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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - invariante Verteilung
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invariante Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:13 Sa 01.06.2019
Autor: Christian.B

Aufgabe
Bestimmen Sie die invariante Verteilung [mm] $\pi$ [/mm] einer Markovkette mit der Übergangsmatrix und der aus der Vorlesung bekannten Formel [mm] $(P-I)^{T} \pi=0$ [/mm]

[mm] P=\left( \begin{array}{ccc}{1 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4} \\ {1 / 2} & {0} & {1 / 2} \\ {{1 / 2}} & {{1 / 2}} & {{1 / 4}}\end{array}\right) [/mm]



Hallo, ich habe gerade ein paar Probleme, denn die invariante Verteilung wird irgendwie immer anders bestimmt und ich habe das Gefühl, dass ich etwas falsch mache.

Man muss ja noch eine 4 Gleichung nutzen, nämlich
[mm] $$\pi_1 [/mm] + [mm] \pi_2 +\pi_3 [/mm] =1$$

Und ich verstehe nicht warum die Matrix transponiert werden soll.

Also mache es nun einmal Schritt für Schritt und stoppe dort wo mein Problem anfängt.

[mm] $$(P-I)^{T} [/mm] = [mm] \left( \left( \begin{array}{ccc}{1 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4} \\ {1 / 2} & {0} & {1 / 2} \\ {{1 / 2}} & {{1 / 2}} & {{1 / 4}}\end{array}\right) - \left( \begin{array}{ccc}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \\ {{0}} & {{0}} & {{1}}\end{array}\right) \right)^T [/mm] $$

$$ = [mm] \left( \left( \begin{array}{ccc}{-3 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4} \\ {1 / 2} & {-1} & {1 / 2} \\ {{1 / 2}} & {{1 / 2}} & {{-3 / 4}}\end{array}\right) \right)^T [/mm] $$

$$ =  [mm] \left( \begin{array}{ccc}{-3 / 4} & {1 / 2} & {1 / 2} \\ {1 / 2} & {-1} & {1 / 2} \\ {{1 / 4}} & {{1 / 2}} & {{-3 / 4}}\end{array}\right) [/mm] $$


So nun muss ich den Vektor [mm] $\pi$ [/mm] rein multiplizieren , die 4te Gleichung dazuschreiben und alles 0 setzen.
Dann komme ich auf

$-3 / 4 [mm] \pi_1 [/mm] + 1/2 [mm] \pi_2 +1/2\pi_3 [/mm] =0$
$1 / 2 [mm] \pi_1 [/mm] -1 [mm] \pi_2 +1/2\pi_3 [/mm] =0$
$ 1/4 [mm] \pi_1 [/mm] + 1/2 [mm] \pi_2 -3/4\pi_3 [/mm] =0$
[mm] $\pi_1 [/mm] + [mm] \pi_2 +\pi_3 [/mm] =1$

Hier existiert nun aber keine Lösung, auch Wolfram kommt auf kein Ergebnis
[a][Dateianhang Nr. (fehlt/gelöscht)]

Kann mir Jemand bitte helfen?


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

P.S. Ich kann irgendwie keine Links hinzufügen, oder bin zu doof dafür xD. Es sollte nur ein Wolframalpha Link zur Berechnung des Gleichungssystem sein, damit ihr es zur Not nicht abtippen müsst.

Von daher hier einmal zum einfügen :
"-3 / 4 x + 1/2 y+1/2z =0, 1 / 2 x -y +1/2z =0, 1/4 x + 1/2 y -3/4z =0, x + y +z =1"

        
Bezug
invariante Verteilung: Transponierte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:01 So 02.06.2019
Autor: Infinit

Hallo Christian,
zu meiner Zeit nannte man dies noch den stationären Zustand der Zufallsvariablen und wenn ich mir dies mit der Matrix M hinschreibe, so möchte ich doch haben, dass sich die Werte der Zufallsvariablen bei Multiplikation mit der Übergangsmatrix nicht ändern.
Ich habe also eine Gleichungssystem
[mm] P \cdot \vektor{\pi_1 \\ \pi_2 \\ \pi_3} = \vektor{\pi_1 \\ \pi_2 \\ \pi_3} [/mm]
und dazu kommt noch die Randbedingung, dass die Summe über alle Wahrscheinlichkeiten den Wert 1 ergeben muss
[mm] \pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = 1 [/mm]
Wo kommt denn da eine Transponierte mit rein?
Viele Grüße,
Infinit

Bezug
                
Bezug
invariante Verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:47 So 02.06.2019
Autor: Gonozal_IX

Hallo Infinit,

das hängt davon ab, ob man mit zeilen- oder spaltenstochastischen Matrizzen arbeitet. Bei einer zeilenstochastische Matrix werden die Zustände als Zeilenvektor von links ranmultipliziert, d.h. es gilt für einen stationären Zustand:

[mm] $\pi [/mm] P = [mm] \pi \gdw P^T \pi^T [/mm] = [mm] \pi^T$ [/mm] und schwups hat man die Transponierte drin :-)

Und bei Markov-Ketten verwendet man normalerweise zeilenstochastische Matrizzen ( siehe []Wikipedia)

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
invariante Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 So 02.06.2019
Autor: meili

Hallo Christian.B,

bist du dir sicher, dass die Matrix P die Werte hat, die du aufgeschrieben hast?

Oder sollte sie so sein:

$P = [mm] \pmat{ \bruch{1}{4} & \bruch{1}{2} & \bruch{1}{4} \\ \bruch{1}{2} & 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{4} & \bruch{1}{2} & \bruch{1}{4}}$ [/mm] ?

Gruß
meili


Bezug
                
Bezug
invariante Verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:55 So 02.06.2019
Autor: Gonozal_IX

Huhu meili,

gut aufgepasst!
Man hätte aber auch deutlicher schreiben können, dass die Matrix keine Übergangsmatrix ist, da sie nicht stochastisch ist :-)

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
invariante Verteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:02 So 02.06.2019
Autor: Christian.B

Hallo meili.

Ich habe mich wohl aus versehen verschrieben und dadurch alles falsch gerechnet, die Matrix sollt lauten.

$$
[mm] P=\left( \begin{array}{ccc}{1 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4} \\ {1 / 2} & {0} & {1 / 2} \\ {1 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4}\end{array}\right) [/mm]
$$

Tut mir leid:(

Die Ausgangsfrage wäre allerdings immer noch offen, denn ich konnte mein Problem in den letzten 10 h nicht lösen:)

Bezug
                
Bezug
invariante Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:23 So 02.06.2019
Autor: Christian.B

Hallo meili.

Ich habe mich wohl aus versehen verschrieben und dadurch alles falsch gerechnet, die Matrix sollt lauten.


$ [mm] P=\left( \begin{array}{ccc}{1 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4} \\ {1 / 2} & {0} & {1 / 2} \\ {1 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4}\end{array}\right) [/mm] $


Tut mir leid:(

Die Ausgangsfrage wäre allerdings immer noch offen, denn ich konnte mein Problem in den letzten 10 h nicht lösen:)

Bezug
                        
Bezug
invariante Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:46 So 02.06.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich habe mich wohl aus versehen verschrieben und dadurch
> alles falsch gerechnet, die Matrix sollt lauten.
>
>
> [mm]P=\left( \begin{array}{ccc}{1 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4} \\ {1 / 2} & {0} & {1 / 2} \\ {1 / 4} & {1 / 2} & {1 / 4}\end{array}\right)[/mm]

> Tut mir leid:(

Das passiert.

> Die Ausgangsfrage wäre allerdings immer noch offen, denn
> ich konnte mein Problem in den letzten 10 h nicht lösen:)

Nein, die Ausgangsfrage ist damit beantwortet.
Mache deine Rechnungen nochmal mit der korrigierten Matrix und du erhältst ein Ergebnis.

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
invariante Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:56 So 02.06.2019
Autor: Christian.B

Hallo gono,
ja nun ist die Frage erledigt:)

Ich hätte aber noch eine andere und zwar, geht dieser Prozess hier auch einfacher/schneller? Gerade bei unschönen Zahlen, rechnet es sich von Hand ekelhaft, besonders bei 4 Gleichungen.

Bezug
                                        
Bezug
invariante Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 So 02.06.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

korrigiert sehen deine Gleichungen ja so aus:
[mm] $\begin{cases} -\frac{3}{4} \pi_1 + \frac{1}{2} \pi_2 +\frac{1}{2}\pi_3 &= 0 \\ \frac{1}{2}\pi_1 - 1\cdot\pi_2 + \frac{1}{2}\pi_3 &= 0 \\ \frac{1}{4}\pi_1 + \frac{1}{2}\pi_2 - \frac{3}{4}\pi_3 &= 0 \\ 1\cdot\pi_1 + 1\cdot\pi_2 + 1\cdot\pi_3 &= 1\end{cases}$ [/mm]

Das ist ein []lineares Gleichungssystem für dessen (schnelle) Lösung du im Studium bestimmt Verfahren gelernt hast…

Gruß,
Gono

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