invariante Unterräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Fr 22.02.2008 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
sei v ein Eigenvektor eines Endomorphismus [mm] \phi [/mm] welcher durch eine Matrix beschrieben wird.
Ich will nun alle invarianten Unterräume des Endomorphismus finden. Ist es richtig, dass diese jeweils von einem Eigenvektor aufgespannt werden?
Ich habe leider nur die Information, dass diese Unterräume dann auch wirklich invariant sind, aber nicht, ob es alle sind.
Gruß,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:59 Fr 22.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Für v Eigenvektor mit Eigenwert [mm] \lambda:
[/mm]
Sei U der zu v gehörende Eigenraum. Dann ist [mm] U\subset [/mm] V ein Unterraum für den gilt :
[mm] U\backepsilon x\to \phi (x)=\lambda*x\in [/mm] U , also [mm] \phi [/mm] (U)=U
Somit ist U ein [mm] \phi-invarianter [/mm] Unterraum.
Für U [mm] \phi-invarianter [/mm] Unterraum: es gilt [mm] \phi(U)=U
[/mm]
Dann könnte 1.)
[mm] U\backepsilon x=x_1*b_1+x_2*b_2+... \to \phi(x_1*b_1+x_2*b_2+...)=\lambda_1*x_1*b_1+\lambda_2*x_2*b_2+... \in [/mm] U
D.h. U könnte die Summe von Eigenräumen sein ( z.B. [mm] U=E_1\oplus E_2 [/mm] ) und daher von zwei Eigenwerten abhängen.
oder 2.)
z.B. [mm] \phi=\pmat{0&-1\\1&0} [/mm] hat keine reellen Eigenwerte. Aber [mm] \phi(\IR^2)=\IR^2
[/mm]
In [mm] \IC [/mm] wäre das kein Problem.
D.h. du müsstest die Aussage somit auf "alle invarianten 1-dim. Unterräume" erweitern, oder auch nach solchen Unterräumen suchen.
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 Fr 22.02.2008 | | Autor: | Rutzel |
aha, d.h. es reicht nicht, die eigenwerte der abbildung zu suchen und dann die eigenvektoren.
also z.b.
ich finde 2 eigenwerte, daher auch 2 eigenvektoren und postuliere dann, alle invarianten unterräume seinen gegeben durch span(eigenvektor1) und span(eigenvekor2)
konkret geht es um folgende matrix:
[mm] \pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Eigenwert: 1
Eigenvektor: (1,0)
D.h. ein invarianter unterraum ist span((1,0)).
wie lassen sich die anderen unterräume finden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Fr 22.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Da es ein Endomorphismus ist muss auch [mm] \IR^n [/mm] ein inv. UR. sein
Der 0-dim. Raum [mm] \{0\} [/mm] ist es sowieso immer.
Danach berechnet man die Eigenwerte.
[mm] det(A-\lambda [/mm] I)=0
In deinem Beispiel bedeutet das : [mm] (1-\lambda)^2=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1/2}=1 [/mm] ist doppelte Nullstelle.
Der zugehörige Eigenraum ist ein-dim. und wird z.B. von [mm] \vektor{1\\0} [/mm] erzeugt.
( nicht 2-dim. ! Die Eigenvektoren erzeugen deswegen nicht den gesammten Raum. Daher ist die Matrix auch nicht diagonalisierbar. )
Wir haben also [mm] U_1=\IR^2 [/mm] , [mm] U_2=\{0\} [/mm] und [mm] U_3=span(\vektor{1\\0}).
[/mm]
Die Summen [mm] \oplus_{i\in I}U_i [/mm] , mit [mm] I\subseteq \{1,2,3\}
[/mm]
sind hier jedoch alle nichts neues.
Die 3 U's sind also alle inv. UR.
Ciao.
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