invertierbare 2X2-Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:13 Mi 29.12.2004 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum vorher gestellt.
Es geht um folgende Aufgabe: Sei k ein Körper mit p Elementen. Zeigen Sie, dass es genau (p²-1)*(p²-p) invertierbare 2x2-Matrizen über k gibt.
Ansatz: Dachte es geht vielleicht mit vollständiger Induktion. Der kleinste Körper hat 2 Element also habe ich gezeigt, dass es für p=2 stimmt. Da kommt dann raus, dass es 6 invertierbare 2x2-Matrizen gibt. Dann wollte ich den Schluss von p auf p+1 machen: ((p+1)²-1)*((p+1)²-(p+1))=(p²+2p)*(p²+p)=p²p²+3p²p+2p²
Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Irgendwie liegt mir dieses Induktionsverfahren nicht. Was muss ich denn jetzt noch machen?
Tschau Marietta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Mi 29.12.2004 | | Autor: | andreas |
hi
ich habe den induktionsansatz nicht wirklich durchgedacht, aber ich befürchte, dass das schief gehen wird, ich lasse mich aber gerne eines besseren belehren!
dafür hätte ich aber einen alternativen ansatz:
ich nehem mal an, dass ihr in der vorlesung den satz bewiesen habt, dass eine matrix genau dann invertierbar ist, wenn die spaltenvektoren linear unabhängig sind. also kann man sich vorstellen, dass man die matrix aufbaut und dabei zuerst einen vektor für die erste spalte wählt, der für sich alleine linear unabhängig ist, dafür gibt es [m] p^2 - 1 [/m] möglichkeiten (für jeden der beiden einträge stehen $p$ werte zur verfügung, der nullvektor ist aber für sich alleien nicht linear unabhängig). jetzt muss man sich nur noch überlegen, wieviel möglichkeiten für den zweiten vektor noch in frage kommen, die zum ersten linear unabhängig sind und das werden dann vermutlich [m] p ^2 - p [/m] sein. warum?
ein anderer ansatz ist veilleich noch über die determinante: es gibt insgesamt [m] p^4 [/m] [m] 2 \times 2 [/m]-matrizen, wenn man jetzt die anzahl der nicht-invertierbaren matrizen zählt und davon abzieht hat man die anzahl der invertierbaren matrizen. eine matrix ist ja (vermutlich bekanntlich) genau dann nicht invertierbar, wenn die determinante verschwindet, also wenn
[m] 0 = \det \pmat{ a & b \\ c & d } = ad - bc [/m],
also wenn [m] ad = bc [/m] nun muss man "nur noch" die anzahl der lösungen dieser gleichung bestimmen, was aber wohl mit ein paar fallunterscheidungen einhergeht und was ich dann natürlich auch nicht durchgerechnet habe, ich denke aber, dass dieser weg auch zum ziel führen wird!
vielleicht hat jemand anderes auch noch einen einfacheren ansatz? ansonsten kannst du dir ja den raussuchen, der dir besser gefällt.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:54 Fr 31.12.2004 | | Autor: | moudi |
> hi
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> ich habe den induktionsansatz nicht wirklich durchgedacht,
> aber ich befürchte, dass das schief gehen wird, ich lasse
> mich aber gerne eines besseren belehren!
>
> dafür hätte ich aber einen alternativen ansatz:
> ich nehem mal an, dass ihr in der vorlesung den satz
> bewiesen habt, dass eine matrix genau dann invertierbar
> ist, wenn die spaltenvektoren linear unabhängig sind. also
> kann man sich vorstellen, dass man die matrix aufbaut und
> dabei zuerst einen vektor für die erste spalte wählt, der
> für sich alleine linear unabhängig ist, dafür gibt es [m]p^2 - 1[/m]
> möglichkeiten (für jeden der beiden einträge stehen [mm]p[/mm] werte
> zur verfügung, der nullvektor ist aber für sich alleien
> nicht linear unabhängig). jetzt muss man sich nur noch
> überlegen, wieviel möglichkeiten für den zweiten vektor
> noch in frage kommen, die zum ersten linear unabhängig sind
> und das werden dann vermutlich [m]p ^2 - p[/m] sein. warum?
Der Vekorraum besteht aus [mm]p^2[/mm] Vektoren, Der zweite Spaltenvektor ist linear unabhängig zum ersten Spaltenvektor, wenn er nicht im linearen Unterraum liegt, der vom ersten Spaltenvektor erzeugt wird. Ein Eindimensionaler Unterraum enthält p Elemente also bleiben für die zweite Spalte [mm]p^2-p[/mm] Möglichkeiten.
mfg Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:45 So 02.01.2005 | | Autor: | andreas |
mir war das schon klar - ich wollte nur Mareitta was zum nachdenken lassen.
grüße
andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:02 So 02.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich denke das ist erstmal mit den gegebenen antworten erledigt. ansonsten kannst du ja nochmal nachfragen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 So 02.01.2005 | | Autor: | Marietta |
Hallo!
Vielen Dank für die Hilfe. Damit konnte ich die Aufgabe lösen. Ist echt super logisch, wenn man sich das mal mit einem Beispiel klar macht, aber erst mal auf den Ansatz zu kommen...
Tschau Marietta
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