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Forum "Physik" - inversionssymmetrie
inversionssymmetrie < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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inversionssymmetrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Mo 07.04.2008
Autor: toros

Hallo,

ich hab grad in einem Buch gelesen, dass man die Gleichung [mm] 1-e^{i\vec{k}\vec{R}} [/mm] wegen der Inversionssymmetrie eines Bravais Gitters umschreiben kann als [mm] \frac{1}{2} \left[\left(1-e^{i\vec{k}\vec{R}}\right)+\left(1-e^{-i\vec{k}\vec{R}}\right)\right], [/mm] wobei [mm] \vec{k} [/mm] der Wellenvektor ist und [mm] \vec{R} [/mm] der Gittervektor. Kann mir das einer bitte erklären?

Danke!
Gruss tica


        
Bezug
inversionssymmetrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:14 Di 08.04.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> ich hab grad in einem Buch gelesen, dass man die Gleichung
> [mm]1-e^{i\vec{k}\vec{R}}[/mm] wegen der Inversionssymmetrie eines
> Bravais Gitters umschreiben kann als [mm]\frac{1}{2} \left[\left(1-e^{i\vec{k}\vec{R}}\right)+\left(1-e^{-i\vec{k}\vec{R}}\right)\right],[/mm]
> wobei [mm]\vec{k}[/mm] der Wellenvektor ist und [mm]\vec{R}[/mm] der
> Gittervektor. Kann mir das einer bitte erklären?

Unter Inversion versteht man die Umkehrung aller Raumrichtungen, also die Transformation [mm] $\vec{R}\rightarrow -\vec{R}$. [/mm] Inversionsymmetrie bedeutet, dass ein Bravais-Gitter durch diese Transformation in sich selber übergeführt wird.

Wenn ein physikalisches System eine solche Symmetrie aufweist, dann schlägt sich das in der Symmetrie der Gleichungen nieder.

Du schreibst nicht, in welchem Zusammenhang der Ausdruck (keine Gleichung!) [mm]1-e^{i\vec{k}\vec{R}}[/mm] auftritt. Deswegen kann ich dir nicht genauer sagen, was gemeint ist.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
inversionssymmetrie: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 11:22 Mi 09.04.2008
Autor: toros

Hi Rainer,

im 'Ashcroft-Mermin' auf Seite 439 steht es so drin:

Die Matrix [mm] \mathcal{D}(\vec{k}) [/mm] ist gegeben durch

[mm] \mathcal{D}(\vec{k})=\sum_{\vec{R}}\mathcal{D}(\vec{R})e^{-i\vec{k}\vec{R}}. [/mm]

Aufgrund der Inversionssymmetrie

[mm] \mathcal{D}(\vec{R})=\mathcal{D}(-\vec{R}) [/mm] und

[mm] \sum_{\vec{R}}\mathcal{D}(\vec{R})=0 [/mm]

kann man [mm] \mathcal{D}(\vec{k}) [/mm] umschreiben zu

[mm] \mathcal{D}(\vec{k})=\frac{1}{2}\sum_{\vec{R}}\mathcal{D}(\vec{R})\left[e^{-i\vec{k}\vec{R}}+e^{i\vec{k}\vec{R}}-2\right]=-2\sum_{\vec{R}}\mathcal{D}(\vec{R})\sin^2\left(\vec{k}\cdot\vec{R}/2\right). [/mm]

Mein Ansatz wäre die Summe aufzuspalten:

[mm] \sum_{\vec{R}}\mathcal{D}(\vec{R})e^{-i\vec{k}\vec{R}}=\sum_{\vec{R}> 0}\mathcal{D}(\vec{R})e^{-i\vec{k}\vec{R}}+\sum_{\vec{R}<0}\mathcal{D}(\vec{R})e^{-i\vec{k}\vec{R}} [/mm]

im zweiten Term setzte ich nun [mm] \vec{R}=-\vec{R}, [/mm] so dass man

[mm] \sum_{\vec{R}> 0}\mathcal{D}(\vec{R})e^{-i\vec{k}\vec{R}}+\sum_{\vec{R}<0}\mathcal{D}(\vec{R})e^{i\vec{k}\vec{R}} [/mm]

Kannst mir jetzt bitte sagen, wie es weiter geht? Ich hab weder den Vorfaktor [mm] \frac{1}{2}, [/mm] noch die -2 dastehen...

Danke!
Gruss toros

Bezug
                        
Bezug
inversionssymmetrie: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Fr 11.04.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
inversionssymmetrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:15 Fr 11.04.2008
Autor: chrisno


>
> kann man [mm]\mathcal{D}(\vec{k})[/mm] umschreiben zu
>
> [mm]\mathcal{D}(\vec{k})=\frac{1}{2}\sum_{\vec{R}}\mathcal{D}(\vec{R})\left[e^{-i\vec{k}\vec{R}}+e^{i\vec{k}\vec{R}}-2\right]=-2\sum_{\vec{R}}\mathcal{D}(\vec{R})\sin^2\left(\vec{k}\cdot\vec{R}/2\right).[/mm]
>  

> Mein Ansatz wäre die Summe aufzuspalten:
> [mm]\sum_{\vec{R}}\mathcal{D}(\vec{R})e^{-i\vec{k}\vec{R}}=\sum_{\vec{R}> 0}\mathcal{D}(\vec{R})e^{-i\vec{k}\vec{R}}+\sum_{\vec{R}<0}\mathcal{D}(\vec{R})e^{-i\vec{k}\vec{R}}[/mm]
>  

Damit bist Du auf dem falschen Weg. Mein Hinweis ist genau das, was Dir fehlt.

[mm] \mathcal{D}(\vec{k})=\frac{1}{2}\left[\mathcal{D}(\vec{k})+\mathcal{D}(\vec{k})-0\right]=\frac{1}{2}\left[\sum_{\vec{R}}\mathcal{D}(\vec{R})e^{-i\vec{k}\vec{R}}+\sum_{\vec{R}}\mathcal{D}(\vec{R})e^{i\vec{k}\vec{R}}-2\sum_{\vec{R}}\mathcal{D}(\vec{R})\right]=\ldots[/mm]

Bezug
                                
Bezug
inversionssymmetrie: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:51 Sa 12.04.2008
Autor: toros

hi chrisno,

danke für die antwort. hab's fast verstanden. warum reicht es nicht  
[mm] \mathcal{D}(\vec{k})=\frac{1}{2}\left[\mathcal{D}(\vec{k})+\mathcal{D}(\vec{k})\right] [/mm] zu schreiben bzw. warum muß man noch eine null abziehen? ohne die null stünde im endergebnis kein sinus, sondern ein kosinus und das ist halt schon ein großer unterschied.

gruss toros

Bezug
                                        
Bezug
inversionssymmetrie: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Mo 14.04.2008
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
inversionssymmetrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:29 Di 08.04.2008
Autor: chrisno

Hallo Tica,

ist gegeben, dass für
[mm]e^{-i\vec{k}\vec{R}}[/mm] das >Gleiche herauskommt wie für [mm]e^{i\vec{k}\vec{R}}[/mm]? Das scheint die Folge der Inversionssymmetrie zu sein. Falls da Dein Problem liegt, muss jemand anderes das klären.

Mit dieser Gleichheit ist
[mm]1-e^{i\vec{k}\vec{R}} = 1-e^{-i\vec{k}\vec{R}}[/mm]
Wenn man die Terme beider Seiten addiert, also den Ausdruck in der eckigen Klammer berechnet, erhält man das Doppelte eines der beiden Ausgangsterme ([mm]1-e^{i\vec{k}\vec{R}} [/mm]). Um das zu kompensieren, muss man noch durch 2 teilen:

[mm]= \frac{1}{2} \left[\left(1-e^{i\vec{k}\vec{R}}\right)+\left(1-e^{-i\vec{k}\vec{R}}\right)\right],[/mm]


Bezug
                
Bezug
inversionssymmetrie: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:49 Mi 09.04.2008
Autor: toros

hi,

danke! meine frage war ne andere. die hab ich oben nochmals präziser gestellt.

gruss

Bezug
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