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| Aufgabe | Sei A: [mm] \mathbb{R} \to M(n,\mathbb{R}) [/mm] stetig und sei Z: [mm] \mathbb{R} \to M(n,\mathbb{R}) [/mm] Lösung des Anfangswertproblems Z'=A(x)Z, [mm] Z(0)=Z_0.
[/mm]
Zeigen Sie, dass für jedes [mm] x\in\mathbb{R} [/mm] gilt: Z(x) ist genau dann eine Invertierbare Matrix, wenn [mm] Z_0 [/mm] invertierbar ist. |
Hallo,
ich habe leider absolut keine Ahnung, wie ich bei diese Aufgabe vorgehen muss. Kann mir das vielleicht jemand erklären bzw. den Ansatz dazu liefern?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Fr 14.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:25 Sa 15.06.2013 | | Autor: | fred97 |
Du mußt nur zeigen: aus der Invertierbarkeit von [mm] Z_0 [/mm] folgt: Z(x) ist invertierbar für jedes x.
Sei also [mm] Z_0 [/mm] invertierbar und [mm] x_0 \in \IR.
[/mm]
Die Spalten von Z(x) bez. ich mit [mm] s_1(x), [/mm] ... , [mm] s_n(x)
[/mm]
Beachte, das jedes [mm] s_j [/mm] eine Lösung des linearen Systems
y'(x)=A(x)y(x)
ist.
Wir müssen zeigen: [mm] s_1(x_0), [/mm] ... , [mm] s_n(x_0) [/mm] sind l.u.
Dazu seien [mm] t_1,...,t_n \in \IR [/mm] und
[mm] t_1s_1(x_0)+...+t_ns_n(x_0)=0
[/mm]
Dann ist [mm] t_1s_1+...+t_ns_n [/mm] eine Lösung des AWPs
(*) y'(x)=A(x)y(x) , [mm] y(x_0)=0.
[/mm]
Eine weitere Lösung von (*) ist y [mm] \equiv [/mm] 0.
Da (*) eindeutig Lösbar ist, folgt:
[mm] t_1s_1(x)+...+t_ns_n(x)=0 [/mm] für alle x.
Somit auch
(**) [mm] t_1s_1(0)+...+t_ns_n(0)=0 [/mm]
Die linke Seite von (**) ist aber eine Linearkombination der Spalten von [mm] Z_0.
[/mm]
Also: [mm] t_1=...=t_n=0.
[/mm]
FRED
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