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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:14 Do 27.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo ihr lieben,
ich habe diese aufgabe zu lösen:zeigen sie,dass [mm] \limes_{R\rightarrow\infty} \bruch{1}{\wurzel{R}} \integral_{0}^{R}{\bruch{\wurzel{x}}{1+x} dx} [/mm] existiert und berechnen sie den grenzwert.bei dem grenzwert dachte ich mir,dass ich eine konvergente majorante suche also so viel [mm] wie:\limes_{R\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{R}} [2*\wurzel{x}]_{0}^{R}=2.stimmt [/mm] das soweit überhaupt?aber wie berechne ich dann das integral oder den grenzwert der funktion?ich bin sher dankbar über hilfe.
gruß
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Um das Integral auszuwerten, solltest du zunächst die Stammfunktion bilden:
[mm]\integral{\bruch{\wurzel{x}}{1+x} dx}[/mm]
Dafür schlage ich die Substitution [mm]u = \wurzel{x}[/mm] vor:
[mm]\bruch{du}{dx} = \left(\wurzel{x}\right)' \gdw dx = 2*\wurzel{x} du = 2*u du[/mm]
[mm]\integral{\bruch{\wurzel{x}}{1+x} dx} = \integral{2u*\bruch{u}{1+u^{2}} du} = 2*\integral{\bruch{u^{2}}{1+u^{2}} du}[/mm]
Nun den Bruch aufteilen (mit Polynomdivision):
[mm]2*\integral{\bruch{u^{2}}{1+u^{2}} du} = 2*\integral{1-\bruch{1}{1+u^{2}} du}[/mm]
Und nun noch integrieren:
[mm]2*\integral{\bruch{u^{2}}{1+u^{2}} du} = 2*\integral{1-\bruch{1}{1+u^{2}} du} = 2*u - 2*\arctan(u)[/mm]
Rücksubstitution:
[mm]2*u - 2*\arctan(u) = 2*\wurzel{x} - 2*\arctan(\wurzel{x})[/mm]
Wir wissen nun also:
[mm] \limes_{R\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{R}}*\left(\integral_{0}^{R}{\bruch{\wurzel{x}}{1+x} dx}\right) [/mm] = [mm] \limes_{R\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{R}}*\left(2*\wurzel{x} - 2*\arctan(\wurzel{x})\right)|_0^{R}
[/mm]
Nun werten wir noch rechts aus:
[mm] \limes_{R\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{R}}*\left(2*\wurzel{x} - 2*\arctan(\wurzel{x})\right)|_0^{R} [/mm] = [mm] \limes_{R\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel{R}}*\left(2*\wurzel{R} - 2*\arctan(\wurzel{R})\right) [/mm] = [mm] \limes_{R\rightarrow\infty}\left(2 - 2*\bruch{\arctan\left(\wurzel{R}\right)}{\wurzel{R}}\right)
[/mm]
Nun strebt [mm] \arctan\left(\wurzel{R}\right) [/mm] ja für [m][mm] R\to\infty[/mm] [/mm] gegen einen festen Wert, nämlich [mm] \bruch{\pi}{2}. [/mm] Da aber der Nenner gegen [mm] \infty [/mm] für [mm]R\to\infty[/mm] geht, wir der ganze zweite Teil 0 und es bleibt:
[mm] \limes_{R\rightarrow\infty}\left(2 - 2*\bruch{\arctan\left(\wurzel{R}\right)}{\wurzel{R}}\right) [/mm] = 2
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:16 Do 27.03.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo,
danke für deine hilfe,hat mir sehr geholfen.jetzt habe ich noch eine aufgabe gefunden und zwar soll man prüfen ob [mm] g:[0,\infty[\to\IR,g(x):=cosx^2 [/mm] über [mm] [0,\infty[ [/mm] uneigentlich integrierbar ist.jetzt habe ich als erstes durch substitution da [mm] stehen:\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty}{\bruch{cos(t)}{\wurzel{t}}} [/mm] aber ab hier gerate ich ins stocken,wenn das überhaupt soweit schon stimmt.kann mir da jemand weiter helfen?
danke und gruß
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> jetzt habe ich
> noch eine aufgabe gefunden und zwar soll man prüfen ob
> [mm]g:[0,\infty[\to\IR,g(x):=cosx^2[/mm] über [mm][0,\infty[[/mm]
> uneigentlich integrierbar ist.jetzt habe ich als erstes
> durch substitution da
> [mm]stehen:\bruch{1}{2}\integral_{0}^{\infty}{\bruch{cos(t)}{\wurzel{t}}}[/mm]
> aber ab hier gerate ich ins stocken,wenn das überhaupt
> soweit schon stimmt.kann mir da jemand weiter helfen?
Hallo,
richtig substituiert hast Du.
Aber ich habe mal meinen elektronischen Assistenten befragt, und der sagt, daß Du hier nicht "einfach so" eine "normale" Stammfunktion finden wirst. Es ist hier ein Fresnel-Integral im Spiel - was auch immer das im Einzelnen sein mag.
Deshalb nehme ich mal an, daß Du die Konvergenz anders zeigen mußt, vielleicht, indem Du auf die Konvergenz einer Reihe zurückgreifst:
[mm] \integral_{0}^{\infty}{cos(x^2) dx}=\integral_{0}^{\wurzel{\bruch{\pi}{2}}}{cos(x^2) dx}+ \integral_{\wurzel{\bruch{\pi}{2}}}^{\wurzel{\bruch{3\pi}{2}}}{cos(x^2) dx}+\integral_{\wurzel{\bruch{3\pi}{2}}}^{\wurzel{\bruch{5\pi}{2}}}{cos(x^2) dx}+\integral_{\wurzel{\bruch{5\pi}{2}}}^{\wurzel{\bruch{7\pi}{2}}}{cos(x^2) dx}+...,
[/mm]
d.h.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\integral_{0}^{\wurzel{\bruch{(2n+1)\pi}{2}}}{cos(x^2) dx} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\wurzel{\bruch{\pi}{2}}}{cos(x^2) dx}+\summe_{i=1}^{n}\integral_{\wurzel{\bruch{((2n-1)\pi}{2}}}^{\wurzel{\bruch{(2n+1)\pi}{2}}}{cos(x^2) dx}.
[/mm]
Wenn Du nun glaubhaft versichern könntest, daß die Folge [mm] |\integral_{\wurzel{\bruch{((2n-1)\pi}{2}}}^{\wurzel{\bruch{(2n+1)\pi}{2}}}{cos(x^2) dx}| [/mm] monoton gegen Null geht, kannst Du das Leibnizkriterium verwenden, denn die Folgenglieder sind ja abwechselnd positiv und negativ.
Gruß v. Angela
Edit:
Man kann ja
[mm] |\integral_{\wurzel{\bruch{((2n-1)\pi}{2}}}^{\wurzel{\bruch{(2n+1)\pi}{2}}}{cos(x^2) dx}| [/mm] nach oben abschätzen durch
[mm] (\wurzel{\bruch{(2n+1)\pi}{2}} [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{((2n-1)\pi}{2}})*1.
[/mm]
Aber es bleibt mir ein ungutes Gefühl...
Habe ich irgendwo was Verbotenes getan? Sieht da jemand was? (Eine Stelle hätte ich im Verdacht...)
Ich lasse das mal auf teilweise beantwortet.
Gruß v. Angela
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Wollte nur mal kurz (zur Kontrolle) mitteilen, dass das Ergebnis
[mm]\bruch{1}{4}*\wurzel{2}*\wurzel{\pi}[/mm]
sein würde.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mo 31.03.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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