matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationintegrieren - polynomdiv.
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Integration" - integrieren - polynomdiv.
integrieren - polynomdiv. < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

integrieren - polynomdiv.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:21 Mo 28.07.2014
Autor: arbeitsamt

Aufgabe
Lösen sie

[mm] \integral{\bruch{3x^4-2x^3-1}{x^3-x^2+x-1} dx} [/mm]

ich weiß gerade nicht wie ich hier die polynomdivision machen soll


[mm] (3x^4-2x^3-1):(x^3-x^2+x-1)=... [/mm]

dividiere ich erstma [mm] \bruch{3x^4}{x^3}=3x [/mm]

dann würde ich 3x mit [mm] (-x^2+x-1) [/mm] multiplizieren und das Ergebnis subtrahiere ich mit [mm] 2x^3 [/mm]

also [mm] 2x^3 [/mm] - [mm] (3x*(-x^2+x-1)) [/mm]

so wäre das richtig oder?


        
Bezug
integrieren - polynomdiv.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Mo 28.07.2014
Autor: Richie1401

Hallo,

> Lösen sie
>  
> [mm]\integral{\bruch{3x^4-2x^3-1}{x^3-x^2+x-1} dx}[/mm]
>  ich weiß
> gerade nicht wie ich hier die polynomdivision machen soll
>  
>
> [mm](3x^4-2x^3-1):(x^3-x^2+x-1)=...[/mm]
>  
> dividiere ich erstma [mm]\bruch{3x^4}{x^3}=3x[/mm]

Ja, das ist ok.

>  
> dann würde ich 3x mit [mm](-x^2+x-1)[/mm] multiplizieren und das
> Ergebnis subtrahiere ich mit [mm]2x^3[/mm]

Du subtrahierst das mauch mit den anderen Potenzen.

>  
> also [mm]2x^3[/mm] - [mm](3x*(-x^2+x-1))[/mm]
>  
> so wäre das richtig oder?

Polynomdivisionen sind immer recht unübersichtlich. Ich empfehle dir aber diese Seite:

   http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

Dort kannst du dir dein Beispiel vorrechnen lassen. Inklusive Erklärungen. Das sollte dir sicherlich helfen.

Schönen Abend!

>  


Bezug
        
Bezug
integrieren - polynomdiv.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:25 Di 29.07.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Lösen sie
>  
> [mm]\integral{\bruch{3x^4-2x^3-1}{x^3-x^2+x-1} dx}[/mm]
>  ich weiß
> gerade nicht wie ich hier die polynomdivision machen soll
>  
>
> [mm](3x^4-2x^3-1):(x^3-x^2+x-1)=...[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)



das ist gar nicht sonderlich schwer: Du fängst an mit

    $(3x^4-2x^3-1)$ : $(x^3-x^2+x-1)$ = $3x$ + ...

wobei Du eigentlich die ... mit anderem Vorzeichen Dir gleich nach links denkt,
denn sie sind "Korrekturterme":
Du rechnest nämlich nun zurück und siehst dann, dass

    $3x*(x^3-x^2+x-1)=3x^4-3x^3+3x^2-3x$ ist.

In diesem ersten Schritt hast Du dann eigentlich erkannt

    $\frac{3x^4-2x^3-1}{x^3-x^2+x-1}=3x+\frac{(-2x^3-1)-(-3x^3+3x^2-3x)+}{x^3-x^2+x-1}$

Das steckt dahinter, wenn Du schreibst:

      $(3x^4-2x^3-1})$ : $(x^3-x^2+x-1)$ = $3x\,$
     -$(3x^4-3x^3+3x^2-3x)$
---------------------------
        $(-2x^3-1)-(-3x^3+3x^2-3x)$

Jetzt geht das Schema halt analog weiter. Nichts anderes macht man
übrigens, wenn man "schriftlich dividiert" - wobei das Ganze dann
natürlich an den 10er Potenzen orientiert ist, oben an den Monomen, wie
man *geschickt* dividiert. Ich zeig' Dir mal, wie man auch schriftlich dividieren
kann, auch, wenn es keiner so aufschreiben wird:

Wir wollen    

    105:7

berechnen: Wir schreiben mal

    $105:7=10$+...

Jetzt sehen wir:

    105:7=10*7+35, weil $35=105-10*7$

Also geht's weiter:

    $105:7=10*7+\frac{35}{7}$

Also

    $105:7=10*7+5*7=(10+5)*7=15*7\,.$

Das heißt, die ganze *Kunst* hier besteht darin, dass man sich anguckt,
wie die Differenz zu dem ist, was man haben will, wenn man *zurückrechnet*
und das man das Distributivitätgesetz anwenden kann.

Leider wird auf sowas nicht von jedem Lehrer (irgendwann) mal hingewiesen,
entsprechend wissen zwar viele, wie man schriftlich dividiert, aber noch
längst nicht alle, warum das, was sie machen, so auch funktioniert.

Zu Deiner Aufgabe:
Ich rechne jetzt einfach oben weiter bei

    $((-2x^3-1)-(-3x^3+3x^2-3x))$ : $(x^3-x^2+x-1)$

bzw. ich vereinfache erst mal den ersten Term und rechne dann weiter:

    $(x^3-3x^2+3x-1)$ : $(x^3-x^2+x-1)$ = $1+\frac{\blue{-2x^2+2x}}{x^3-x^2+x-1}$
   -$(x^3-x^2+x-1)$
--------------------
    $\blue{-2x^2+2x}$

Wenn Du das obige verstanden hast, sollte Dir nun klar sein

    $\frac{3x^4-2x^3-1}{x^3-x^2+x-1}=3x+1+\frac{\blue{-2x^2+2x}}{x^3-x^2+x-1}$

Das sieht jetzt erstmal blöd aus, aber Hingucken kann immer helfen:

    $2x-2x^2=2x(1-x)\,.$

Der Zähler des letzten Summanden hat die Nullstellen $0\,$ und $1\,.$ $1\,$ ist
- setze es ein - auch eine Nullstelle des Nenners. Es liegt daher nahe, etwa

    $(x^3-x^2+x-1)$ : $(x-1)$
(du könntest auch durch $(1-x)\,$ teilen!)

mit Polynomdivision zu berechnen (das MUSS aufgehen - warum?):

    $x^2+1\,$ wird rauskommen.

Damit:

    $\frac{3x^4-2x^3-1}{x^3-x^2+x-1}=3x+1+\frac{\blue{-2x^2+2x}}{x^3-x^2+x-1}=3x+1+\frac{2x*(1-x)}{(x-1)*(x^2+1)}=3x+1+\frac{2x*\red{(1-x)}}{-\red{(x-1)}*(x^2+1)}$

Jetzt verwende das zur Integration! (Hinweis: Offensichtlich steht beim
letzten Term im Zähler die Ableitung des Nenners - und man weiß sowas
wie

    $\ln(u(x))=\frac{u\,'(x)}{u(x)}$ ... .)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
integrieren - polynomdiv.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:32 Di 29.07.2014
Autor: Marcel

P.S.

Wenn man direkt sieht, dass [mm] $x=1\,$ [/mm] Nullstelle sowohl des Zählers als auch
des Nenners ist, liegt eigentlich folgendes nahe:

    [mm] $\frac{3x^4-2x^3-1}{x^3-x^2+x-1}=\frac{z_\text{neu}(x)\;*(x-1)}{n_\text{neu}(x)\;*(x-1)}=\frac{z_\text{neu}(x)}{n_\text{neu}(x)}\,,$ [/mm]

wobei die Frage an Dich ist:
Was meine ich wohl mit [mm] $z_\text{neu}(x)$ [/mm] und [mm] $n_\text{neu}(x)$? [/mm] Und wie berechne
diese Terme wohl?

Hinweis:

    [mm] $3x^4-2x^3-1=\frac{3x^4-2x^3-1}{x-1}\;*(x-1)=z_\text{neu}(x)\;*(x-1)$ [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]