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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - invertierbare Matrizen
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invertierbare Matrizen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:58 Fr 16.03.2012
Autor: saendra

Hallo! Wenn die aufgabenstellung lautet: Stelle A als produkt von elementarmatrizen dar, z.b. [mm] A=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 4 }, [/mm] dann mach ich doch erst dies:

[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} }\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 4 }=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 } [/mm]

[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ -2 & 1 }\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm]

Aber wie komme ich dann weiter...? Ich muss die Elementarmatrizen invertieren, oder? Jede einzelne?

Und dann? [weisswerd]

kann es sein, dass elementarmatrizen dieses typs:        [mm] \begin{pmatrix} 1 & & & &\\ &0 &\cdots &1 &\\ &\vdots &1 &\vdots &\\ &1 &\cdots &0 &\\ & & & &1\\ \end{pmatrix} [/mm]

immer gleich ihrer inversen sind? Also [mm] \begin{pmatrix} 1 & & & &\\ &0 &\cdots &1 &\\ &\vdots &1 &\vdots &\\ &1 &\cdots &0 &\\ & & & &1\\ \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & & & &\\ &0 &\cdots &1 &\\ &\vdots &1 &\vdots &\\ &1 &\cdots &0 &\\ & & & &1\\ \end{pmatrix} [/mm]


und dass für diesen typ immer das gilt:     [mm] \begin{pmatrix} 1& & & & \\ &1 & & \lambda \\ & &\ddots & & \\ & & & 1& \\ & & & &1 \\ \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1& & & & \\ &1 & & -\lambda \\ & &\ddots & & \\ & & & 1& \\ & & & &1 \\ \end{pmatrix} [/mm]

Also [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} }^{-1}=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 4 } [/mm] und [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ -2 & 1 }^{-1}=\pmat{ 1 & 0 \\ 2 & 1 } [/mm]

        
Bezug
invertierbare Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:14 Sa 17.03.2012
Autor: barsch

Hallo,


> Hallo! Wenn die aufgabenstellung lautet: Stelle A als
> produkt von elementarmatrizen dar, z.b. [mm]A=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 4 },[/mm]
> dann mach ich doch erst dies:
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} }\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 4 }=\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }[/mm]
>  
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ -2 & 1 }\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 1 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]

Dann steht da doch: [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ -2 & 1 }\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} }\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 4 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]

Das musst du umstellen, sodass [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 0 & 4 }=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }*\pmat{ ? & ? \\ ? & ? }*\pmat{ ? & ? \\ ? & ? }[/mm].



> Aber wie komme ich dann weiter...? Ich muss die
> Elementarmatrizen invertieren, oder? Jede einzelne?

Ja, das ist aber kein Problem. Wie du bereits richtig erkannt hast, lassen sich Elementarmatrizen leicht invertieren.

> Und dann? [weisswerd]
>  
> kann es sein, dass elementarmatrizen dieses typs:        
> [mm]\begin{pmatrix} 1 & & & &\\ &0 &\cdots &1 &\\ &\vdots &1 &\vdots &\\ &1 &\cdots &0 &\\ & & & &1\\ \end{pmatrix}[/mm]
>  
>  
> immer gleich ihrer inversen sind? Also [mm]\begin{pmatrix} 1 & & & &\\ &0 &\cdots &1 &\\ &\vdots &1 &\vdots &\\ &1 &\cdots &0 &\\ & & & &1\\ \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & & & &\\ &0 &\cdots &1 &\\ &\vdots &1 &\vdots &\\ &1 &\cdots &0 &\\ & & & &1\\ \end{pmatrix}[/mm]

ja

>
> und dass für diesen typ immer das gilt:    
> [mm]\begin{pmatrix} 1& & & & \\ &1 & & \lambda \\ & &\ddots & & \\ & & & 1& \\ & & & &1 \\ \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1& & & & \\ &1 & & -\lambda \\ & &\ddots & & \\ & & & 1& \\ & & & &1 \\ \end{pmatrix}[/mm]

ja



> Also [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & \frac{1}{4} }^{-1}=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 4 }[/mm]  

ja, das ist der Typ:


[mm]\begin{pmatrix} 1& & & & \\ &\lambda & & \\ & &\ddots & & \\ & & & 1& \\ & & & &1 \\ \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} 1& & & & \\ &\bruch{1}{\lambda} & & \\ & &\ddots & & \\ & & & 1& \\ & & & &1 \\ \end{pmatrix}[/mm]

Es gibt diese 3 Typen von Elementarmatrizen.


> und [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ -2 & 1 }^{-1}=\pmat{ 1 & 0 \\ 2 & 1 }[/mm]  

Ja.

Gruß
barsch


Bezug
                
Bezug
invertierbare Matrizen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:31 Do 22.03.2012
Autor: saendra

danke :-)

Bezug
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