integration durch substituion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Kulli |
hey!
ch weiß, das ist ne ziemlich weitgefasste frage bzw bitte, aber ich brauche irgendwen, der mir die integration durch substitution mal logisch erklärt..
ich hab das jetzt schon in min. 3 büchern und 2 internetseiten gelesen und schnall es einfach nicht..
irgendwie ist das ein ganz großes rätsel f+r mich.. alleine schon dass man für alles viele versch. bezeichnung benutzt..
zb bei der fkt. [mm] 3x²e^{x³+1}
[/mm]
steht in nem buch g(x)=x³+1 g'(x)?3x² und [mm] f(t)=e^{t}
[/mm]
und dann steht da noch dass t aber auch x³+1
ist.
dann werden hier und da nochmal die variablen vertauscht.. ich versteh irgendwie gar nicht was da so kompliziert gerechnet wird.. wieso für eine sache mehrere buchstaben usw?
ist vll jetzt auch nen einfaches beispiel aber ich würde mir einfach anhand des grundintegrals überlegen, was man gemacht hat um auf die fkt. zu kommen.ich weiß doch zb, dass bei e^irgendetwas die innere ableitung mal der fkt. genommen wird. also bleib x³+1 bei f(x) und F(x) doch stehen.. dann weiß ich auch dassdie innere ableitung 3x² ist und sehe, dass die innere ableitung einfach weggenommen werden muss, um F(x) zu bekommen.
okay, vll. klappt das nicht immer so einfach, aber ich verstehe echt nicht, wie ich dann über substitution darangehen würde...
hoffe mir kann das jemand leichter erklären als in den büchern :-/
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:13 Mi 28.03.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
m.E. ist diese Begrifflichkeit "Integtration durch Subsitution" für die Fälle, in denen du es brauchen wirst, unsinnvoll.
Das, was die Leute damit meinen ist folgendes:
Du hast eine innere Funktion g(x) und eine äußere Funktion f.
z.B. in deinem Fall ist die innere Funktino [mm] g(x)=x^3+1
[/mm]
Die äußere Funktion ist dann die e Funktion.
=> [mm] f(g(x))=e^g(x)=e^{x^3+1}
[/mm]
Nun sieht deine Funktion, die du gegeben hast so aus:
g'(x)*f(g(x))
=> [mm] 3x^2 [/mm] * [mm] e^{x^3+1}
[/mm]
Wenn du so etwas siehst, dass dort die innere Ableitung einer Funktion mal die Funktion selbst ist, dann sprechen viele Leute davon, dass du die Substituion etc. anwenden sollst.
Wenn du aber einfach mal genau hinschaust, dann siehst du folgendes:
Eine Stammfunktion hiervon ist:
F(g(x)) => Denn das ganze abgeleitet ist (wenn F'=f gilt):
f(g(x))*g'(x) und das ist genau die Funktion die dort steht.
d.h. hast du eine Funktion wie z.B. dein [mm] 3x^2 [/mm] * [mm] e^{x^3+1} [/mm] , dann siehst du, dass dort innere Ableitung mal Funktion steht, dann weist du: Die Stammfunktino hierzu ist die Stammfunktion der äußeren Funktion (in dem Falle das e), SF zu e ist ebenfalls e, also gilt:
[mm] F(x)=e^{x^3+1}
[/mm]
Wenn du dir diese Überlegung noch ein paar mal ansiehst, dann wirst du sehen, dass man solche Stammfunktionen relativ leicht sehen kann.
Da braucht man dann auch keine Substitution, denn das "normale" Substitutionsverfahren, wo du dann z.B. die innere Funktion durch u und dann das dx durch u'*du oder so etwas austauschst, brauchst du dazu nicht.
Sláin,
Kroni
|
|
|
|
