mir zumindest einen Hinweis geben, so dass ich es auch selber lösen kann.
Vielen Dank!
Ciao 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:41 Do 27.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
die idee mit induktion von Bastiane ist gut. zeige z.b. mit hilfe von partieller integration:
[m] \int \cos^n x \, \textrm{d} x = \frac{\cos^{n-1}x \sin x}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}x \, \textrm{d}x [/m].
edit: vorzeichenfehler ausgebessert
das schöne ist, dass nun der erste term auf der rechten seite immer wegfällt, da [m] \sin(0) = \sin(2\pi) = 0 [/m] und nach einer fallunterscheidung in ungerade oder gerade $n$ erhälst du entweder stets $0$ oder ein ausdruck mit "doppelfakultät".
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Do 27.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo!
Danke für eure Hilfe! Aber leider verstehe ich nicht ganz, Andreas, wie du auf die Aufspaltung kommst.
Die allgemeine Formel von der partiellen Integration lautet doch:
[mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x)´ g(x) dx} = [f(x) g(x)] - [mm] \integral_{a}^{b} [/mm] {f(x) g(x)´dx}
Was ist denn bei meiner formel das f(x)´ und das g(x)?
Etwa f(x)´ = [mm] cos^{n}
[/mm]
und g(x) = x
oder wie sonst? Es tut mir leid, aber ich verstehe das wirklich nicht.
Kannst du mir vielleicht noch einen weiteren tipp geben?
Vielen Dank!
Ciao!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Do 27.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Danke für eure Hilfe! Aber leider verstehe ich nicht ganz,
> Andreas, wie du auf die Aufspaltung kommst.
>
> Die allgemeine Formel von der partiellen Integration lautet
> doch:
> [mm]\integral_{a}^{b} {f(x)' g(x) dx} = [f(x) g(x)]_a^b - \integral_{a}^{b} {f(x) g(x)'dx} [/mm]
das sieht ganz gut aus.
> Was ist denn bei meiner formel das f(x)´ und das g(x)?
> Etwa f(x)´ = [mm]cos^{n}
[/mm]
> und g(x) = x
> oder wie sonst? Es tut mir leid, aber ich verstehe das
> wirklich nicht.
habt ihr noch keine partielle integration behandelt, oder wie kommst du auf so abstruse funktionen? die funktionen $f$ und $g$ müssen ja jeweils funktionen von $x$ sein, was [mm] $\cos^n$ [/mm] ja nicht ist. da aber [mm] $\cos^n [/mm] x = [mm] \underbrace{\cos x \cdot \cos x \codt \hdots \cdot \cos x}_{n\textrm{-mal}}$ [/mm] kann man das integral ja auch so schrieben:
[m] \int \cos^n x \, \textrm{d}x = \int \cos x \cdot \cos^{n-1}x \, \textrm{d}x [/m]
jetzt kann man sich ja mal überlegen, welcher der beiden faktoren sich als [m] f'(x) [/m] und welcher sich als [m]g(x)[/m] eignet. da man von [m]f'(x)[/m] eine stammfunktion finden muss sollte man als [m]f'(x)[/m] lieber [m]\cos x[/m] wählen, also $f'(x) = [mm] \cos [/mm] x$ und $g(x) = [mm] \cos^{n-1}x$. [/mm] wende daruaf mal deine obige formel an und denke an die gleichung [mm] $\sin^2x [/mm] = 1 [mm] -\cos^2x$, [/mm] die sollte dir dann noch gute dienste erweisen! am schluss fasst du den ausdruck den du erhälst als gleichung auf und isolierst [m] \int \cos^n x \, \textrm{d}x [/m], dann solltest du den ausdruck aus meiner ersten antwort erhalten!
probiere mal dein glück, wenn du nicht weiterkommst kannst du dich ja nochmal melden!
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Do 27.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Andreas!
Danke für deine hilfe. jetzt verste ich deine aufspaltung! darauf muu man erst mal kommen!
ich komme aber nicht weiter. hier sind meine schritte, die ich gemacht, vielleicht siehst du ja meine fehler.
Lösung:
[mm] \integral_{0}^{2\pi} {cos^{n}x dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] {cos x [mm] cos^{n-1}x [/mm] dx}
mein f´(x) = cos x, f(x) = sin x
mein g(x) = [mm] cos^{n-1}x [/mm] , g´(x) = - (n-1) [mm] cos^{n-2}x [/mm] sinx
einsetzen in formel:
... = [sinx [mm] cos^{n-1}x] [/mm] + [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] {sin x (n-1) [mm] cos^{n-2}x [/mm] sinx dx}
= [sinx [mm] cos^{n-1}x] [/mm] + (n-1) [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] {sin x [mm] cos^{n-2}x [/mm] sinx dx}
= [sinx [mm] cos^{n-1}x] [/mm] + (n-1) [mm] \integral_{0}^{2\pi} {(1-cos^{2}x) cos^{n-2}x dx}
[/mm]
= [sinx [mm] cos^{n-1}x] [/mm] + (n-1) [mm] \integral_{0}^{2\pi} {cos^{n-2}x - cos^{n}x dx}
[/mm]
Hier komm ich nicht weiter. ich hab versucht, das integral hinten aufzuspalten, aber das bringt mir nix. wie mach ich hier weiter? oder ist vorher schon ein fehler?
Danke für deine hilfe!
ciao!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:58 Do 27.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Danke für deine hilfe. jetzt verste ich deine aufspaltung!
> darauf muu man erst mal kommen!
> ich komme aber nicht weiter. hier sind meine schritte, die
> ich gemacht, vielleicht siehst du ja meine fehler.
da gibt es nichts zu sehen, da es keine fehler gibt!
> = [sinx [mm]cos^{n-1}x][/mm] + (n-1) [mm]\integral_{0}^{2\pi} {(1-cos^{2}x) cos^{n-2}x dx}
[/mm]
>
> = [sinx [mm]cos^{n-1}x][/mm] + (n-1) [mm]\integral_{0}^{2\pi} {cos^{n-2}x - cos^{n}x dx}
[/mm]
die rechnung stimmt auf jeden fall, aber du solltest entweder konsequent die grenzen weglassen, oder sie überall, also auch an die eckigen klammern um die stammfunktion hinschreiben.
das was du hier hast sieht dem was du erhalten willst ja schon recht ähnlich (es fehlt irgendwie noch eine $n$ im nenner oder so).
> Hier komm ich nicht weiter. ich hab versucht, das integral
> hinten aufzuspalten, aber das bringt mir nix. wie mach ich
> hier weiter? oder ist vorher schon ein fehler?
die idee das hintere integral aufzuspalten ist genau die richtige, dann erhälst du nämlich [mm] \sin x \cos^{n-1}x + (n-1) \integral (cos^{n-2}x - cos^{n}x ) \, \textrm{d}x = \sin x \cos^{n-1}x + (n-1) \integral cos^{n-2}x \, \textrm{d}x - (n-1) \integral cos^{n}x \, \textrm{d}x [/mm]
und jetzt fasse den letzten ausdruck als gleichung mit dem ursprünglichen integral, das du berechnen wolltest auf:
[m] \int \cos^n x \; \textrm{d}x = sin x \cos^{n-1}x + (n-1) \integral cos^{n-2}x \, \textrm{d}x - (n-1) \integral cos^{n}x \; \textrm{d}x [/m]
und jetzt probiere diese gleichung mal nach dem term der dich interessiert aufzulösen!
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Fr 28.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, Andreas!
Nochmals danke für deine Hilfe! Ich bin jetzt endlich auf diesen Term gekommen.
Ich weiß, dass ich die Grenzen immer überall hinschreiben muss, aber es war mir nur zu umständlich mit dem Formal-Editor die Grenzen an die eckigen Klammern zu machen.
Die Aufgabe lautete doch, dass ich das Integral berechnen soll. D.h. doch, dass ich noch nicht fertig bin, weil immer noch ein Integralzeichen in meiner Gleichung steht.
Ich habe versucht, wie du in deiner ersten Antwort gemeint hast, eine Fallunterscheidung zu machen, aber ich weiß dann wieder nicht weiter.
Wie finde ich hier die Stammfunktion? Soll ich nochmal partiell integrieren? Ich komme nicht auf das, was du mir in deiner ersten Antwort gezeigt hast. Auf die "Doppelfakultät" oder "0", wie du meintest!Kannst du mir bitte zeigen, wie ich weiter vorgehen muss? Danke, schön!
Ciao!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Fr 28.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Die Aufgabe lautete doch, dass ich das Integral berechnen
> soll. D.h. doch, dass ich noch nicht fertig bin, weil immer
> noch ein Integralzeichen in meiner Gleichung steht.
> Ich habe versucht, wie du in deiner ersten Antwort gemeint
> hast, eine Fallunterscheidung zu machen, aber ich weiß dann
> wieder nicht weiter.
> Wie finde ich hier die Stammfunktion? Soll ich nochmal
> partiell integrieren?
wenn du keine ahnung hast wie man sowas angeht, ist es meist recht sinnvoll, das mal für ein paar einfach spezialfälle zu berechnen, z.b. [m] n = 0, 1 [/m] - da kann man ja einfach integrieren und den wert des integrals hinschreiben.
nun versuche mal das ergebnis für [m] n = 2, 3 [/m] mit hilfe der rekursionsformel die du berechnet hast und den ergebnisen für [m] n = 0 [/m] und [m] n = 1 [/m] zu erhlaten. wenn du noch nicht sicher bist, wie das allgemeien ergbins aussehen muss kannst du das ja noch für [m] n = 3, 4, 5 ,... [/m] machen, dann sollte dir irgendwann mal eine idee kommen, wie der wert im allgemeinen ist. schrieb diese vermutung dann auf und probiere sie - wie Bastiane vorgeschlagen hat - mit induktion zu beweisen (hier hilft dir wie gesagt die rekursionsformel und eine fallunterscheidung in gerade und ungerade $n$).
> Ich komme nicht auf das, was du mir in deiner ersten
> Antwort gezeigt hast. Auf die "Doppelfakultät" oder "0",
> wie du meintest!Kannst du mir bitte zeigen, wie ich weiter
> vorgehen muss? Danke, schön!
noch ein hinweis zur doppelfakultät - falls du die nicht kennst (bin mir nicht sicher, ob die so heißt):
[m] n!! := \begin{cases} n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \hdots \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2 & \textrm{ falls } n \textrm{ gerade} \\ n \cdot (n-2) \cdot (n-4) \hdots \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1 & \textrm{ falls } n \textrm{ ungerade} \end{cases} [/m]
falls du nicht weiter kommst kannst du dich ja nochmals melden - oder dein ergbenis hier posten
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 So 30.01.2005 | | Autor: | VHN |
Hallo, andreas!
Ich habe jetzt versucht, es so zu machen, wie du gemeint hast. Aber irgendwie klappt es nicht so richtig.
Zunächst einmal habe ich irgendwie nicht ganz die Formel rausbekommen, die du in der ersten Antwort hattest.
Bei mir kommt nämlich das heraus:
[mm] \integral_{0}^{2\pi} {cos^{n}(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{n-1}{n} \integral_{0}^{2\pi} {cos^{n-2}(x) dx}
[/mm]
Der erste Term fällt ja weg, weil der [mm] sin(2\pi) [/mm] = sin(0) = 0 gilt. Also habe ich ihn schon weggelassen. Bei dir würde auf der rechten Seite vom = noch ein Minus vor dem Bruch stehen, aber bei mir nicht. Ich weiß nicht, wo der Fehler liegt.
Ich habe nun eine Fallunterscheidung gemacht. Ich habe einige Werte für n eingesetzt und folgendes festgestellt:
n=0:
[mm] \integral_{0}^{2\pi} {cos^{0}(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{2\pi} [/mm] {1 dx} = [x] = [mm] \bruch{0-1}{0} \integral_{0}^{2\pi} {cos^{-2}(x) dx}
[/mm]
Hier habe ich wieder die Grenzen bei der eckigen klammer weggelassen, weil es zu umständlich ist. Aber für n=0 ist doch das Integral mit dieser Formel, die wir herausgefunden haben, doch nicht definiert, oder? Weil bei dem Bruch die Null im Nenner steht.
n=1:
[mm] \integral_{0}^{2\pi} {cos^{1}(x) dx} [/mm] = [sin x] = 0 = [mm] \bruch{1-1}{1} \integral_{0}^{2\pi} {cos^{1-2}(x) dx}
[/mm]
Hier kommt null raus.
n=2:
[mm] \integral_{0}^{2\pi} {cos^{2}(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{2-1}{2} \integral_{0}^{2\pi} {cos^{2-2}(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} \integral_{0}^{2\pi} {cos^{0}(x) dx} [/mm]
Hier würde ich weiter die Formel von oben für n=0 einsetzen.
Aber das letzte Integral [mm] \integral_{0}^{2\pi} {cos^{0}(x) dx} [/mm] ist doch nicht definiert, oder? Das habe ich doch oben bei "n=0" gezeigt.
Wie mache ich hier weiter?
n=3:
[mm] \integral_{0}^{2\pi} {cos^{3}(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{3-1}{3} \integral_{0}^{2\pi} {cos^{3-2}(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} \integral_{0}^{2\pi} {cos^{1}(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3} [/mm] [sin x]
Siehe oben beo "n=1". Bei mir kommt für ungerade n immer 0 raus. Stimmt das?
Ich verstehe nicht, wie es bei geraden n ist, weil bei mir die Formel für n=0 nicht definiert ist.
Ich bitte darum um weitere Tipps! Danke!
Ciao!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Mo 31.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> Ich habe jetzt versucht, es so zu machen, wie du gemeint
> hast. Aber irgendwie klappt es nicht so richtig.
>
> Zunächst einmal habe ich irgendwie nicht ganz die Formel
> rausbekommen, die du in der ersten Antwort hattest.
> Bei mir kommt nämlich das heraus:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} {cos^{n}(x) dx}[/mm] = [mm]\bruch{n-1}{n} \integral_{0}^{2\pi} {cos^{n-2}(x) dx}
[/mm]
>
>
> Der erste Term fällt ja weg, weil der [mm]sin(2\pi)[/mm] = sin(0) =
> 0 gilt. Also habe ich ihn schon weggelassen. Bei dir würde
> auf der rechten Seite vom = noch ein Minus vor dem Bruch
> stehen, aber bei mir nicht. Ich weiß nicht, wo der Fehler
> liegt.
du hast da gar keinen fehler drin - ich hatte in meiner ersten antwort einen tippfehler, da sollte ein "+" stehen!
> Ich habe nun eine Fallunterscheidung gemacht. Ich habe
> einige Werte für n eingesetzt und folgendes festgestellt:
>
> n=0:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} {cos^{0}(x) dx}[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}[/mm] {1 dx} = [x] = [mm]\bruch{0-1}{0} \integral_{0}^{2\pi} {cos^{-2}(x) dx}
[/mm]
>
>
> Hier habe ich wieder die Grenzen bei der eckigen klammer
> weggelassen, weil es zu umständlich ist.
hier sind die aber wichtig, denn [m][x]_0^{2 \pi} [/m] kann man ja dirket zu [m] [x]_0^{2 \pi} = 2\pi - 0 = 2 \pi [/m] auswerten!
> Aber für n=0
> ist doch das Integral mit dieser Formel, die wir
> herausgefunden haben, doch nicht definiert, oder? Weil bei
> dem Bruch die Null im Nenner steht.
du musst dir klar machen, für welche $n$ die formel bewiesen wurde: bestimmt nicht für $n=0$, denn dann hättest du im beweis schon durch null geteilt, was bei mathematikern nicht so gut ankommt!
die formel kannst du hier also nicht anwenden, du kannst aber das integral direkt auswerten, wie du oben gesehen hast!
> n=1:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} {cos^{1}(x) dx}[/mm] = [sin x] = 0 =
> [mm]\bruch{1-1}{1} \integral_{0}^{2\pi} {cos^{1-2}(x) dx}
[/mm]
>
>
> Hier kommt null raus.
auch hier ist das anwenden der formel zwecklos, du konntest ja das integral direkt zu "0" bestimmen!
> n=2:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} {cos^{2}(x) dx}[/mm] = [mm]\bruch{2-1}{2} \integral_{0}^{2\pi} {cos^{2-2}(x) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2} \integral_{0}^{2\pi} {cos^{0}(x) dx}[/mm]
>
>
> Hier würde ich weiter die Formel von oben für n=0
> einsetzen.
> Aber das letzte Integral [mm]\integral_{0}^{2\pi} {cos^{0}(x) dx}[/mm]
> ist doch nicht definiert, oder? Das habe ich doch oben bei
> "n=0" gezeigt.
> Wie mache ich hier weiter?
ok. nachdem du nun weißt, dass [m] \int_0^{2 \pi} \cos^0 x \, \mathrm{d}x = 2 \pi [/m] erhälst du ja mit der rekursionsformel [m] \integral_{0}^{2\pi} {cos^{2}(x) \, \mathrm{d}x} = \bruch{1}{2} \integral_{0}^{2\pi} {cos^{0}(x) \, \textrm{d}x} =\frac{1}{2} 2 \pi = \pi [/m]!
> n=3:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} {cos^{3}(x) dx}[/mm] = [mm]\bruch{3-1}{3} \integral_{0}^{2\pi} {cos^{3-2}(x) dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{2}{3} \integral_{0}^{2\pi} {cos^{1}(x) dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{2}{3}[/mm] [sin x]
>
> Siehe oben beo "n=1". Bei mir kommt für ungerade n immer 0
> raus. Stimmt das?
das stimmt. das lässt sich jetzt ganz einfach mit induktion beweisen.
> Ich verstehe nicht, wie es bei geraden n ist, weil bei mir
> die Formel für n=0 nicht definiert ist.
wie gesagt brauchst du die formel für $n=0$ gar nicht, du benötigst sie nur um das integral für gerade $n$ auf diesen fall zurückzuführen. stelle doch einfach mal eine vermutung auf, was für terme du für gerades $n$ erhälst und denke an die "doppelfakultät".
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mo 31.01.2005 | | Autor: | VHN |
hallo, andreas!
Ich hab jetzt fuer gerade n ein paar werte eingesetzt und bin dann auf diese allgemeine Formel gekommen.
[mm] \bruch{(n-1)!!}{n!!} [/mm] [x]
an die eckigen klammern kommen wieder die grenzen dran. stimmt meine allgemeine formel? ich habe dabei immer die formel von vorher eingesetzt, wie ich es dir in meiner letzten frage gezeigt habe.
stimmt meine formel? Wenn nicht, bitte ich um verbesserung!
Vielen, vielen dank fuer deine muehe!
ciao
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Hallo,
die genannte Formel stimmt.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:42 Mo 31.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi VHN
danke für die rückmeldung. die letzte antwort kam von MathePower - ich denke mal dem wolltest du auch danken. ich wollte nur noch anmerken, dass du [m] [x]_0^{2\pi} [/m] wie früher schon mal bemerkt noch auswerten kannst zu [m] 2 \pi [/m]. du erhälst also insgesamt für [m] n \in \mathbb{N} [/m]:
[m] \int_0^{2 \pi} \cos^n x \, \textrm{d}x = \begin{cases} 2\pi\frac{(n-1)!!}{n!!} & \textrm{ falls } n \textrm{ gerade} \\ 0 & \textrm{ falls } n \textrm{ ungerade} \end{cases} [/m].
grüße
andreas
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![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]"){kind=small}
