integrale bestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:52 Sa 10.05.2014 | | Autor: | needmath |
| Aufgabe | Berechnen Sie
a) [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^2 e^{-x} dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{4}{x^4+4} dx}
[/mm]
Tipps: [mm] x^4+4 [/mm] = [mm] x^4+4x^2+4-4x^2, [/mm] binomische formel, PBZ mit geeignetem Ansatz, arctan-funktion und deren Ableitung |
a) [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^2 e^{-x} dx}
[/mm]
= [mm] [-x^2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\infty}{ -e^{-x}*2x dx}
[/mm]
= [mm] [-x^2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm] - [mm] [e^{-x}*2x]_{0}^{\infty} -2\integral_{0}^{\infty}{ e^{-x}dx}
[/mm]
= [mm] [-x^2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm] - [mm] [e^{-x}*2x]_{0}^{\infty} [/mm] + [mm] [e^{-x}]_{0}^{\infty}
[/mm]
[mm] \limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} [-x^2e^{-x}]_{a}^{b} [/mm] - [mm] [e^{-x}*2x]_{a}^{b} [/mm] + [mm] [e^{-x}]_{a}^{b}
[/mm]
[mm] \limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} [-b^2e^{-b}+ a^2e^{-a}] [/mm] - [mm] [e^{-b}*2b [/mm] - [mm] e^{-a}*2a] [/mm] + [mm] [e^{-b}-e^{-a}]
[/mm]
ist das soweit richtig?
wie klammere ich hier e aus ? [mm] [-b^2e^{-b}+ a^2e^{-a}]
[/mm]
[mm] -b^2e^{-b}+ a^2e^{-a} [/mm] = [mm] e(-b*1^{-b} [/mm] + [mm] a^21^{-a})
[/mm]
so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Sa 10.05.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo needmath,
das Integral hast Du richtig gelöst, beim Übertragen von der zweiten in die dritte Ergebniszeile ist allerdings beim letzten Term die 2 verlorengegangen.
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo, neben dem Faktor 2 hast du noch einen Vorzeichenfehler
= [mm] [-x^2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm] $ - $ [mm] [e^{-x}\cdot{}2x]_{0}^{\infty} [/mm] $ -2 $ [mm] [e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Sa 10.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
wenn man [mm] e^{-x} [/mm] integriert, erhält man [mm] -e^{-x}. [/mm] den faktor -1 habe ich vorgezogen.
also
[mm] [-x^2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm] - [mm] [e^{-x}*2x]_{0}^{\infty} -2\integral_{0}^{\infty}{ e^{-x}dx}
[/mm]
= [mm] [-x^2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm] - [mm] [e^{-x}*2x]_{0}^{\infty} [/mm] + [mm] [2e^{-x}]_{0}^{\infty}
[/mm]
das kann man doch machen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Sa 10.05.2014 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
ja, das ist schon okay so (vorausgesetzt ich habe mich nicht verrechnet  )
Viele Grüße,
Infinit
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Hallo
[mm] \integral_{}^{}{x^2*e^-^x dx}
[/mm]
[mm] =-x^2*e^-^x-\integral_{}^{}{-2*x*e^-^x dx}
[/mm]
[mm] =-x^2*e^-^x+2\integral_{}^{}{x*e^-^x dx}
[/mm]
[mm] =-x^2*e^-^x+2*[-x*e^-^x-\integral_{}^{}{-e^-^x dx}]
[/mm]
[mm] =-x^2*e^-^x+2*[-x*e^-^x-e^-^x]
[/mm]
[mm] =-x^2*e^-^x-2*x*e^-^x-2*e^-^x
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 Sa 10.05.2014 | | Autor: | needmath |
setz sehe ich den fehler auch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:00 Sa 10.05.2014 | | Autor: | needmath |
korrektur:
a) [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^2 e^{-x} dx}
[/mm]
= [mm] [-x^2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm] - [mm] [e^{-x}*2x]_{0}^{\infty} [/mm] - [mm] [2e^{-x}]_{0}^{\infty}
[/mm]
[mm] \limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} [-x^2e^{-x}]_{a}^{b} [/mm] - [mm] [e^{-x}*2x]_{a}^{b} [/mm] - [mm] [2e^{-x}]_{a}^{b}
[/mm]
[mm] \limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} [-b^2e^{-b}+ a^2e^{-a}] [/mm] - [mm] [e^{-b}*2b [/mm] - [mm] e^{-a}*2a] [/mm] - [mm] [2e^{-b}-2e^{-a}]
[/mm]
jeder summand/subrtahent, der a als faktor hat geht gegen 0. daraus folgt:
[mm] \limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} -b^2e^{-b}- e^{-b}*2b- 2e^{-b}+2e^{-a}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} \bruch{-b}{e^b}- \bruch{2b}{e^b}-\bruch{2}{e^b}+\bruch{2}{e^a} [/mm] = 2
richtig?
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Hallo,
> korrektur:
>
> a) [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^2 e^{-x} dx}[/mm]
>
>
>
> = [mm][-x^2e^{-x}]_{0}^{\infty}[/mm] - [mm][e^{-x}*2x]_{0}^{\infty}[/mm] -
> [mm][2e^{-x}]_{0}^{\infty}[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} [-x^2e^{-x}]_{a}^{b}[/mm]
> - [mm][e^{-x}*2x]_{a}^{b}[/mm] - [mm][2e^{-x}]_{a}^{b}[/mm]
>
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} [-b^2e^{-b}+ a^2e^{-a}][/mm]
> - [mm][e^{-b}*2b[/mm] - [mm]e%5E%7B-a%7D*2a%5D[/mm] - [mm][2e^{-b}-2e^{-a}][/mm]
>
> jeder summand/subrtahent, der a als faktor hat geht gegen
> 0. daraus folgt:
>
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} -b^2e^{-b}- e^{-b}*2b- 2e^{-b}+2e^{-a}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} \bruch{-b}{e^b}- \bruch{2b}{e^b}-\bruch{2}{e^b}+\bruch{2}{e^a}[/mm]
> = 2
>
> richtig?
Nein, falsch, so etwa um den Faktor 2.
Zunächst aber mal zu deiner Vorgehensweise: was soll das mit dem zweifachen Limes werden? Hast du dir mal überlegt, wozu man hier überhaupt eine Grenzwertbetrachtung benötigt? Richtig: weil es ein uneigentliches Integral ist. An beiden Seiten, oder vielleicht doch nur an einer?
Wenn du weiter anstatt blindlings zu rechnen aus deiner Stammfunktion mal den Faktor [mm] e^{-x} [/mm] herausheben würdest, dann hättest du in der Klammeer ein Polynom, welches sich noch schön vereinfachen lässt. Ein gewisser Francesco Binomi lässt herzlich grüßen!
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Sa 10.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
[mm] [-e^{-x}*x^2]_{0}^{\infty}+ [-2xe^{-x}]_{0}^{\infty}- [2e^{-x}]_{0}^{\infty}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [-e^{-x}*x^2]_{0}^{n}+ [-2xe^{-x}]_{0}^{n}- [2e^{-x}]_{0}^{n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} -e^{-n}*n^2 [/mm] - [mm] 2ne^{-n} [/mm] - 2 + [mm] 2e^0
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e^{-n} (n^2-2n-2e^{-n}+\bruch{2e^0}{e^{-n}})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2-2n-2+\bruch{2e^0}{e^{-n}}}{e^n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2e^0}{e^{-n}}}{e^n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2e^0* e^n}{e^n} [/mm] = 2
ich komme wieder auf 2 als grenzwert
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Hallo,
die 2 als Wert des Integrals sind richtig. Ich hatte mich da vertan, sorry dafür.
Dein Aufschrieb ist aber nach wie vor katastrophal.
Mache doch mal folgendes. Bestimme zunächst das unbestimmte Integral und führe dann die Grenzwertbetrachtung durch. Dann fällt ds dir vielleicht leichter, das ganze sinnvoll zu notieren.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mo 12.05.2014 | | Autor: | needmath |
wie bestimme ich die Polstellen bei folgendem Bruch [mm] \bruch{1}{x^4+4}
[/mm]
0 = [mm] x^4+4
[/mm]
-4 = [mm] x^4
[/mm]
x = [mm] -+\wurzel{i^2}*\wurzel[4]{4}
[/mm]
was wären die anderen zwei lösungen?
bzw. wie bestimme ich folgender gleichung alle lösungen?
0 = [mm] x^4-4
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] +\wurzel[4]{4}
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] -\wurzel[4]{4}
[/mm]
aber wie gleichung hat doch 4 lösungen. wie bestimme ich die anderen zwei?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Mo 12.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Aus Wiki:
Zur Berechnung der n-ten Wurzeln der komplexen Zahl z = [mm] re^{\mathrm i\phi} [/mm] dient die Formel
[mm] \sqrt[n]{z} [/mm] = [mm] \sqrt[n]{r}\cdot e^{\mathrm i \frac{\phi + 2k\pi}n},
[/mm]
wobei k die Werte 0, 1, [mm] \ldots, [/mm] n-1 durchläuft.
FRED
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> wie bestimme ich die Polstellen bei folgendem Bruch
> [mm]\bruch{1}{x^4+4}[/mm]
Hallo,
Du willst doch [mm] \integral_0^\infty\bruch{4}{x^4+4}dx [/mm] berechnen.
Meist sind die Tips, die von den Chefs mitgeliefert werden, recht hilfreich.
Da stand doch
> > > > > Tipps:
> > > > > $ [mm] x^4+4 [/mm] $ = $ [mm] x^4+4x^2+4-4x^2, [/mm] $ binomische formel,
> > > > > PBZ mit geeignetem Ansatz,
> > > > > arctan-funktion und deren Ableitung
Es ist doch
$ [mm] x^4+4 [/mm] $ = $ [mm] x^4+4x^2+4-4x^2 [/mm] $ [mm] =(x^2+2)^2-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2
[/mm]
dritte binomische Formel
...= [mm] (x^2+2+2x)*(x^2+2-2x).
[/mm]
Beide Faktoren haben keine reelle Nullstelle.
Also berechne erstmal
[mm] \bruch{4}{x^4+4}=\bruch{4}{(x^2+2x+2)*(x^2-2x+2)}=\bruch{A+Bx}{(x^2+2x+2)}+\bruch{C+Dx}{(x^2-2x+2)},
[/mm]
danach kann man dann langsam über die Integrale nachdenken.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 Mo 12.05.2014 | | Autor: | needmath |
[mm] \bruch{4}{x^4+4}=\bruch{Ax+B}{(x^2-2x+2)}+\bruch{Cx+D}{(x^2+2x+2)}
[/mm]
4 = [mm] (Ax+B)(x^2+2x+2)+(Cx+D)(x^2-2x+2)
[/mm]
Koeffizientenvergleich:
0 = A+C
0 = 2A+2B-2C+D
0 = 2A+2B+2C-2D
4 = 2B+2D
[mm] \Rightarrow
[/mm]
A = [mm] -\bruch{3}{4}
[/mm]
B = 1
C = [mm] \bruch{3}{4}
[/mm]
D = 1
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \integral{-\bruch{3x+1}{4(x^2+2x+2)}+ \bruch{3x+1}{4(x^2+2x+2)} dx}
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{-4}\integral{\bruch{3x+1}{(x^2+2x+2)} dx} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}\integral{\bruch{3x+1}{(x^2-2x+2)} dx}
[/mm]
soweit richtig? ich hätte jetzt beide integrale mit der partiellen integration integriert, aber das ist bisschen viel schreibaufwand. gibt es einen eleganteren weg? substitution ist ungeeignet
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Hallo, überprüfe deine zweite Gleichung für den Koeffizientenvergleich:
2A+B-2C+D=0
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Di 13.05.2014 | | Autor: | needmath |
0 = A+C
0 = 2A+2B-2C+2D
0 = 2A+2B+2C-2D
4 = 2B+2D
[mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 4} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 2 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & -2 \\ 1 & 0& 1 & 0 \\ 0 & 2& 0 & 2 }
[/mm]
(-1) * erste zeile + zweite zeile
erste zeile : (-2) + dritte zeile
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 4} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -4 \\ 0 & -1& 2 & -1 \\ 0 & 2& 0 & 2 }
[/mm]
dritte zeile * 2 + vierte zeile
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 4} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -4 \\ 0 & -1& 2 & -1 \\ 0 & 0& 4 & 0 }
[/mm]
A = B = C = D = 1
aber das passt zu den koeffizientenvergleich nicht. wo ist der fehler?
EDIT: fehler gefunden --> A = -1
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Hallo, du hast meinen letzten Hinweis nicht beachtet, deine 2. Gleichung ist falsch, sie lautet:
2A+B-2C+D=0
somit bekommst du 4 Gleichungen:
(1) A+C=0
(2) 2A+B-2C+D=0
(3) 2A+2B+2C-2D=0
(4) 2B+2D=4
teile (3) und (4) jeweils durch 2
(1) A+C=0
(2) 2A+B-2C+D=0
(3) A+B+C-D=0
(4) B+D=2
jetzt an die erweiterte Koeffizientenmatrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2}
[/mm]
jetzt bilde
neue 2. Zeile: 2 mal Zeile 1 minus Zeile 2
neue 3. Zeile: Zeile 2 minus 2 mal Zeile 3
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -4 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2}
[/mm]
jetzt bilde
neue 3. Zeile: Zeile 2 minus Zeile 3
neue 4. Zeile: Zeile 2 plus Zeile 4
wenn du A, B, C, D hast, sollte dir etwas auffallen, betrachte Zähler und Nenner genau
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Di 13.05.2014 | | Autor: | needmath |
hi,
ich habe für
A = -1/2
B = D = 1
C = 1/2
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] -\integral{\bruch{x+1}{2(x^2-2x+2)} dx}+\integral{\bruch{x+1}{2(x^2+2x+2)} dx}
[/mm]
mir fällt das jettz nichts besonderes auf. als tipp gab es ja noch die ableitung von arcustan. aber damit kann ich nichts anfangen
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> hi,
>
> ich habe für
>
> A = -1/2
>
> B = D = 1
>
> C = 1/2
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]-\integral{\bruch{x+1}{2(x^2-2x+2)} dx}+\integral{\bruch{x+1}{2(x^2+2x+2)} dx}[/mm]
Hallo,
das muß doch heißen
[mm]\integral{\bruch{-\bruch{1}{2}x+1}{(x^2-2x+2)} dx}+\integral{\bruch{\bruch{1}{2}x+1}{(x^2+2x+2)} dx}[/mm]
>
> mir fällt das jettz nichts besonderes auf. als tipp gab es
> ja noch die ableitung von arcustan. aber damit kann ich
> nichts anfangen
Man hat's ja gern, daß im Zähler die Ableitung des Nenners steht. (Warum?)
Gucken wir mal, ob das klappt:
[mm] ...=-\bruch{1}{4}[/mm] [mm]\integral{\bruch{-4(-\bruch{1}{2}x+1)}{(x^2-2x+2)} dx}+\bruch{1}{4}\integral{\bruch{2*(\bruch{1}{2}x+1)}{(x^2+2x+2)} dx}[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{4}[/mm] [mm]\integral{\bruch{2x-4)}{(x^2-2x+2)} dx}+\bruch{1}{4}\integral{\bruch{2x+4)}{(x^2+2x+2)} dx}[/mm]
Nicht ganz, aber
[mm] ...=-\bruch{1}{4}[/mm] [mm]\integral{\bruch{(2x-2)-2)}{(x^2-2x+2)} dx}+\bruch{1}{4}\integral{\bruch{2x+2+2)}{(x^2+2x+2)} dx}[/mm]
(=" [mm] \integral [/mm] + [mm] \integral [/mm] + [mm] \integral +\integral")
[/mm]
Nachdenken könntest Du außer über den Tip, den ich oben gab, auch mal darüber, was die Ableitung von arctan(x) und vielleicht auch von arctan(x+1) ist.
LG Angela
>
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