integration von brüchen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Di 25.10.2005 | | Autor: | junkx |
hi
es geht um eine übung zu analysis 2
die aufgabe verlangt ein integral mithilfe von partialbruchzerlegung zu berechnen.
mithilfe von polynomdivision habe ich aus einem bruch (polynom 2. grad / polynom 2. grad) eine konstante abgespalten und einen weiteren bruch (polynom 1. grad / polynom 2. grad) erhalten.
die vorlesung sagt das ausdrücke der form [mm] \bruch{ax+b}{ x^{2}+px+q} [/mm] auf jeden fall integrierbar sind. aber wie? und war das was ich da gemacht habe die geforderte partialbruchzerlegung? oder kommt die jetzt erst?
danke vielmals im vorraus
sorry hatte ich vergessen: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo junkx!
> die vorlesung sagt das ausdrücke der form [mm]\bruch{ax+b}{ x^{2}+px+q}[/mm]
> auf jeden fall integrierbar sind. aber wie? und war das was
> ich da gemacht habe die geforderte partialbruchzerlegung?
> oder kommt die jetzt erst?
Nein, die Partialbruchzerlegung kommt erst jetzt. Der Schritt zuvor war ja eine  Polynomdivision, um den Zählergrad echt kleiner als den Nennergrad werden zu lassen.
Aber sieh Dir Deinen Bruch zuvor erst einmal genauer an: wenn Du nämlich im Zähler exakt die Ableitung des Nenners stehen hast, bist du schon fast fertig, da ja gilt:
[mm] $\integral{\bruch{f'(x)}{f(x)} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln\left| \ f(x) \ \right| [/mm] \ + \ C$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Di 25.10.2005 | | Autor: | junkx |
danke erstmal das hat mir auf jedenfall weitergeholfen weil ich diese einfache integrationsregel vergessen hatte.
die situation ist nun folgende:
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{\bruch{3}{2}f'(x) - 1}{f(x)} dx} [/mm] = [mm] \bruch{3}{2} \integral_{}^{} {\bruch {f'(x)}{f(x)} dx} [/mm] - [mm] \integral_{}^{} {\bruch {1}{f(x)} dx} [/mm]
das erste integral ist klar (nach anwendung obiger regel) aber was ist mit dem 2. (f(x) ist ein polynom 2. grades)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:37 Di 25.10.2005 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo junkx!
Dieser Weg sieht mir hier aber nicht richtig aus. Meine Formel bezieht sich ja wirklich nur auf den angegebenen Spezialfall.
Bitte gib doch mal Deine spezielle Funktion mit Deinen bisher gemachten Rechenschritten an.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Di 25.10.2005 | | Autor: | junkx |
ok kein problem. wollte nur nicht den eindruck erwecken, dass ihr mir dir aufgabe lösen sollt. will schon selbst drauf kommen weis aber den weg nicht.
also hier:
3.) berechnen sie folgende integrale mit partialbruchzerlegung
e)
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{x^{2}+9x+12}{x^{2}+6x+10} dx}
[/mm]
nach polynom division habe ich heraus, das obiges das gleiche ist wie:
[mm] \integral_{}^{} [/mm] {2 - [mm] \bruch{3x+8}{x^{2}+6x+10} [/mm] dx}
d.h.
= 2x - [mm] \integral_{}^{} {\bruch{3x+8}{x^{2}+6x+10} dx}
[/mm]
= 2x - [mm] \integral_{}^{} {\bruch{\bruch{3}{2} (2x+6) - 1}{x^{2}+6x+10}dx}
[/mm]
= 2x - [mm] \bruch{3}{2} [/mm] ( [mm] \integral_{}^{} {\bruch{2x+6}{x^{2}+6x+10} dx} [/mm] ) - [mm] \integral_{}^{} {\bruch{1}{x^{2}+6x+10} dx}
[/mm]
das erste integral bekomm ich mit deiner formel nun raus aber das 2. nicht
danke vielmals
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:06 Di 25.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Zunächst einmal ist die Polynomdivision falsch. Rechne die mal bitte hier vor bzw. überprüfe sie selber noch einmal.
Zweitens: Wäre alles richtig (was es nicht ist), dann könntest du am Schluss im Nenner [mm] $x^2+6x+10 [/mm] = [mm] (x+3)^2+1$ [/mm] schreiben, $y=x+3$ substituieren und dann von [mm] $\frac{1}{y^2+1}$ [/mm] die Arcustangensfunktion als Stammfunktion erkennen...
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:40 Di 25.10.2005 | | Autor: | junkx |
hi,
sorry ich hab mich nur vertippt.
also die aufgabe heißt richtig
[mm] \integral_{}^{} {\bruch{2x^{2}+9x+12}{x^{2}+6x+10} dx}
[/mm]
und da sollte die polynomdivision richtig sein denn:
[mm] \bruch{2*(x^{2}+6x+10) - (3x+8)}{x^{2}+6x+10} [/mm] = [mm] \bruch{2x^{2}+9x+12}{x^{2}+6x+10}
[/mm]
deine lösung erscheint mir logisch, dann versteh ich aber nicht warum in dieser teilaufgabe integration mit partialbruchzerlegung gefragt war. denn die aufgaben vorher beschäftigten sich schon mit substitution (welche du anwedenst)
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