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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - irreduzibel und Minimalpolynom
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irreduzibel und Minimalpolynom: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:39 Mo 16.01.2017
Autor: nightsusi

Aufgabe
Sei [mm] p(X)=X^3-x+1\in\IQ[X] [/mm] und a eine Nullstelle von p(X).
a) Zeigen Sie: p(X) ist irreduzibel in [mm] \IQ[X] [/mm]
b) Bestimmen Sie das Inverse von [mm] 1-2a+3a^2 \in \IQ(a) [/mm]
c) Bestimmen Sie das Minimalpolynom über [mm] \IQ [/mm] von [mm] b=1+a-2a^2 [/mm]

Guten Morgen, mir fehlt irgendwie die richtige Idee zu Lösung dieser Aufgabe. Ich habe mir folgendes überlegt.


a) das Lemma von Gauß sagt doch: p(X) irreduzibel über [mm] \IQ[X] \gdw [/mm] p(X) irreduzibel über [mm] \IZ[X]. [/mm] Somit genügt es zu zeigen, dass p(X) irreduzibel über [mm] \IZ[X] [/mm] ist. Da wir ein Polynom vom Grad 3 haben wissen wir, dass es irreduzibel ist wenn es keine Nullstelle in [mm] \IZ [/mm] hat.
Da p(X)>0 für alle [mm] x\ge-1 [/mm] und p(X)<0 für alle [mm] x\le-2 [/mm] kann p(X) keine Nullstelle in [mm] \IZ [/mm] haben, ist somit irreduzibel über [mm] \IZ[X] [/mm] und folglich auch irreduzibel über [mm] \IQ[X]. [/mm]

b) hier fehlt mir leider der Ansatz, ich weiß zwar, dass a eine Nullstelle von p(X) ist aber wie kann ich das für die Bestimmung der Inversen ausnutzen? Bin da für jede Hilfe dankbar.

c) ich weiß, dass das Minimalpolynom das Polynom ist, welches das kleinste Polynom ist was die gleiche Nullstelle hat wie mein Ausgangspolynom. Aber auch hier hänge ich fest, wie ich [mm] X^3-X+1 \in \IQ[X] [/mm] sinnvoll ausnutzen kann.

Vorab schon mal vielen Dank für Eure Hilfe und einen schönen Wochenstart.
LG Susi

        
Bezug
irreduzibel und Minimalpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:14 Mo 16.01.2017
Autor: hippias


> Sei [mm]p(X)=X^3-x+1\in\IQ[X][/mm] und a eine Nullstelle von p(X).
>  a) Zeigen Sie: p(X) ist irreduzibel in [mm]\IQ[X][/mm]
>  b) Bestimmen Sie das Inverse von [mm]1-2a+3a^2 \in \IQ(a)[/mm]
>  c)
> Bestimmen Sie das Minimalpolynom über [mm]\IQ[/mm] von [mm]b=1+a-2a^2[/mm]
>  Guten Morgen, mir fehlt irgendwie die richtige Idee zu
> Lösung dieser Aufgabe. Ich habe mir folgendes überlegt.
>  
>
> a) das Lemma von Gauß sagt doch: p(X) irreduzibel über
> [mm]\IQ[X] \gdw[/mm] p(X) irreduzibel über [mm]\IZ[X].[/mm] Somit genügt es
> zu zeigen, dass p(X) irreduzibel über [mm]\IZ[X][/mm] ist. Da wir
> ein Polynom vom Grad 3 haben wissen wir, dass es
> irreduzibel ist wenn es keine Nullstelle in [mm]\IZ[/mm] hat.

Dieses Argument ist richtig für Körper. Da [mm] $\IZ$ [/mm] nur Ring ist, musst Du etwas geschickter argumentieren. Zum Nachdenken: $2X-3$ hat keine Nullstelle in [mm] $\IZ$, [/mm] ist aber linear.

> Da p(X)>0 für alle [mm]x\ge-1[/mm] und p(X)<0 für alle [mm]x\le-2[/mm] kann
> p(X) keine Nullstelle in [mm]\IZ[/mm] haben, ist somit irreduzibel
> über [mm]\IZ[X][/mm] und folglich auch irreduzibel über [mm]\IQ[X].[/mm]
>  

Das ist in Ordnung, nachdem Du die obige Beweislücke geschlossen hast.

> b) hier fehlt mir leider der Ansatz, ich weiß zwar, dass a
> eine Nullstelle von p(X) ist aber wie kann ich das für die
> Bestimmung der Inversen ausnutzen? Bin da für jede Hilfe
> dankbar.
>  

Die Elemente von $IQ(a)$ sind von der Form $f(a)$ mit [mm] $f\in \IQ[X]$. [/mm] $f(a)$ ist invertierbar, wenn es ein Polynom [mm] $g\in \IQ[X]$ [/mm] gibt, sodass $f(a)g(a)= 1$. Daher [mm] $p\vert [/mm] (fg-1)$. Damit sind $f$ und $p$ teilerfremd und $g$ kann mit dem euklidischen Algorhithmus berechnet werden.


> c) ich weiß, dass das Minimalpolynom das Polynom ist,
> welches das kleinste Polynom ist was die gleiche Nullstelle
> hat wie mein Ausgangspolynom. Aber auch hier hänge ich
> fest, wie ich [mm]X^3-X+1 \in \IQ[X][/mm] sinnvoll ausnutzen kann.
>

Wenn c) nichts mit b) zu tun hat: Welchen Grad hat die Körpererweiterung? Welchen Grad muss [mm] $\IQ(b)$ [/mm] haben? Bilde die notwendigen Potenzen von $b$ und bilde mit diesen eine nicht triviale Linearkombination, die $0$ ergibt.

> Vorab schon mal vielen Dank für Eure Hilfe und einen
> schönen Wochenstart.
>  LG Susi


Bezug
                
Bezug
irreduzibel und Minimalpolynom: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:04 Mi 18.01.2017
Autor: nightsusi

Guten Morgen, erst schon mal vielen lieben Dank für die Rückmeldung die hat mir sehr geholfen. Kann ich dann für die Inverse von [mm] 1-2a+3a^2 [/mm] nicht einfach die Gleichung [mm] y=1-2a+3a^2 [/mm] nach a auflösen und erhalte dann
[mm] a=\bruch{1}{3}\pm\sqrt{\bruch{1}{3}y-\bruch{2}{9}} [/mm]

Und somit die Inverse zu [mm] f(a)=1-2a+3a^2 [/mm] schreiben als [mm] g(a)=\bruch{1}{3}\pm\sqrt{\bruch{1}{3}a-\bruch{2}{9}} [/mm]

LG Susi

Bezug
                        
Bezug
irreduzibel und Minimalpolynom: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:05 Mi 18.01.2017
Autor: hippias

Nein, das hat nichts mit dem gesuchten multiplikativen Inversen im Körper [mm] $\IQ(a)$ [/mm] zu tun. Das, was Du berechnet hast, könnte man als Umkehrfunktion bezeichnen.

Bezug
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