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Forum "Integration" - integrale bestimmen
integrale bestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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integrale bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Sa 10.05.2014
Autor: needmath

Aufgabe
Berechnen Sie

a) [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^2 e^{-x} dx} [/mm]

b) [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{4}{x^4+4} dx} [/mm]

Tipps: [mm] x^4+4 [/mm] = [mm] x^4+4x^2+4-4x^2, [/mm] binomische formel, PBZ mit geeignetem Ansatz, arctan-funktion und deren Ableitung

a) [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^2 e^{-x} dx} [/mm]

= [mm] [-x^2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm] - [mm] \integral_{0}^{\infty}{ -e^{-x}*2x dx} [/mm]

= [mm] [-x^2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm] - [mm] [e^{-x}*2x]_{0}^{\infty} -2\integral_{0}^{\infty}{ e^{-x}dx} [/mm]

= [mm] [-x^2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm] - [mm] [e^{-x}*2x]_{0}^{\infty} [/mm] + [mm] [e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm]


[mm] \limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} [-x^2e^{-x}]_{a}^{b} [/mm] - [mm] [e^{-x}*2x]_{a}^{b} [/mm] + [mm] [e^{-x}]_{a}^{b} [/mm]


[mm] \limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} [-b^2e^{-b}+ a^2e^{-a}] [/mm] -  [mm] [e^{-b}*2b [/mm] -  [mm] e^{-a}*2a] [/mm] + [mm] [e^{-b}-e^{-a}] [/mm]

ist das soweit richtig?

wie klammere ich hier e aus ?  [mm] [-b^2e^{-b}+ a^2e^{-a}] [/mm]

[mm] -b^2e^{-b}+ a^2e^{-a} [/mm] = [mm] e(-b*1^{-b} [/mm] + [mm] a^21^{-a}) [/mm]

so?

        
Bezug
integrale bestimmen: Ne 2
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Sa 10.05.2014
Autor: Infinit

Hallo needmath,
das Integral hast Du richtig gelöst, beim Übertragen von der zweiten in die dritte Ergebniszeile ist allerdings beim letzten Term die 2 verlorengegangen.
Viele Grüße,
Infinit

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Bezug
integrale bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:14 Sa 10.05.2014
Autor: Steffi21

Hallo, neben dem Faktor 2 hast du noch einen Vorzeichenfehler

= [mm] [-x^2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm] $ - $ [mm] [e^{-x}\cdot{}2x]_{0}^{\infty} [/mm] $ -2 $ [mm] [e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm]

Steffi

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integrale bestimmen: kein vorzeichenfehler
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:32 Sa 10.05.2014
Autor: needmath

hi,

wenn man [mm] e^{-x} [/mm] integriert, erhält man [mm] -e^{-x}. [/mm] den faktor -1 habe ich vorgezogen.

also

[mm] [-x^2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm] - [mm] [e^{-x}*2x]_{0}^{\infty} -2\integral_{0}^{\infty}{ e^{-x}dx} [/mm]



= [mm] [-x^2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm] - [mm] [e^{-x}*2x]_{0}^{\infty} [/mm] + [mm] [2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm]

das kann man doch machen oder?

Bezug
                        
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integrale bestimmen: Okay
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:41 Sa 10.05.2014
Autor: Infinit

Hallo,
ja, das ist schon okay so (vorausgesetzt ich habe mich nicht verrechnet ;-))
Viele Grüße,
Infinit

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integrale bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:06 Sa 10.05.2014
Autor: Steffi21

Hallo

[mm] \integral_{}^{}{x^2*e^-^x dx} [/mm]

[mm] =-x^2*e^-^x-\integral_{}^{}{-2*x*e^-^x dx} [/mm]

[mm] =-x^2*e^-^x+2\integral_{}^{}{x*e^-^x dx} [/mm]

[mm] =-x^2*e^-^x+2*[-x*e^-^x-\integral_{}^{}{-e^-^x dx}] [/mm]

[mm] =-x^2*e^-^x+2*[-x*e^-^x-e^-^x] [/mm]

[mm] =-x^2*e^-^x-2*x*e^-^x-2*e^-^x [/mm]

Steffi




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integrale bestimmen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:50 Sa 10.05.2014
Autor: needmath

setz sehe ich den fehler auch

Bezug
        
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integrale bestimmen: aufg a)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:00 Sa 10.05.2014
Autor: needmath

korrektur:

a) [mm] \integral_{0}^{\infty}{x^2 e^{-x} dx} [/mm]



= [mm] [-x^2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm] - [mm] [e^{-x}*2x]_{0}^{\infty} [/mm] - [mm] [2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm]


[mm] \limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} [-x^2e^{-x}]_{a}^{b} [/mm] - [mm] [e^{-x}*2x]_{a}^{b} [/mm] - [mm] [2e^{-x}]_{a}^{b} [/mm]


[mm] \limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} [-b^2e^{-b}+ a^2e^{-a}] [/mm] -  [mm] [e^{-b}*2b [/mm] -  [mm] e^{-a}*2a] [/mm] - [mm] [2e^{-b}-2e^{-a}] [/mm]

jeder summand/subrtahent, der a als faktor hat geht gegen 0. daraus folgt:


[mm] \limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} -b^2e^{-b}- e^{-b}*2b- 2e^{-b}+2e^{-a} [/mm]

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} \bruch{-b}{e^b}- \bruch{2b}{e^b}-\bruch{2}{e^b}+\bruch{2}{e^a} [/mm] = 2

richtig?

Bezug
                
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integrale bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 Sa 10.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> korrektur:

>

> a) [mm]\integral_{0}^{\infty}{x^2 e^{-x} dx}[/mm]

>
>
>

> = [mm][-x^2e^{-x}]_{0}^{\infty}[/mm] - [mm][e^{-x}*2x]_{0}^{\infty}[/mm] -
> [mm][2e^{-x}]_{0}^{\infty}[/mm]

>
>

> [mm]\limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} [-x^2e^{-x}]_{a}^{b}[/mm]
> - [mm][e^{-x}*2x]_{a}^{b}[/mm] - [mm][2e^{-x}]_{a}^{b}[/mm]

>
>

> [mm]\limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} [-b^2e^{-b}+ a^2e^{-a}][/mm]
> - [mm][e^{-b}*2b[/mm] - [mm]e%5E%7B-a%7D*2a%5D[/mm] - [mm][2e^{-b}-2e^{-a}][/mm]

>

> jeder summand/subrtahent, der a als faktor hat geht gegen
> 0. daraus folgt:

>
>

> [mm]\limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} -b^2e^{-b}- e^{-b}*2b- 2e^{-b}+2e^{-a}[/mm]

>

> [mm]\gdw[/mm]

>

> [mm]\limes_{a\rightarrow\ 0} \limes_{b\rightarrow\infty} \bruch{-b}{e^b}- \bruch{2b}{e^b}-\bruch{2}{e^b}+\bruch{2}{e^a}[/mm]
> = 2

>

> richtig?

Nein, falsch, so etwa um den Faktor 2.

Zunächst aber mal zu deiner Vorgehensweise: was soll das mit dem zweifachen Limes werden? Hast du dir mal überlegt, wozu man hier überhaupt eine Grenzwertbetrachtung benötigt? Richtig: weil es ein uneigentliches Integral ist. An beiden Seiten, oder vielleicht doch nur an einer?

Wenn du weiter anstatt blindlings zu rechnen aus deiner Stammfunktion mal den Faktor [mm] e^{-x} [/mm] herausheben würdest, dann hättest du in der Klammeer ein Polynom, welches sich noch schön vereinfachen lässt. Ein gewisser Francesco Binomi lässt herzlich grüßen!

Gruß, Diophant

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integrale bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:26 Sa 10.05.2014
Autor: needmath

hi,

[mm] [-e^{-x}*x^2]_{0}^{\infty}+ [-2xe^{-x}]_{0}^{\infty}- [2e^{-x}]_{0}^{\infty} [/mm]

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [-e^{-x}*x^2]_{0}^{n}+ [-2xe^{-x}]_{0}^{n}- [2e^{-x}]_{0}^{n} [/mm]

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} -e^{-n}*n^2 [/mm] - [mm] 2ne^{-n} [/mm] - 2 + [mm] 2e^0 [/mm]

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e^{-n} (n^2-2n-2e^{-n}+\bruch{2e^0}{e^{-n}}) [/mm]

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2-2n-2+\bruch{2e^0}{e^{-n}}}{e^n} [/mm]

[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2e^0}{e^{-n}}}{e^n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2e^0* e^n}{e^n} [/mm] = 2

ich komme wieder auf 2 als grenzwert

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integrale bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:55 Sa 10.05.2014
Autor: Diophant

Hallo,

die 2 als Wert des Integrals sind richtig. Ich hatte mich da vertan, sorry dafür.

Dein Aufschrieb ist aber nach wie vor katastrophal.

Mache doch mal folgendes. Bestimme zunächst das unbestimmte Integral und führe dann die Grenzwertbetrachtung durch. Dann fällt ds dir vielleicht leichter, das ganze sinnvoll zu notieren.

Gruß, Diophant

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integrale bestimmen: aufg. b
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 Mo 12.05.2014
Autor: needmath

wie bestimme ich die Polstellen bei folgendem Bruch [mm] \bruch{1}{x^4+4} [/mm]

0 = [mm] x^4+4 [/mm]

-4 = [mm] x^4 [/mm]

x = [mm] -+\wurzel{i^2}*\wurzel[4]{4} [/mm]

was wären die anderen zwei lösungen?

bzw. wie bestimme ich folgender gleichung alle lösungen?

0 = [mm] x^4-4 [/mm]

[mm] x_1 [/mm] = [mm] +\wurzel[4]{4} [/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] -\wurzel[4]{4} [/mm]

aber wie gleichung hat doch 4 lösungen. wie bestimme ich die anderen zwei?

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integrale bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:51 Mo 12.05.2014
Autor: fred97

Aus Wiki:

Zur Berechnung der n-ten Wurzeln der komplexen Zahl z = [mm] re^{\mathrm i\phi} [/mm] dient die Formel

    [mm] \sqrt[n]{z} [/mm] = [mm] \sqrt[n]{r}\cdot e^{\mathrm i \frac{\phi + 2k\pi}n}, [/mm]

wobei k die Werte 0, 1, [mm] \ldots, [/mm] n-1 durchläuft.

FRED

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integrale bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Mo 12.05.2014
Autor: angela.h.b.


> wie bestimme ich die Polstellen bei folgendem Bruch
> [mm]\bruch{1}{x^4+4}[/mm]

Hallo,

Du willst doch [mm] \integral_0^\infty\bruch{4}{x^4+4}dx [/mm] berechnen.

Meist sind die Tips, die von den Chefs mitgeliefert werden, recht hilfreich.
Da stand doch

> > > > > Tipps:
> > > > > $ [mm] x^4+4 [/mm] $ = $ [mm] x^4+4x^2+4-4x^2, [/mm] $ binomische formel,
> > > > > PBZ mit geeignetem Ansatz,
> > > > > arctan-funktion und deren Ableitung

Es ist doch

$ [mm] x^4+4 [/mm] $ = $ [mm] x^4+4x^2+4-4x^2 [/mm] $ [mm] =(x^2+2)^2-4x^2=(x^2+2)^2-(2x)^2 [/mm]

dritte binomische Formel

...= [mm] (x^2+2+2x)*(x^2+2-2x). [/mm]

Beide Faktoren haben keine reelle Nullstelle.

Also berechne erstmal
[mm] \bruch{4}{x^4+4}=\bruch{4}{(x^2+2x+2)*(x^2-2x+2)}=\bruch{A+Bx}{(x^2+2x+2)}+\bruch{C+Dx}{(x^2-2x+2)}, [/mm]

danach kann man dann langsam über die Integrale nachdenken.

LG Angela




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integrale bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:02 Mo 12.05.2014
Autor: needmath

[mm] \bruch{4}{x^4+4}=\bruch{Ax+B}{(x^2-2x+2)}+\bruch{Cx+D}{(x^2+2x+2)} [/mm]

4 = [mm] (Ax+B)(x^2+2x+2)+(Cx+D)(x^2-2x+2) [/mm]

Koeffizientenvergleich:

0 = A+C
0 = 2A+2B-2C+D
0 = 2A+2B+2C-2D
4 = 2B+2D

[mm] \Rightarrow [/mm]

A = [mm] -\bruch{3}{4} [/mm]
B = 1
C = [mm] \bruch{3}{4} [/mm]
D = 1

[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] \integral{-\bruch{3x+1}{4(x^2+2x+2)}+ \bruch{3x+1}{4(x^2+2x+2)} dx} [/mm]

= [mm] \bruch{1}{-4}\integral{\bruch{3x+1}{(x^2+2x+2)} dx} [/mm] +  [mm] \bruch{1}{4}\integral{\bruch{3x+1}{(x^2-2x+2)} dx} [/mm]

soweit richtig? ich hätte jetzt beide integrale mit der partiellen integration integriert, aber das ist bisschen viel schreibaufwand. gibt es einen eleganteren weg? substitution ist ungeeignet

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integrale bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Mo 12.05.2014
Autor: Steffi21

Hallo, überprüfe deine zweite Gleichung für den Koeffizientenvergleich:

2A+B-2C+D=0

Steffi

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integrale bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Di 13.05.2014
Autor: needmath

0 = A+C
0 = 2A+2B-2C+2D
0 = 2A+2B+2C-2D
4 = 2B+2D

[mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 4} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 2 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & -2 \\ 1 & 0& 1 & 0 \\ 0 & 2& 0 & 2 } [/mm]

(-1) * erste zeile + zweite zeile
erste zeile : (-2) + dritte zeile

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 4} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -4 \\ 0 & -1& 2 & -1 \\ 0 & 2& 0 & 2 } [/mm]

dritte zeile * 2 + vierte zeile

[mm] \gdw [/mm]

[mm] \vektor{0 \\ 0\\ 0 \\ 4} [/mm] = [mm] \pmat{ 2 & 2 & -2 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & -4 \\ 0 & -1& 2 & -1 \\ 0 & 0& 4 & 0 } [/mm]

A = B = C = D = 1

aber das passt zu den koeffizientenvergleich nicht. wo ist der fehler?

EDIT: fehler gefunden --> A = -1

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integrale bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 Di 13.05.2014
Autor: Steffi21

Hallo, du hast meinen letzten Hinweis nicht beachtet, deine 2. Gleichung ist falsch, sie lautet:

2A+B-2C+D=0

somit bekommst du 4 Gleichungen:

(1) A+C=0
(2) 2A+B-2C+D=0
(3) 2A+2B+2C-2D=0
(4) 2B+2D=4

teile (3) und (4) jeweils durch 2

(1) A+C=0
(2) 2A+B-2C+D=0
(3) A+B+C-D=0
(4) B+D=2

jetzt an die erweiterte Koeffizientenmatrix

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2} [/mm]

jetzt bilde
neue 2. Zeile: 2 mal Zeile 1 minus Zeile 2
neue 3. Zeile: Zeile 2 minus 2 mal Zeile 3

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 4 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -4 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2} [/mm]

jetzt bilde
neue 3. Zeile: Zeile 2 minus Zeile 3
neue 4. Zeile: Zeile 2 plus Zeile 4

wenn du A, B, C, D hast, sollte dir etwas auffallen, betrachte Zähler und Nenner genau

Steffi






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integrale bestimmen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:59 Di 13.05.2014
Autor: needmath

hi,

ich habe  für

A = -1/2

B = D = 1

C = 1/2

[mm] \Rightarrow [/mm]

[mm] -\integral{\bruch{x+1}{2(x^2-2x+2)} dx}+\integral{\bruch{x+1}{2(x^2+2x+2)} dx} [/mm]

mir fällt das jettz nichts besonderes auf. als tipp gab es ja noch die  ableitung von arcustan. aber damit kann ich nichts anfangen

Bezug
                                                                
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integrale bestimmen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Di 13.05.2014
Autor: angela.h.b.


> hi,
>  
> ich habe  für
>
> A = -1/2
>  
> B = D = 1
>  
> C = 1/2
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>  
> [mm]-\integral{\bruch{x+1}{2(x^2-2x+2)} dx}+\integral{\bruch{x+1}{2(x^2+2x+2)} dx}[/mm]

Hallo,

das muß doch heißen

[mm]\integral{\bruch{-\bruch{1}{2}x+1}{(x^2-2x+2)} dx}+\integral{\bruch{\bruch{1}{2}x+1}{(x^2+2x+2)} dx}[/mm]

>  
> mir fällt das jettz nichts besonderes auf. als tipp gab es
> ja noch die  ableitung von arcustan. aber damit kann ich
> nichts anfangen

Man hat's ja gern, daß im Zähler die Ableitung des Nenners steht. (Warum?)
Gucken wir mal, ob das klappt:

[mm] ...=-\bruch{1}{4}[/mm] [mm]\integral{\bruch{-4(-\bruch{1}{2}x+1)}{(x^2-2x+2)} dx}+\bruch{1}{4}\integral{\bruch{2*(\bruch{1}{2}x+1)}{(x^2+2x+2)} dx}[/mm]
[mm] =-\bruch{1}{4}[/mm] [mm]\integral{\bruch{2x-4)}{(x^2-2x+2)} dx}+\bruch{1}{4}\integral{\bruch{2x+4)}{(x^2+2x+2)} dx}[/mm]

Nicht ganz, aber

[mm] ...=-\bruch{1}{4}[/mm] [mm]\integral{\bruch{(2x-2)-2)}{(x^2-2x+2)} dx}+\bruch{1}{4}\integral{\bruch{2x+2+2)}{(x^2+2x+2)} dx}[/mm]

(=" [mm] \integral [/mm] + [mm] \integral [/mm] + [mm] \integral +\integral") [/mm]

Nachdenken könntest Du außer über den Tip, den ich oben gab, auch mal darüber, was die Ableitung von arctan(x) und vielleicht auch von arctan(x+1) ist.

LG Angela



>  




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