irreduzibles, nicht primes El. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Sa 16.03.2013 | | Autor: | Marcel |
| Aufgabe |
Aufgabe 2.13 Das Element [mm] $2+\sqrt{-5}=2+i\sqrt{5} \in \IZ[\sqrt{-5}\,]$ [/mm] ist zwar irreduzibel, nicht aber prim!
Beweis.
[mm] $\alpha)$ [/mm] Wegen
[mm] $$(2+i\sqrt{5}) \cdot (2-i\sqrt{5})=2^2+{\sqrt{5}\,}^2=9=3\cdot3$$
[/mm]
erkennen wir, dass
[mm] $$(2+i\sqrt{5})\;|\;9=3\cdot [/mm] 3.$$
Allerdings zeigt
$$
[mm] \frac{3}{2+i\sqrt{5}}=\frac{3\cdot(2-i\sqrt{5})}{2^2+{\sqrt{5}\,}^2}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot [/mm] i [mm] \sqrt{5} \notin \IZ[\sqrt{-5}],
[/mm]
$$
dass
$$
[mm] (2+i\sqrt{5})\;\!\not|\;3.
[/mm]
$$
[mm] $\beta_1)$ [/mm] Spaßeshalber berechnen wir mal die Einheiten:
[mm] \\
[/mm]
[mm] \noindent
[/mm]
Seien $x,y,v,w [mm] \in \IZ$ [/mm] so, dass
[mm] $$\frac{1}{x+i\sqrt{5}y}=v+i\sqrt{5}w\,.$$
[/mm]
Es folgt
$$1 = [mm] xv-5yw+i\sqrt{5}(yv+xw)$$
[/mm]
[mm] $$\iff [/mm] xv-5yw=1 [mm] \wedge [/mm] yv+xw=0.$$
Daraus erhalten wir [mm] $xvw-5yw^2=w$ [/mm] und [mm] $xvw+yv^2=0,$ [/mm] und die Differenz dieser beiden Gleichungen liefert
[mm] $$yv^2+5yw^2=y\cdot(v^2+5w^2)=\,-\,w.$$
[/mm]
Aus $w=0$ folgt $y=0$ oder $v=0.$ Der Fall $v=w=0$ ist aber ausgeschlossen. Also liefert $w=0$ sodann $y=0.$ Im Falle
$w=0$ muss also $y=0$ sein und damit ist nur die Gleichung
[mm] $$\frac{1}{x}=v \iff [/mm] xv=1$$
für $x,v [mm] \in \IZ$ [/mm] zu lösen - was zu $x=v=1$ oder [mm] $x=v=\,-\,1$ [/mm] führt.
[mm] \\
[/mm]
[mm] \noindent
[/mm]
Für $w [mm] \not=0$ [/mm] folgt $y [mm] \in \IZ \setminus \{0\}\,.$ [/mm] Dann ist aber $|y [mm] \cdot (v^2+5w^2)| \ge 5w^2 [/mm] > [mm] |\,-\,w|=|w|.$ [/mm] Da offenbar
[mm] $-1,\;1 \in {\IZ[\sqrt{-5}\,]}^\times$ [/mm] folgt damit insgesamt [mm] ${\IZ[\sqrt{-5}\,]}^\times=\{\,-\,1,\;1\}.$ [/mm]
[mm] $\beta_2)$ [/mm] Seien nun $a,b,c,d [mm] \in \IZ$ [/mm] so, dass
[mm] $$2+i\sqrt{5}=(a+i\sqrt{5}b)\cdot (c+i\sqrt{5}d)$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$2+i\sqrt{5}=(ac-5bd)+i\sqrt{5}\cdot(ad+bc).$$
[/mm]
Wir erhalten die Gleichungen
$$ac-5bd=2 [mm] \wedge [/mm] ad+bc=1.$$
Damit folgt [mm] $acd-5bd^2=2d$ [/mm] und [mm] $acd+bc^2=c,$ [/mm] woraus man
[mm] $$bc^2+5bd^2=c-2d$$
[/mm]
bzw.
[mm] $$b\cdot( c^2+5d^2)=c-2d$$
[/mm]
erhält. Im Falle $b=0$ folgt $c=2d,$ und in diesem Falle haben wir $ad=1,$ so dass wir schonmal festhalten können:
Im Fall $b=0$ gilt entweder
$$b=0, a=d=1, c=2$$
oder
$$b=0, a=d=-1, c=-2.$$
Hier ist also [mm] $a+i\sqrt{5}b \in \{\,-\,1,\;1\} \in {\IZ[\sqrt{-5}\,]}^\times.$ [/mm]
Sei nun $b [mm] \not=0.$ [/mm] Dann gilt
[mm] $$b\cdot( c^2+5d^2)=c-2d \iff c^2+\frac{-1}{b}c+\left(5d^2+\frac{2d}{b}\right)=0.$$
[/mm]
Nach der $pq$-Formel folgt
[mm] $$(\star)\;\;\;\;\;\;c_{1,2}=\frac{1}{2b}\pm \frac{\sqrt{1-20b^2d^2-8bd}}{2|b|}.$$
[/mm]
Untersucht man die Funktion $f [mm] \colon [/mm] x [mm] \mapsto f(x):=1-20x^2-8x$ [/mm] für $x [mm] \in \IR,$ [/mm] so erkennt man, dass diese
Funktion für $x [mm] \in \IZ \setminus \{0\}$ [/mm] echt negative Werte annimmt. (Genauer kann man dies durch Berechnen
der Nullstellen und stückweises Monotonieverhalten begründen!) Wegen $b,d [mm] \in \IZ$ [/mm] folgt $bd [mm] \in \IZ$
[/mm]
und damit interessiert uns auch nur [mm] $f_{|\IZ},$ [/mm] genauer: Wir fragen uns, für welche $z [mm] \in \IZ$ [/mm] nun $f(z) [mm] \ge [/mm] 0$
gilt. Dies ist wegen obiger Feststellung einzig für $z=0$ der Fall. Daher liefert [mm] $(\star)$ [/mm] die Bedingung $bd=0.$
(In allen anderen Fällen ist nämlich der Radikant [mm] $1-20b^2d^2-8bd [/mm] < 0$ - man beachte erneut $bd [mm] \in \IZ.$) [/mm] Da wir
uns aber im Falle [mm] $b\not=0$ [/mm] befinden, liefert $bd=0$ sodann $d=0.$ Aus $d=0$ folgt aber wegen $ac-5bd=2$ dann $ac=2$
und wegen $ad+bc=1$ dann $bc=1.$ Die Gleichung $bc=1$ kann für $b,c [mm] \in \IZ$ [/mm] aber nur für $b=c=1$ oder [mm] $b=c=\,-\,1$
[/mm]
erfüllt sein.
Fazit: Es folgt wegen $d=0$ und $c [mm] \in \{\,-\,1,\;1\}$ [/mm] in diesem Fall
[mm] $$c+i\sqrt{5}d \in \{\,-\,1,\;1\}={\IZ[\sqrt{-5}\,]}^\times.$$
[/mm]
Damit ist die Behauptung bewiesen!
[mm] $\hfill \Box$ [/mm] |
Hallo,
hat jemand Lust, meinen obigen Beweis mal gegenzulesen? Die Aufgabe
stammt aus "Elementare und algebraische Zahlentheorie" von Müller-Stach
und Piontkowski - der Lösungsteil mit "nicht prim" sollte stimmen, da ich das
gemäß des Löungshinweises gelöst habe!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Sa 16.03.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Marcel!
> Aufgabe 2.13 Das Element [mm]2+\sqrt{-5}=2+i\sqrt{5} \in \IZ[\sqrt{-5}\,][/mm]
> ist zwar irreduzibel, nicht aber prim!
>
> Beweis.
>
> [mm]\alpha)[/mm] Wegen
> [mm](2+i\sqrt{5}) \cdot (2-i\sqrt{5})=2^2+{\sqrt{5}\,}^2=9=3\cdot3[/mm]
>
> erkennen wir, dass
> [mm](2+i\sqrt{5})\;|\;9=3\cdot 3.[/mm]
> Allerdings zeigt
> [mm][/mm]
>
> [mm]\frac{3}{2+i\sqrt{5}}=\frac{3\cdot(2-i\sqrt{5})}{2^2+{\sqrt{5}\,}^2}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot[/mm]
> i [mm]\sqrt{5} \notin \IZ[\sqrt{-5}],[/mm]
> [mm][/mm]
> dass
> [mm][/mm]
> [mm](2+i\sqrt{5})\;\!\not|\;3.[/mm]
> [mm][/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]\beta_1)[/mm] Spaßeshalber berechnen wir mal die Einheiten:
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\noindent[/mm]
> Seien [mm]x,y,v,w \in \IZ[/mm] so, dass
> [mm]\frac{1}{x+i\sqrt{5}y}=v+i\sqrt{5}w\,.[/mm]
> Es folgt
> [mm]1 = xv-5yw+i\sqrt{5}(yv+xw)[/mm]
> [mm]\iff xv-5yw=1 \wedge yv+xw=0.[/mm]
>
> Daraus erhalten wir [mm]xvw-5yw^2=w[/mm] und [mm]xvw+yv^2=0,[/mm] und die
> Differenz dieser beiden Gleichungen liefert
> [mm]yv^2+5yw^2=y\cdot(v^2+5w^2)=\,-\,w.[/mm]
> Aus [mm]w=0[/mm] folgt [mm]y=0[/mm] oder [mm]v=0.[/mm] Der Fall [mm]v=w=0[/mm] ist aber
> ausgeschlossen. Also liefert [mm]w=0[/mm] sodann [mm]y=0.[/mm] Im Falle
> [mm]w=0[/mm] muss also [mm]y=0[/mm] sein und damit ist nur die Gleichung
> [mm]\frac{1}{x}=v \iff xv=1[/mm]
> für [mm]x,v \in \IZ[/mm] zu lösen -
> was zu [mm]x=v=1[/mm] oder [mm]x=v=\,-\,1[/mm] führt.
> [mm]\\[/mm]
> [mm]\noindent[/mm]
> Für [mm]w \not=0[/mm] folgt [mm]y \in \IZ \setminus \{0\}\,.[/mm] Dann
> ist aber [mm]|y \cdot (v^2+5w^2)| \ge 5w^2 > |\,-\,w|=|w|.[/mm] Da
> offenbar
> [mm]-1,\;1 \in {\IZ[\sqrt{-5}\,]}^\times[/mm] folgt damit
> insgesamt [mm]{\IZ[\sqrt{-5}\,]}^\times=\{\,-\,1,\;1\}.[/mm]
>
>
>
> [mm]\beta_2)[/mm] Seien nun [mm]a,b,c,d \in \IZ[/mm] so, dass
> [mm]2+i\sqrt{5}=(a+i\sqrt{5}b)\cdot (c+i\sqrt{5}d)[/mm]
> bzw.
> [mm]2+i\sqrt{5}=(ac-5bd)+i\sqrt{5}\cdot(ad+bc).[/mm]
> Wir erhalten die Gleichungen
> [mm]ac-5bd=2 \wedge ad+bc=1.[/mm]
> Damit folgt [mm]acd-5bd^2=2d[/mm] und
> [mm]acd+bc^2=c,[/mm] woraus man
> [mm]bc^2+5bd^2=c-2d[/mm]
> bzw.
> [mm]b\cdot( c^2+5d^2)=c-2d[/mm]
> erhält. Im Falle [mm]b=0[/mm] folgt
> [mm]c=2d,[/mm] und in diesem Falle haben wir [mm]ad=1,[/mm] so dass wir
> schonmal festhalten können:
> Im Fall [mm]b=0[/mm] gilt entweder
> [mm]b=0, a=d=1, c=2[/mm]
> oder
> [mm]b=0, a=d=-1, c=-2.[/mm]
> Hier ist also [mm]a+i\sqrt{5}b \in \{\,-\,1,\;1\} \in {\IZ[\sqrt{-5}\,]}^\times.[/mm]
>
>
> Sei nun [mm]b \not=0.[/mm] Dann gilt
> [mm]b\cdot( c^2+5d^2)=c-2d \iff c^2+\frac{-1}{b}c+\left(5d^2+\frac{2d}{b}\right)=0.[/mm]
>
> Nach der [mm]pq[/mm]-Formel folgt
> [mm](\star)\;\;\;\;\;\;c_{1,2}=\frac{1}{2b}\pm \frac{\sqrt{1-20b^2d^2-8bd}}{2|b|}.[/mm]
>
> Untersucht man die Funktion [mm]f \colon x \mapsto f(x):=1-20x^2-8x[/mm]
> für [mm]x \in \IR,[/mm] so erkennt man, dass diese
> Funktion für [mm]x \in \IZ \setminus \{0\}[/mm] echt negative Werte
> annimmt. (Genauer kann man dies durch Berechnen
> der Nullstellen und stückweises Monotonieverhalten
> begründen!) Wegen [mm]b,d \in \IZ[/mm] folgt [mm]bd \in \IZ[/mm]
> und
> damit interessiert uns auch nur [mm]f_{|\IZ},[/mm] genauer: Wir
> fragen uns, für welche [mm]z \in \IZ[/mm] nun [mm]f(z) \ge 0[/mm]
> gilt.
> Dies ist wegen obiger Feststellung einzig für [mm]z=0[/mm] der
> Fall. Daher liefert [mm](\star)[/mm] die Bedingung [mm]bd=0.[/mm]
> (In allen anderen Fällen ist nämlich der Radikant
> [mm]1-20b^2d^2-8bd < 0[/mm] - man beachte erneut [mm]bd \in \IZ.[/mm]) Da
> wir
> uns aber im Falle [mm]b\not=0[/mm] befinden, liefert [mm]bd=0[/mm] sodann
> [mm]d=0.[/mm] Aus [mm]d=0[/mm] folgt aber wegen [mm]ac-5bd=2[/mm] dann [mm]ac=2[/mm]
> und wegen [mm]ad+bc=1[/mm] dann [mm]bc=1.[/mm] Die Gleichung [mm]bc=1[/mm] kann
> für [mm]b,c \in \IZ[/mm] aber nur für [mm]b=c=1[/mm] oder [mm]b=c=\,-\,1[/mm]
> erfüllt sein.
>
> Fazit: Es folgt wegen [mm]d=0[/mm] und [mm]c \in \{\,-\,1,\;1\}[/mm] in
> diesem Fall
> [mm]c+i\sqrt{5}d \in \{\,-\,1,\;1\}={\IZ[\sqrt{-5}\,]}^\times.[/mm]
>
> Damit ist die Behauptung bewiesen!
> [mm]\hfill \Box[/mm]
Ich hab nicht alle Rechnungen im Detail ueberprueft, allerdings: das kann man viel einfacher machen :)
Schau dir dazu die Normfunktion $N : [mm] \IZ[\sqrt{-5}] \to \N$, [/mm] $x + [mm] \sqrt{-5} [/mm] y [mm] \mapsto [/mm] (x + [mm] \sqrt{-5} [/mm] y) (x - [mm] \sqrt{-5} [/mm] y) = [mm] x^2 [/mm] + 5 [mm] y^2$ [/mm] an. Diese ist multiplikativ, woraus folgt, dass jede Einheit $e [mm] \in \IZ[\sqrt{-5}]$ [/mm] die Bedingung $N(e) = 1$ erfuellt. Damit muss $e = [mm] \pm [/mm] 1$ sein.
Wenn nun $2 + [mm] \sqrt{-5} [/mm] = (a + [mm] \sqrt{-5} [/mm] b) (c + [mm] \sqrt{-5} [/mm] d)$ ist, dann ist $9 = N(c + [mm] \sqrt{-5} [/mm] d) N(a + [mm] \sqrt{-5} [/mm] b)$. Wenn eine der beiden Normen 1 ist, dann ist das entsprechende Element eine Einheit. Ansonsten muessen beide Normen gleich 3 sein. Jedoch kann [mm] $x^2 [/mm] + 5 [mm] y^2$ [/mm] nie gleich 3 sein, warum das nicht eintreten kann.
Damit ist $2 + [mm] \sqrt{-5}$ [/mm] irreduzibel.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:08 So 17.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Felix,
> Moin Marcel!
>
> > Aufgabe 2.13 Das Element [mm]2+\sqrt{-5}=2+i\sqrt{5} \in \IZ[\sqrt{-5}\,][/mm]
>
> > ist zwar irreduzibel, nicht aber prim!
> >
> > Beweis.
> >
> > [mm]\alpha)[/mm] Wegen
> > [mm](2+i\sqrt{5}) \cdot (2-i\sqrt{5})=2^2+{\sqrt{5}\,}^2=9=3\cdot3[/mm]
>
> >
> > erkennen wir, dass
> > [mm](2+i\sqrt{5})\;|\;9=3\cdot 3.[/mm]
> > Allerdings zeigt
> > [mm][/mm]
> >
> >
> [mm]\frac{3}{2+i\sqrt{5}}=\frac{3\cdot(2-i\sqrt{5})}{2^2+{\sqrt{5}\,}^2}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\cdot[/mm]
> > i [mm]\sqrt{5} \notin \IZ[\sqrt{-5}],[/mm]
> > [mm][/mm]
> > dass
> > [mm][/mm]
> > [mm](2+i\sqrt{5})\;\!\not|\;3.[/mm]
> > [mm][/mm]
>
>
>
> > [mm]\beta_1)[/mm] Spaßeshalber berechnen wir mal die Einheiten:
> > [mm]\\[/mm]
> > [mm]\noindent[/mm]
> > Seien [mm]x,y,v,w \in \IZ[/mm] so, dass
> > [mm]\frac{1}{x+i\sqrt{5}y}=v+i\sqrt{5}w\,.[/mm]
> > Es folgt
> > [mm]1 = xv-5yw+i\sqrt{5}(yv+xw)[/mm]
> > [mm]\iff xv-5yw=1 \wedge yv+xw=0.[/mm]
> >
> > Daraus erhalten wir [mm]xvw-5yw^2=w[/mm] und [mm]xvw+yv^2=0,[/mm] und die
> > Differenz dieser beiden Gleichungen liefert
> > [mm]yv^2+5yw^2=y\cdot(v^2+5w^2)=\,-\,w.[/mm]
> > Aus [mm]w=0[/mm] folgt [mm]y=0[/mm] oder [mm]v=0.[/mm] Der Fall [mm]v=w=0[/mm] ist aber
> > ausgeschlossen. Also liefert [mm]w=0[/mm] sodann [mm]y=0.[/mm] Im Falle
> > [mm]w=0[/mm] muss also [mm]y=0[/mm] sein und damit ist nur die
> Gleichung
> > [mm]\frac{1}{x}=v \iff xv=1[/mm]
> > für [mm]x,v \in \IZ[/mm] zu
> lösen -
> > was zu [mm]x=v=1[/mm] oder [mm]x=v=\,-\,1[/mm] führt.
> > [mm]\\[/mm]
> > [mm]\noindent[/mm]
> > Für [mm]w \not=0[/mm] folgt [mm]y \in \IZ \setminus \{0\}\,.[/mm] Dann
> > ist aber [mm]|y \cdot (v^2+5w^2)| \ge 5w^2 > |\,-\,w|=|w|.[/mm] Da
> > offenbar
> > [mm]-1,\;1 \in {\IZ[\sqrt{-5}\,]}^\times[/mm] folgt damit
> > insgesamt [mm]{\IZ[\sqrt{-5}\,]}^\times=\{\,-\,1,\;1\}.[/mm]
> >
> >
> >
> > [mm]\beta_2)[/mm] Seien nun [mm]a,b,c,d \in \IZ[/mm] so, dass
> > [mm]2+i\sqrt{5}=(a+i\sqrt{5}b)\cdot (c+i\sqrt{5}d)[/mm]
> >
> bzw.
> > [mm]2+i\sqrt{5}=(ac-5bd)+i\sqrt{5}\cdot(ad+bc).[/mm]
> > Wir erhalten die Gleichungen
> > [mm]ac-5bd=2 \wedge ad+bc=1.[/mm]
> > Damit folgt
> [mm]acd-5bd^2=2d[/mm] und
> > [mm]acd+bc^2=c,[/mm] woraus man
> > [mm]bc^2+5bd^2=c-2d[/mm]
> > bzw.
> > [mm]b\cdot( c^2+5d^2)=c-2d[/mm]
> > erhält. Im Falle [mm]b=0[/mm]
> folgt
> > [mm]c=2d,[/mm] und in diesem Falle haben wir [mm]ad=1,[/mm] so dass wir
> > schonmal festhalten können:
> > Im Fall [mm]b=0[/mm] gilt entweder
> > [mm]b=0, a=d=1, c=2[/mm]
> > oder
> > [mm]b=0, a=d=-1, c=-2.[/mm]
> > Hier ist also [mm]a+i\sqrt{5}b \in \{\,-\,1,\;1\} \in {\IZ[\sqrt{-5}\,]}^\times.[/mm]
> >
> >
> > Sei nun [mm]b \not=0.[/mm] Dann gilt
> > [mm]b\cdot( c^2+5d^2)=c-2d \iff c^2+\frac{-1}{b}c+\left(5d^2+\frac{2d}{b}\right)=0.[/mm]
>
> >
> > Nach der [mm]pq[/mm]-Formel folgt
> > [mm](\star)\;\;\;\;\;\;c_{1,2}=\frac{1}{2b}\pm \frac{\sqrt{1-20b^2d^2-8bd}}{2|b|}.[/mm]
>
> >
> > Untersucht man die Funktion [mm]f \colon x \mapsto f(x):=1-20x^2-8x[/mm]
> > für [mm]x \in \IR,[/mm] so erkennt man, dass diese
> > Funktion für [mm]x \in \IZ \setminus \{0\}[/mm] echt negative Werte
> > annimmt. (Genauer kann man dies durch Berechnen
> > der Nullstellen und stückweises Monotonieverhalten
> > begründen!) Wegen [mm]b,d \in \IZ[/mm] folgt [mm]bd \in \IZ[/mm]
> > und
> > damit interessiert uns auch nur [mm]f_{|\IZ},[/mm] genauer: Wir
> > fragen uns, für welche [mm]z \in \IZ[/mm] nun [mm]f(z) \ge 0[/mm]
> >
> gilt.
> > Dies ist wegen obiger Feststellung einzig für [mm]z=0[/mm] der
> > Fall. Daher liefert [mm](\star)[/mm] die Bedingung [mm]bd=0.[/mm]
> > (In allen anderen Fällen ist nämlich der Radikant
> > [mm]1-20b^2d^2-8bd < 0[/mm] - man beachte erneut [mm]bd \in \IZ.[/mm]) Da
> > wir
> > uns aber im Falle [mm]b\not=0[/mm] befinden, liefert [mm]bd=0[/mm]
> sodann
> > [mm]d=0.[/mm] Aus [mm]d=0[/mm] folgt aber wegen [mm]ac-5bd=2[/mm] dann [mm]ac=2[/mm]
> > und wegen [mm]ad+bc=1[/mm] dann [mm]bc=1.[/mm] Die Gleichung [mm]bc=1[/mm] kann
> > für [mm]b,c \in \IZ[/mm] aber nur für [mm]b=c=1[/mm] oder [mm]b=c=\,-\,1[/mm]
> > erfüllt sein.
> >
> > Fazit: Es folgt wegen [mm]d=0[/mm] und [mm]c \in \{\,-\,1,\;1\}[/mm] in
> > diesem Fall
> > [mm]c+i\sqrt{5}d \in \{\,-\,1,\;1\}={\IZ[\sqrt{-5}\,]}^\times.[/mm]
>
> >
> > Damit ist die Behauptung bewiesen!
> > [mm]\hfill \Box[/mm]
>
> Ich hab nicht alle Rechnungen im Detail ueberprueft,
> allerdings: das kann man viel einfacher machen :)
>
> Schau dir dazu die Normfunktion [mm]N : \IZ[\sqrt{-5}] \to \IN[/mm],
> [mm]x + \sqrt{-5} y \mapsto (x + \sqrt{-5} y) (x - \sqrt{-5} y) = x^2 + 5 y^2[/mm]
> an.
ist das eigentlich "die" Standardfunktion? Denn bei den "Gaußschen Zahlen"
[mm] $\IZ[i]\,$ [/mm] benutzt man ja auch [mm] $N(z):=|z|^2=z*\overline{z}\,.$ [/mm] Wobei
die Gaußschen Zahlen mit dieser einen euklidischen Ring bilden!
> Diese ist multiplikativ, woraus folgt, dass jede
> Einheit [mm]e \in \IZ[\sqrt{-5}][/mm] die Bedingung [mm]N(e) = 1[/mm]
> erfuellt. Damit muss [mm]e = \pm 1[/mm] sein.
Das passt dann auch zu meinem Ergebnis, auch, wenn ich das umständlich
hergeleitet habe.
> Wenn nun [mm]2 + \sqrt{-5} = (a + \sqrt{-5} b) (c + \sqrt{-5} d)[/mm]
> ist, dann ist [mm]9 = N(c + \sqrt{-5} d) N(a + \sqrt{-5} b)[/mm].
> Wenn eine der beiden Normen 1 ist, dann ist das
> entsprechende Element eine Einheit.
Und damit ist [mm] $2+\sqrrt{-5}$ [/mm] assoziiert zu einem der beiden Faktoren
rechterhand, also irreduzibel.
> Ansonsten muessen beide
> Normen gleich 3 sein. Jedoch kann [mm]x^2 + 5 y^2[/mm] nie gleich 3
> sein, warum das nicht eintreten kann.
Okay, das ist mir klar!
> Damit ist [mm]2 + \sqrt{-5}[/mm] irreduzibel.
Danke. Das ist natürlich ein viel eleganterer Beweis. Ich schreibe mir halt
solche Aufgaben momentan gerne direkt in Latex ab. Ich werde Deine
Lösungsvariante dabei ergänzen, da sie wirklich wesentlich eleganter ist.
(Eleganter = ohne viel Rumrechnerei mit Zusatzüberlegungen wie bei mir.)
Ich denke aber trotzdem, dass mein Beweis oben zwar umständlich, aber
inhaltlich richtig sein sollte. Die Bemerkung zu der einen quadratischen
Funktion habe ich halt nur als Bemerkung reingeschrieben, weil eigentlich
jeder Schüler das einsehen wird, sofern er sich mit Parabeln auskennt.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:25 So 17.03.2013 | | Autor: | felixf |
Moin Marcel,
> > Schau dir dazu die Normfunktion [mm]N : \IZ[\sqrt{-5}] \to \IN[/mm],
> > [mm]x + \sqrt{-5} y \mapsto (x + \sqrt{-5} y) (x - \sqrt{-5} y) = x^2 + 5 y^2[/mm]
> > an.
>
> ist das eigentlich "die" Standardfunktion? Denn bei den
> "Gaußschen Zahlen"
> [mm]\IZ[i]\,[/mm] benutzt man ja auch [mm]N(z):=|z|^2=z*\overline{z}\,.[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]Wobei[/i][/mm]
> [mm][i] die Gaußschen Zahlen mit dieser einen euklidischen Ring [/i][/mm]
> [mm][i]bilden![/i][/mm]
Genau. Diese kannst du bei jedem quadratischen Zahlkoerper verwenden. (Es geht sogar bei allgemeineren Erweiterungen so.)
> [mm][i]> Diese ist multiplikativ, woraus folgt, dass jede [/i][/mm]
> [mm][i]> Einheit [mm]e \in \IZ[\sqrt{-5}][/mm] die Bedingung [mm]N(e) = 1[/mm] [/i][/mm]
> [mm][i]> erfuellt. Damit muss [mm]e = \pm 1[/mm] sein.[/i][/mm]
Das geht uebrigens auch andersherum: wenn $N : [mm] \IZ[\sqrt{d}] \to \IZ$ [/mm] die Normfunktion ist (bei positiven $d$ kann sie auch negative Werte annehmen), dann ist $e [mm] \in \IZ[\sqrt{d}]$ [/mm] genau dann eine Einheit, wenn $N(e) = [mm] \pm [/mm] 1$ ist. Das Inverse wird mehr oder minder direkt durch die Definition geliefert, schliesslich multipliziert $N$ $e$ mit seinem Konjugierten.
> [mm][i]Ich denke aber trotzdem, dass mein Beweis oben zwar [/i][/mm]
> [mm][i]umständlich, aber[/i][/mm]
> [mm][i] inhaltlich richtig sein sollte. Die Bemerkung zu der einen [/i][/mm]
> [mm][i]quadratischen [/i][/mm]
> [mm][i]Funktion habe ich halt nur als Bemerkung reingeschrieben, [/i][/mm]
> [mm][i]weil eigentlich[/i][/mm]
> [mm][i] jeder Schüler das einsehen wird, sofern er sich mit [/i][/mm]
> [mm][i]Parabeln auskennt. [/i][/mm]
Ja, er ist schon in Ordnung so :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:48 So 17.03.2013 | | Autor: | Marcel |
Moin Felix,
> Moin Marcel,
>
> > > Schau dir dazu die Normfunktion [mm]N : \IZ[\sqrt{-5}] \to \IN[/mm],
> > > [mm]x + \sqrt{-5} y \mapsto (x + \sqrt{-5} y) (x - \sqrt{-5} y) = x^2 + 5 y^2[/mm]
> > > an.
> >
> > ist das eigentlich "die" Standardfunktion? Denn bei den
> > "Gaußschen Zahlen"
> > [mm]\IZ[i]\,[/mm] benutzt man ja auch [mm]N(z):=|z|^2=z*\overline{z}\,.[/mm][/i][/mm]
> > [mm][i]Wobei[/i][/mm]
> > [mm][i]die Gaußschen Zahlen mit dieser einen euklidischen Ring[/i][/mm]
>
> > [mm][i]bilden![/i][/mm]
>
> Genau. Diese kannst du bei jedem quadratischen Zahlkoerper
> verwenden. (Es geht sogar bei allgemeineren Erweiterungen
> so.)
>
> > [mm][i]> Diese ist multiplikativ, woraus folgt, dass jede[/i][/mm]
> > [mm][i]> Einheit [mm]e \in \IZ[\sqrt{-5}][/mm] die Bedingung [mm]N(e) = 1[/mm][/i][/mm]
>
> > [mm][i]> erfuellt. Damit muss [mm]e = \pm 1[/mm] sein.[/i][/mm]
>
> Das geht uebrigens auch andersherum: wenn [mm]N : \IZ[\sqrt{d}] \to \IZ[/mm]
> die Normfunktion ist (bei positiven [mm]d[/mm] kann sie auch
> negative Werte annehmen), dann ist [mm]e \in \IZ[\sqrt{d}][/mm]
> genau dann eine Einheit, wenn [mm]N(e) = \pm 1[/mm] ist. Das Inverse
> wird mehr oder minder direkt durch die Definition
> geliefert, schliesslich multipliziert [mm]N[/mm] [mm]e[/mm] mit seinem
> Konjugierten.
>
> > [mm][i]Ich denke aber trotzdem, dass mein Beweis oben zwar[/i][/mm]
> >
> [mm][i]umständlich, aber[/i][/mm]
> > [mm][i]inhaltlich richtig sein sollte. Die Bemerkung zu der einen[/i][/mm]
>
> > [mm][i]quadratischen[/i][/mm]
> > [mm][i]Funktion habe ich halt nur als Bemerkung reingeschrieben,[/i][/mm]
>
> > [mm][i]weil eigentlich[/i][/mm]
> > [mm][i]jeder Schüler das einsehen wird, sofern er sich mit[/i][/mm]
>
> > [mm][i]Parabeln auskennt.[/i][/mm]
>
> Ja, er ist schon in Ordnung so :)
okay! Ich danke Dir für Deine Kontrolle und die Hinweise. 
Gruß,
Marcel
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