irreduzibel über Z [x,y] < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:43 Mi 08.08.2007 | | Autor: | peder |
| Aufgabe | Zeige das folgendes Polynom in [mm] \IZ[x,y] [/mm] irreduzibel ist:
[mm] x^9 [/mm] + [mm] xy^7 [/mm] + y |
hallo zusammen!
o.k. ich weiß wie ich zeigen würde, dass das Polynom irred. über [mm] \IQ[x,y] [/mm] ist.
nämlich:
betrachte polynom in [mm] (\IQ[y])[x]. [/mm] Der Ring [mm] \IQ[y] [/mm] ist euklidisch also auch faktoriell. y ist Primelement. Folglich kann ich Eisenstein mit p = y anwenden und bekomme, dass das Polynom irreduzibel über [mm] (\IQ[y])[x] [/mm] und folglich irred. über [mm] \IQ[x,y] [/mm] ist.
Kann ich jetzt mit Gauß weiterfolgern, dass Polynom auch irred über [mm] \IZ[x,y] [/mm] ist? Und wenn ja wie schreibt man das ganze korrekt auf? Muss man noch irgendetwas beachten?
lg,
Michi
p.s.: ich habe diese Frage in noch keinem anderen Forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:11 Mi 08.08.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo Michi
> Zeige das folgendes Polynom in [mm]\IZ[x,y][/mm] irreduzibel ist:
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> [mm]x^9[/mm] + [mm]xy^7[/mm] + y
> hallo zusammen!
>
> o.k. ich weiß wie ich zeigen würde, dass das Polynom irred.
> über [mm]\IQ[x,y][/mm] ist.
> nämlich:
> betrachte polynom in [mm](\IQ[y])[x].[/mm] Der Ring [mm]\IQ[y][/mm] ist
> euklidisch also auch faktoriell. y ist Primelement.
> Folglich kann ich Eisenstein mit p = y anwenden und
> bekomme, dass das Polynom irreduzibel über [mm](\IQ[y])[x][/mm] und
> folglich irred. über [mm]\IQ[x,y][/mm] ist.
>
> Kann ich jetzt mit Gauß weiterfolgern, dass Polynom auch
> irred über [mm]\IZ[x,y][/mm] ist?
Im Prinzip folgt das dadraus, weil das Polynom gesehen als Polynom in der Unbestimmten $x$ ueber dem Ring [mm] $\IZ[y]$ [/mm] primitiv ist.
Aber du kannst ja auch gleich anders argumentieren: [mm] $\IZ$ [/mm] ist faktoriell, also auch [mm] $\IZ[y]$, [/mm] und $y$ ist dort ein Primelement. Also kannst du das Eisenstein-Kriterium gleich auf das Polynom in [mm] $\IZ[x, [/mm] y] = [mm] (\IZ[y])[x]$ [/mm] anwenden, ohne erst zu [mm] $(\IQ[y])[x]$ [/mm] ueberzugehn.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:05 Mi 08.08.2007 | | Autor: | peder |
Hallo Felix
..hm, man kann sichs ja auch unnötig schwer machen  .
Werde mich also für deine Variante entscheiden!
Vielen Dank für die schnelle Antwort,
Michi
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