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invertierbare Matrix und JNF: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Sa 02.07.2011
Autor: paula_88

Aufgabe
Zu finden ist eine invertierbare Matrix U mit [mm] B=U^{-1}\cdot A\cdot [/mm] U.

[mm] A=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 1 } [/mm] und B ist die dazugehörige JNF.

Hallo an alle,
B, also die JNF zu A habe ich bereits berechnet:
[mm] B=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }. [/mm]

Ich weiß nur leider gar nicht, wie ich U bestimmen kann.
Ich habe mir auch angeguckt, wie U im "Kochrezept" ermittelt wurde, hat das was mit den Basen der Haupträumen zutun?
Leider kenne ich mich noch zu wenig mit den Haupträumen aus, welche Räume sind denn genau die Haupträume?
Und wie gehe ich an die Aufgabe ran U zu ermitteln, was ist zu tun?
Könnte mir jemand kurz die Schritte nennen?

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe, viele Grüße, Paula.

        
Bezug
invertierbare Matrix und JNF: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 Sa 02.07.2011
Autor: angela.h.b.


> Zu finden ist eine invertierbare Matrix U mit [mm]B=U^{-1}\cdot A\cdot[/mm]
> U.
>  
> [mm]A=\pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 1 }[/mm] und B
> ist die dazugehörige JNF.
>  Hallo an alle,
>  B, also die JNF zu A habe ich bereits berechnet:
>  [mm]B=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }.[/mm]

Hallo,

man könnte die Aufgabe auch so formulieren: "Finde eine Jordanmatrix."

>  
> Ich weiß nur leider gar nicht, wie ich U bestimmen kann.
>  Ich habe mir auch angeguckt, wie U im "Kochrezept"
> ermittelt wurde, hat das was mit den Basen der Haupträumen
> zutun?

Ja.

>  Leider kenne ich mich noch zu wenig mit den Haupträumen
> aus, welche Räume sind denn genau die Haupträume?
>  Und wie gehe ich an die Aufgabe ran U zu ermitteln, was
> ist zu tun?
>  Könnte mir jemand kurz die Schritte nennen?

Studierst Du Mathematik?
Wenn ja, mußt Du Deine Arbeitsweise unbedingt umstellen und selbständiger und aktiver werden.
Ich weiß selbst, daß man in der Vorlesung nicht alles mitkriegt, weil es zu schnell geht, aber spätestens daheim beim Lösen der Aufgaben muß man die Dinge durcharbeiten und sich die Definitionen und zentralen Sätze einverleiben.

Du fragst:

> welche Räume sind denn genau die Haupträume?

Die Frage ist völlig berechtigt, und eine angemessene Reaktion wäre das Nachschlagen. Ich weiß auch, daß man das, was man liest, oftmals nicht sofort versteht. Aufschreiben und Stück für Stück studieren wäre hier dann angesagt.
Ich schreibe das nicht, um Dich zu ärgern. Ich sag' Dir auch, was ein Hauptraum ist, aber Du solltest Dir angewöhnen, sowas selsbt herauszufinden.
Sei [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert mit der algebraischen Vielfachheit r.
Dann ist [mm] H(\lambda):=Kern(A-\lambda)^r [/mm] der Hauptraum von A zum Eigenwert [mm] \lambda. [/mm]

Nun zur Ermittlung der Jordanbasis:
"angucken" ist zu wenig. Man muß sowas mit Stift und Papier studieren, vorgerechnete Beispiele nachvollziehen.
Das Kochrezept ist so schön, weil genau dasteht, was zu tun ist.

Lies bei "JNF für Genießer".
Tu das, was dort steht, und schau, wie weit Du kommst.
Stelle an Stellen, an denen Du scheiterst, konkrete Fragen.


Alternative Vorgehensweise:
wenn Du Dich ein wenig mit Darstellungsmatrizen auskennst, siehst Du, daß der erste Basisvektor [mm] v_1 [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 1 ist und der dritte Basisvektor [mm] v_3 [/mm] ein Eigenvektor zum Eigenwert 3.
Bleibt der zweite, [mm] v_2. [/mm]
Hier kannst Du an der JNF erkennen, daß [mm] Av_2=v_1+v_2, [/mm] dh. um [mm] v_2 [/mm] zu ermitteln, ist [mm] (A-E)v_2=v_1 [/mm] zu lösen.

Gruß v. Angela





Bezug
                
Bezug
invertierbare Matrix und JNF: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:29 So 03.07.2011
Autor: paula_88

So, ich habe mir das Kochrezept nochmal genauer angeschaut und Folgendes verstanden:

Zuerst muss die Basis des Hauptraumes des jeweiligen EW berechnet werden.

EW 1:

[mm] ker(A-E_{n})^{2}=ker\pmat{ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 }\sim ker\pmat{ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
das LGS sieht dann so aus:
[mm] 2x_{1}+2x_{2}=0 [/mm] sei [mm] x_{1}=1 [/mm] und [mm] x_{3}=0, [/mm] dann folgt der Vektor [mm] v_{1}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm]

[mm] v_{1} [/mm] darf jedoch nicht im Kern des Raumes [mm] ker(A-E_{n})^{2-1} [/mm] liegen, somit berechne ich dessen Kern:
[mm] ker(A-E_{n})=ker\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 0 }\sim ker\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
LGS:
[mm] x_{1}+x_{2}=0 [/mm]

Problem: Jetzt liegt der Vektor [mm] v_{1} [/mm] ja im Kern des Raumes [mm] (A-E_{n})^{2-1}, [/mm] wie soll es aber anders gehen, wie beide Räume das gleiche LGS haben?
Deshalb habe ich jetzt rotzdem mal mit dem Vektor weiter gerechnet.

Nun wird der Vektor mit allen Räumen mit kleinerer Potenz als der des Hauptraumes multipliziert:
[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 0 }\cdot\vektor{1 \\ -1 \\ 0}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm]
Somit ist [mm] v_{2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}. [/mm]

EW 3:

Man berechnet wieder die Basis des Hauptraumes:
[mm] ker(A-3E_{n})=\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & -2 }\sim ker\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
LGS:
[mm] -x_{1}+x_{2}=0 [/mm]
[mm] 2x_{2}-2x_{3}=0 [/mm]
sei [mm] x_{1}=1, [/mm] so folgt [mm] v_{3}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

Somit ist meine Matrix [mm] U=\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }. [/mm]

Ist die Vorgehensweise denn an sich richtig?

Wieso darf [mm] v_{1} [/mm] nicht im Kern des Raumes [mm] ker(A-E_{n})^{2-1} [/mm] liegen?

Vielen Dank für die ganze Hilfe, viele Grüße, Paula




Bezug
                        
Bezug
invertierbare Matrix und JNF: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 So 03.07.2011
Autor: MathePower

Hallo paula_88,

> So, ich habe mir das Kochrezept nochmal genauer angeschaut
> und Folgendes verstanden:
>  
> Zuerst muss die Basis des Hauptraumes des jeweiligen EW
> berechnet werden.
>  
> EW 1:
>  
> [mm]ker(A-E_{n})^{2}=ker\pmat{ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 }\sim ker\pmat{ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> das LGS sieht dann so aus:
>  [mm]2x_{1}+2x_{2}=0[/mm] sei [mm]x_{1}=1[/mm] und [mm]x_{3}=0,[/mm] dann folgt der
> Vektor [mm]v_{1}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]
>  
> [mm]v_{1}[/mm] darf jedoch nicht im Kern des Raumes
> [mm]ker(A-E_{n})^{2-1}[/mm] liegen, somit berechne ich dessen Kern:
>  [mm]ker(A-E_{n})=ker\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 0 }\sim ker\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> LGS:
>  [mm]x_{1}+x_{2}=0[/mm]
>  
> Problem: Jetzt liegt der Vektor [mm]v_{1}[/mm] ja im Kern des Raumes
> [mm](A-E_{n})^{2-1},[/mm] wie soll es aber anders gehen, wie beide
> Räume das gleiche LGS haben?


Der Vektor [mm]v_{1}[/mm] liegt nicht im Kern des Raumes [mm](A-E_{n})^{2-1},[/mm]


>  Deshalb habe ich jetzt rotzdem mal mit dem Vektor weiter
> gerechnet.
>  
> Nun wird der Vektor mit allen Räumen mit kleinerer Potenz
> als der des Hauptraumes multipliziert:
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 0 }\cdot\vektor{1 \\ -1 \\ 0}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>  
> Somit ist [mm]v_{2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.[/mm]
>  
> EW 3:
>  
> Man berechnet wieder die Basis des Hauptraumes:
>  [mm]ker(A-3E_{n})=\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & -2 }\sim ker\pmat{ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> LGS:
>  [mm]-x_{1}+x_{2}=0[/mm]
>  [mm]2x_{2}-2x_{3}=0[/mm]
>  sei [mm]x_{1}=1,[/mm] so folgt [mm]v_{3}=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>  
> Somit ist meine Matrix [mm]U=\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }.[/mm]


[ok]


>  
> Ist die Vorgehensweise denn an sich richtig?


Ja.


>  
> Wieso darf [mm]v_{1}[/mm] nicht im Kern des Raumes
> [mm]ker(A-E_{n})^{2-1}[/mm] liegen?
>
> Vielen Dank für die ganze Hilfe, viele Grüße, Paula
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
                                
Bezug
invertierbare Matrix und JNF: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:39 So 03.07.2011
Autor: paula_88

Perfekt, dann bin ich ja weiter, als ich gedacht habe :-)

Nur noch eine Frage:

> EW 1:
>  
> $ [mm] ker(A-E_{n})^{2}=ker\pmat{ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 }\sim ker\pmat{ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $
>  
> das LGS sieht dann so aus:
>  $ [mm] 2x_{1}+2x_{2}=0 [/mm] $ sei $ [mm] x_{1}=1 [/mm] $ und $ [mm] x_{3}=0, [/mm] $ dann folgt der
> Vektor $ [mm] v_{1}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0} [/mm] $
>  
> $ [mm] v_{1} [/mm] $ darf jedoch nicht im Kern des Raumes
> $ [mm] ker(A-E_{n})^{2-1} [/mm] $ liegen, somit berechne ich dessen Kern:
>  $ [mm] ker(A-E_{n})=ker\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 0 }\sim ker\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] $
>  
> LGS:
>  $ [mm] x_{1}+x_{2}=0 [/mm] $
>  
> Problem: Jetzt liegt der Vektor $ [mm] v_{1} [/mm] $ ja im Kern des Raumes
> $ [mm] (A-E_{n})^{2-1}, [/mm] $ wie soll es aber anders gehen, wie beide
> Räume das gleiche LGS haben?


>Der Vektor $ [mm] v_{1} [/mm] $ liegt nicht im Kern des Raumes $ [mm] (A-E_{n})^{2-1}, [/mm] $

Wieso liegt der Vektor nicht im Kern des Raumes $ [mm] (A-E_{n})^{2-1}? [/mm]
Das LGS ist ja [mm] x_{1}+x_{2}=0, [/mm] wenn ich dort mein Vektor [mm] v_{1} [/mm] eintrage, kommt doch 0 raus, somit dachte ich, dass der Vektor im Kern dieses Raumes liegt.
Wie bekomme ich das denn sonst raus?



Bezug
                                        
Bezug
invertierbare Matrix und JNF: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:49 So 03.07.2011
Autor: MathePower

Hallo paula_88,


> Perfekt, dann bin ich ja weiter, als ich gedacht habe :-)
>  
> Nur noch eine Frage:
>  
> > EW 1:
>  >  
> > [mm]ker(A-E_{n})^{2}=ker\pmat{ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 0 }\sim ker\pmat{ 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> >  

> > das LGS sieht dann so aus:
>  >  [mm]2x_{1}+2x_{2}=0[/mm] sei [mm]x_{1}=1[/mm] und [mm]x_{3}=0,[/mm] dann folgt
> der
>  > Vektor [mm]v_{1}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]

>  >  
> > [mm]v_{1}[/mm] darf jedoch nicht im Kern des Raumes
>  > [mm]ker(A-E_{n})^{2-1}[/mm] liegen, somit berechne ich dessen

> Kern:
>  >  [mm]ker(A-E_{n})=ker\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1,5 & 0,5 & 0 }\sim ker\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> >  

> > LGS:
>  >  [mm]x_{1}+x_{2}=0[/mm]
>  >  
> > Problem: Jetzt liegt der Vektor [mm]v_{1}[/mm] ja im Kern des
> Raumes
>  > [mm](A-E_{n})^{2-1},[/mm] wie soll es aber anders gehen, wie

> beide
>  > Räume das gleiche LGS haben?

>  
>
> >Der Vektor [mm]v_{1}[/mm] liegt nicht im Kern des Raumes
> [mm](A-E_{n})^{2-1},[/mm]
>  
> Wieso liegt der Vektor nicht im Kern des Raumes $
> [mm](A-E_{n})^{2-1}?[/mm]
>  Das LGS ist ja [mm]x_{1}+x_{2}=0,[/mm] wenn ich dort mein Vektor
> [mm]v_{1}[/mm] eintrage, kommt doch 0 raus, somit dachte ich, dass
> der Vektor im Kern dieses Raumes liegt.
>  Wie bekomme ich das denn sonst raus?


Betrachte die letzte Zeile von [mm](A-E_{n})^{2-1}[/mm] .
Diese wird durch den Vektor

[mm]v_{1}=\vektor{1 \\ -1 \\ 0}[/mm]

auf [mm]1 \not=0[/mm] abgebildet.

Damit ist dieser Vektor [mm]v_{1} \notin \operatorname{ker}\left((A-E_{n})^{2-1}\right)[/mm]


Gruss
MathePower    

Bezug
                                        
Bezug
invertierbare Matrix und JNF: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:58 So 03.07.2011
Autor: angela.h.b.


> Perfekt, dann bin ich ja weiter, als ich gedacht habe :-)

Hallo,

ja, und das alles nur, weil Du Dich einfach mal getraut hast, anzufangen - nicht etwa, weil Dir großartig etwas erklärt wurde.
Das ist doch prima, oder?!

Gruß v. Angela


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