integrieren von 1/y*dy < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | integriere
[mm] \integral_{}^{}{g'(y)/g(y) dy} [/mm] |
Warum bekommt man hier als Lösung ln|g(y)| ?
Wie geht die Herleitung?
(es muss wohl ein Trick mit der Eulerschen Zahl e sein, aber ich habe wirklich keine Ahnung mehr vom Lösungsweg ;D)
Beispiel aus einem Skript:
y´=y [mm] \Rightarrow [/mm] dy/y=dx [mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{1/y dy}=\integral_{}^{}{dx} \Rightarrow
[/mm]
ln|y| [mm] =x+C\Rightarrow|y|=e^{x+C}
[/mm]
vielen Dank! mathhoover
|
|
| |
|
Und was ist g? Irgendetwas stimmt da nicht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Di 19.07.2011 | | Autor: | Mathhoover |
g ist die Funktion. Der Term in der Aufgabe habe ich der allgemeinen Gleichung y=f(x)*g(y) entnommen, die in einem Theorieteil zur Variablenseparation von gewöhnlichen DGL 1.Ordnung behandelt wurde. Aber du hast natürlich recht, mir ist ein Fehler unterlaufen; eigentlich wollte ich fragen, wie man von
[mm] \integral_{}^{}{1/g(y) dy} [/mm] auf ln|g(y)| kommt.
Als Beispiel sollte dienen: [mm] \integral_{}^{}{1/y dy} [/mm] = ln|y|
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:32 Di 19.07.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
auch das kann nicht stimmen. Generell gilt:
[mm] \integral{\bruch{g'(x)}{g(x)} dx}=ln|g(x)|+C
[/mm]
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Di 19.07.2011 | | Autor: | Mathhoover |
Ja stimmt, was ich geschrieben habe kann natürlich auch nur auf das Beispiel bezogen werden: y abgeleitet gibt ja 1.
Du hast also recht, die Frage ist aber immer noch, warum das so ist
|
|
|
| |
|
Moin!
> integriere [mm]\integral_{}^{}{1/g(y) dy}[/mm]
> Warum bekommt man hier als
Du meinst sicherlich:
[mm] \integral_{}^{}{\frac{g'(y)}{g(y)}dy}
[/mm]
Substituiere u:=g(y) und alles löst sich in Wohlgefallen auf.
LG
> Lösung ln|y| ?
>
> Wie geht die Herleitung?
> (es muss wohl ein Trick mit der Eulerschen Zahl e sein,
> aber ich habe wirklich keine Ahnung mehr vom Lösungsweg
> ;D)
>
> vielen Dank! mathhoover
|
|
|
| |
|
ich schaff das nicht. Das hier wird ja wohl kaum zur Lösung beitragen:
u=g(y) [mm] \Rightarrow [/mm] u´=g´(y) [mm] \Rightarrow [/mm] du/dx=g´(y) [mm] \Rightarrow \integral_{}^{}{du}=\integral_{}^{}{g´(x) dx}
[/mm]
Wie hast du das also gemeint? Vieleicht liegt mein Versagen auch daran, dass ich nur DGL vom Typ y´=ax+by+c und y´=y/x durch Substitution lösen kann?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:07 Di 19.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kannst du die Kettenregel?
dann leite einfach ln(g(y)) ab und weils so spass macht als Anwendung ln(sin(x)) und dann integriere cos(x)/sin(x) und als näxhstes leite ln(ln(x)) ab und dann integriere x*ln(x)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Ja, ich sehe dass ln(sin(x)) abgeleitet cos(x)/sin(x) und umgekehrt cos(x)/sin(x) integriert ln(sin(x)) ergibt. Auch ln(ln(x)) gibt abgeleitet x*ln(x), und x*ln(x) wiederum integriert ergibt ln(ln(x)). Ich habe das jetzt aber nur berechnen können, weil ich wusste dass z.b. ln(x) abgeleitet 1/x ergiebt, aber nicht, warum. Ich möchte sicher sein dass ich diese "Formel" so richtig (für alle Fälle) anwende.
Weiss also jemand eine Herleitung für die Formel (die mir bis jetzt immer noch nur wie eine Regel mit Ausnahmen vorkommt): 1/x abgeleitet gibt ln(x)?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 Di 19.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Dein letzter Satz ist noch immer falsch !
Es gilt : [mm] \int\bruch{1}{x}dx=\ln(x)+C [/mm] und dann natürlich auch [mm] ln'(x)=\bruch{1}{x}.
[/mm]
Wenn ich es richtig verstanden habe, willst du wissen, wieso [mm] ln'(x)=\bruch{1}{x} [/mm] gilt. Dafür gibt es viele Ansätze. Der schnellste wäre wohl, dass du dir bewusst bist, dass die Exponentialfunktion differenzierbar und injektiv ist. Was folgt dann aus dem Satz der Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion ?
Du könntest aber auch anders argumentieren oder es speziell ausrechnen.
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 Di 19.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Dein letzter Satz ist noch immer falsch !
>
> Es gilt : [mm]\int\bruch{1}{x}dx=\ln(x)+C[/mm] und dann natürlich
> auch [mm]ln'(x)=\bruch{1}{x}.[/mm]
sofern man unter [mm] $\int$ [/mm] wirklich "eine Stammfunktion" (also ein Repräsentant der Klasse der Stammfunktionen) versteht, muss man natürlich Konstanten (=konstante Funktionen) mitziehen. Obige Gleichung gilt aber nur für $x > [mm] 0\,.$
[/mm]
> Wenn ich es richtig verstanden habe, willst du wissen,
> wieso [mm]ln'(x)=\bruch{1}{x}[/mm] gilt. Dafür gibt es viele
> Ansätze. Der schnellste wäre wohl, dass du dir bewusst
> bist, dass die Exponentialfunktion differenzierbar und
> injektiv ist. Was folgt dann aus dem Satz der
> Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion ?
>
> Du könntest aber auch anders argumentieren oder es
> speziell ausrechnen.
Man kann es so machen:
Mit [mm] $f=\ln$ [/mm] und [mm] $y=e^x [/mm] (> 0)$ folgt
[mm] $$\ln(e^x)=x$$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow \ln'(e^x)*e^x=1$$
[/mm]
nach Differentiation nach [mm] $x\,$ [/mm] auf beiden Seiten
(man beachte:
Kettenregel liefert
[mm] $$\frac{d}{dx}\ln(e^x)=\frac{d}{dy}\ln(y(x))*\frac{d}{dx}y(x)$$ [/mm] mit [mm] $y=y(x)=e^x$ [/mm] also
[mm] $$\frac{d}{dx}\ln(e^x)=\ln'(y(x))*y'(x)=\ln'(e^x)*e^x\text{)}\,,$$ [/mm]
also
[mm] $$\ln'(e^x)=\frac{1}{e^x}\,.$$
[/mm]
Danach [mm] $y=e^x$ [/mm] setzen
[mm] $$\frac{d}{dy}\ln(y)=1/y\,.$$
[/mm]
Das ist jetzt ein wenig "formal hingeschludert" und man kann es auch sauberer niederschreiben (siehe Formel für Ableitung der Umkehrfunktion), aber erfüllt seinen Zweck und die Schritte sind in der Tat begründbar. Insbesondere ist bei der Notation [mm] $\ln'(e^x)=\ln'(y)$ [/mm] zu beachten, dass man dort nach der Variablen [mm] $y=e^x\,$ [/mm] differenziert (siehe Kettenregel); andererseits bedeutet der Strich bei $y'$ eine Differentiation nach [mm] $x\,:$ [/mm]
[mm] $$y'(x)=\frac{d}{dx}y(x)\,.$$
[/mm]
Auch das ist ein Manko meiner obigen (aber durchaus allgemein gebräuchlichen) Schreibweise, das man sicher hätte vermeiden können...
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Di 19.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Netter Trick ;)
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Mi 20.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Netter Trick ;)
ehrlich gesagt habe ich den nicht selbst erfunden:
Der Trick stand in meinem Schulbuch, um sich "mal schnell formal" die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion herzuleiten:
[mm] $$g=f^{-1}$$
[/mm]
liefert
$$g(f(x))=x$$
und dann nach Differentiation nach [mm] $x\,:$
[/mm]
[mm] $$g'(f(x))*f'(x)=1\,.$$
[/mm]
Also mit $y=f(x)$ bzw. [mm] $x=f^{-1}(y)$ [/mm] sodann
[mm] $$g'(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$\frac{d}{dy}f^{-1}(y)=\frac{1}{f'(f^{-1}(y))}\,.$$
[/mm]
Was man da genau macht, hatte ich aber erst verstanden, als ich mir obiges Beispiel mal durchgerechnet und genauer angeguckt hatte (ist schon lange her, aber dennoch gut in Erinnerung geblieben, weil mir anfangs manches unklar war).
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Di 19.07.2011 | | Autor: | Mathhoover |
Danke vielmal, sehr nett dass du es vorgerechnet hast
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Di 19.07.2011 | | Autor: | Mathhoover |
Danke, du bist der erste der auf meine Frage eingegangen ist.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:36 Di 19.07.2011 | | Autor: | DM08 |
Du musst nur klar und deutlich allen wissen lassen, was du wissen willst. Das war etwas komisch aufgeschrieben ;)
MfG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Di 19.07.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich schaff das nicht. Das hier wird ja wohl kaum zur
> Lösung beitragen:
>
> u=g(y) [mm]\Rightarrow[/mm] u´=g´(y) [mm]\Rightarrow[/mm] du/dx=g´(y)
> [mm]\Rightarrow \integral_{}^{}{du}=\integral_{}^{}{g´(x) dx}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Wie hast du das also gemeint? Vieleicht liegt mein Versagen
> auch daran, dass ich nur DGL vom Typ y´=ax+by+c und
> y´=y/x durch Substitution lösen kann?
der Trick geht eigentlich so:
Es ist $g'(y)=\frac{dg}{dy}$ und daher folgt
$$\int \frac{g'(y)}{g(y)}dy=\int \frac{dg}{dy}*\frac{1}{g}dy=\int \frac{1}{g}dg=\left.\ln(|g|)\;\;\right|_{g=g(y)}=\ln|g(y)|\,,$$
wobei das mehr oder weniger eigentlich erstmal nur "formales Rechnen" ist. Eigentlich kommt da die Kettenregel zu tragen.
P.S.
Kamaleonti meinte
$$\int \frac{g'(y)}{g(y)}dy=\int \frac{du/dy}{u}dy=\int \frac{1}{u}du=\ln|u|=\ln|g(y)|\,.$$
Ist vielleicht ein wenig weniger verwirrend und hebt die Kettenregel auch ein wenig deutlicher hervor, prinzipiell ist es aber die gleiche Vorgehensweise wie bei mir oben.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
