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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:53 Sa 18.06.2005 | | Autor: | terrier |
f(x,y)=1/(1-xy) für x in (0,1), y in (0,1) :sonst null
es ist zu zeigen :
f integrierbar ,und die berechnung des integrals.
ich habe eig nur die frage zu der berechnung des integrals.
ihc habe keinen ansatz wie ich daran gehen kann,hab schon einiges probiert, komm aber auf keinem weg weiter.meine ansätze waren:
1)erst einmal integrieren ,die stammfunktion dann per substitution zu berechnen,dies scheiterte aber da ich die geeignetet substitution nicht gefunden hab.
2)der zweite war das über die potenzreihe von [mm] x^n [/mm] für x<1 zu lösen,da das ja die lösung dieser reihe wäre.weiss aber nich ob ich da q=xy annehmen kann.
dann müsste man ja reihe und integral irgendwie vertauschen können,bzw limes und integral.
komm aber nicht weiter,und wäre somit sehr dankbar wenn sich jemand das mal anschauen könnte.denke ich war da halt beide male auf dem holzweg.
danke schonmal
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Hallo terrier!
Also, eine Anrede wäre aber auch nicht schlecht! 
> f(x,y)=1/(1-xy) für x in (0,1), y in (0,1) :sonst null
> es ist zu zeigen :
> f integrierbar ,und die berechnung des integrals.
> ich habe eig nur die frage zu der berechnung des
> integrals.
> ihc habe keinen ansatz wie ich daran gehen kann,hab schon
> einiges probiert, komm aber auf keinem weg weiter.meine
> ansätze waren:
> 1)erst einmal integrieren ,die stammfunktion dann per
> substitution zu berechnen,dies scheiterte aber da ich die
> geeignetet substitution nicht gefunden hab.
> 2)der zweite war das über die potenzreihe von [mm]x^n[/mm] für x<1
> zu lösen,da das ja die lösung dieser reihe wäre.weiss aber
> nich ob ich da q=xy annehmen kann.
> dann müsste man ja reihe und integral irgendwie
> vertauschen können,bzw limes und integral.
>
> komm aber nicht weiter,und wäre somit sehr dankbar wenn
> sich jemand das mal anschauen könnte.denke ich war da halt
> beide male auf dem holzweg.
> danke schonmal
Ich weiß nicht so ganz, ob ich hier jetzt irgendwas übersehe und vielleicht was falsch mache, aber ich sehe das so:
du sollst doch folgendes berechnen:
[mm] \integral_0^1{\integral_0^1{\bruch{1}{1-xy}dx}dy}
[/mm]
Und wenn du zuerst nur das innere Integral betrachtest, erhältst du dafür doch als Stammfunktionfolgendes:
[mm] \bruch{1}{-y}ln|1-xy|
[/mm]
(denn die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist doch |ln x|, und wegen der "inneren Ableitung" (also, wenn du das zurückableitest), muss in deinem Fall noch dieser Faktor mit dem y davor.)
Oder warst du soweit auch schon gekommen?
Und dann würde ich es mal mit partieller Integration versuchen - oder klappt das auch nicht?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo!
> 1)erst einmal integrieren ,die stammfunktion dann per
> substitution zu berechnen,dies scheiterte aber da ich die
> geeignetet substitution nicht gefunden hab.
Der Weg, den Bastiane eingeschlagen hat, führt, glaube ich, leider ins Nichts - ich habe mich auch stundenlang daran rumprobiert. Maple sagt, die Stammfunktion beinhaltet den sogenannten "Dilogarithmus", von dem du aber wahrscheinlich bisher genauso wenig gehört haben wirst wie ich.
> 2)der zweite war das über die potenzreihe von [mm]x^n[/mm] für x<1
> zu lösen,da das ja die lösung dieser reihe wäre.weiss aber
> nich ob ich da q=xy annehmen kann.
> dann müsste man ja reihe und integral irgendwie
> vertauschen können,bzw limes und integral.
Dieser Ansatz scheint mir erfolgversprechender. Da |xy|<1 nach Voraussetzung immer gilt, gilt doch auch:
$ [mm] \bruch{1}{1-xy} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (xy)^n [/mm] $
Die Vertauschung von Limes und Integral setzt gleichmäßige Konvergenz voraus, die in diesem Fall gegeben sein dürfte - zumindest stimmt das Ergebnis, das ich dann erhalte, mit Maples Berechnungen überein - ich habe nur gerade leichte Schwierigkeiten mit der Begründung, da ich mich selbst etwas unsicher fühle auf diesem Gebiet. :/
Ich bekomme jedenfalls heraus:
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{(n+1)^2} [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] = [mm] \bruch{\pi^2}{6} [/mm] $
- Marcel
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