irreduzible polynome < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zerlege [mm] x^5+x^4+x^2+x+2 [/mm] aus Z[X] in ein produkt von irreduziblen polynomen |
Wie kann ich das machen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Zerlege [mm]x^5+x^4+x^2+x+2[/mm] aus Z[X] in ein produkt von
> irreduziblen polynomen
> Wie kann ich das machen
Guten Tag,
da die Nullstellen immer in konjugiert komplexen Paaren auftreten, muß es mindestens eine reelle Nullstelle n geben, welche Du aus
$ [mm] x^5+x^4+x^2+x+2 $=(x-n)(x^4+ax^3+bx^2+cx+d) [/mm] ermitteln können müßtest.
Damit hättest Du das Poblem schonmal vereinfacht, danach könntest Du über das Polynom 4.Grades nachdenken.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:17 Fr 26.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
es ist zwar richtig, dass es eine reelle Nullstelle des Polynoms geben muß. Genauer gibt es eine und sie ca. 1,5... Ich sehe aber nicht, wie das weiterhelfen soll, wenn sie nicht zufällig rational ist. Das Polynom müßte einen Linearfaktor der Form (aX+b) abspalten. Das kann es aber nicht , denn es ist normiert und der konstante Term ist 2. Daher müsste [mm] a=\pm [/mm] 1 und [mm] b=\pm 2,\pm [/mm] 1 sein, aber [mm] \pm [/mm] 2 und [mm] \pm [/mm] 1 sind keine Nullstellen. Damit weiß man, dass $ [mm] x^5+x^4+x^2+x+2 [/mm] $ KEINEN Linearfaktor abspaltet. Es ist also entweder irreduzibel oder zerfällt in einen Faktor vom Grad 3 und einen vom Grad 2.
Oft ist es nützlich das Ding mal modulo 2 zu nehmen. Dann zerfällt es als
$$
[mm] x^5+x^4+x^2+x+2=X(X+1)^2(X^2+X+1)\in\IF_2[X].
[/mm]
$$
Das hilft leider auch nicht sofort, aber man kann vielleicht etwas systematischer Raten.
Volker
|
|
|
|
