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| Aufgabe | 1) ist [mm] f=X^6+X+1 \in \IF_{2}[X] [/mm] irreduzibel?
2)ist [mm] g=X^4-2X-2 \in \IQ[X] [/mm] irreduzibel? |
Hallo,
zu zeigen, ob Polynome irreduzibel sind über dem betrachteten Polynomring fällt mir schwer und habe oben 2 Polynome, an denen ich das üben will und es wieder mal nicht hinkriege.
Erstmal zur 1) Mir fällt leider nur was ziemlich aufwendiges ein. Ich würde jetzt alle möglichen irreduziblen Polynome vom Grad 1, 2,3, 4 und 5 in [mm] \IF_{2}[X] [/mm] aufstellen und prüfen, ob sich f als Produkt von jedem einzelnen schreiben lässt. Dann kenne ich noch einen sehr unhandlichen und aufwändigen Algorithmus.. Kann mir da jemand einen Tipp geben?
Zur 2) Hier würde ich entweder Eisenstein oder Reduktionsabbildung mit p=2 anwenden, kann man das so machen?
Würde mich über Hilfe sehr freuen!
Gruß
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Hallo Schachtel5,
bei der Irreduzibilität kann man leicht durcheinanderkommen.
Deswegen lasse ich sicherheitshalber mal die Frage auf halboffen, dann ist die Wahrscheinlichkeit höher, dass es nochmal jemand überprüft. Das kann nie schaden. 
> 1) ist [mm]f=X^6+X+1 \in \IF_{2}[X][/mm] irreduzibel?
> 2)ist [mm]g=X^4-2X-2 \in \IQ[X][/mm] irreduzibel?
>
> Hallo,
> zu zeigen, ob Polynome irreduzibel sind über dem
> betrachteten Polynomring fällt mir schwer und habe oben 2
> Polynome, an denen ich das üben will und es wieder mal
> nicht hinkriege.
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> Erstmal zur 1) Mir fällt leider nur was ziemlich
> aufwendiges ein. Ich würde jetzt alle möglichen
> irreduziblen Polynome vom Grad 1, 2,3, 4 und 5 in
> [mm]\IF_{2}[X][/mm] aufstellen
Das klingt arbeitsintensiv. Da müsstest Du immerhin bei 62 Polynomen überlegen, ob sie reduzibel sind oder nicht. Dann könntest Du stattdessen auch gleich alle Polynome vom Grad 6 untersuchen, das sind auch nur 64.
> und prüfen, ob sich f als Produkt
> von jedem einzelnen schreiben lässt. Dann kenne ich noch
> einen sehr unhandlichen und aufwändigen Algorithmus.. Kann
> mir da jemand einen Tipp geben?
Lies die ![[]](/images/popup.gif) Definition nochmal gründlich. Dann schau Dir die Beispiele am Ende des Artikels an, da ist eins dabei, das sich hierauf übertragen lässt.
Noch ein Tipp: [mm] X^6+X+1 [/mm] ist konstant.
Und eine ganz andere Frage: für [mm] h=X^6+X^5+X^4+X^3+1\in\IF_2[X] [/mm] gilt
[mm] X^6+X^5+X^4+X^3+1=(X^4+X+1)*(X^2+X+1)
[/mm]
Ist h also reduzibel? Oder nicht?
> Zur 2) Hier würde ich entweder Eisenstein oder
> Reduktionsabbildung mit p=2 anwenden, kann man das so
> machen?
Ja, ganz wunderbar.
Grüße
reverend
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hallo
vielen vielen dank für deine Antwort und Hilfe!!
Ich hab mir den Wikipediaartikel angeschaut, so wie ich die Definition verstanden habe ist h reduzibel, weil es sich als Produkt zweier Nichteinheiten schreiben lässt, oder?
Bei den Beispielen weiss ich nicht genau ob es das ist was du meinst, das mit dem das das Polynom invariant unter der von X [mm] \mapsto [/mm] X+1 induzierten Abbildung? (Das verstehe ich auch nicht wirklich, entschuldigung)
Ich hab auch überlegt, bei 1. mit dem Frobenius zu arbeiten, weil man [mm] X^6=(X^2)^3 [/mm] schreiben kann. Aber komme da zu nichts.
Wieso ist denn [mm] f=X^6+X+1 [/mm] konstant, ich bekomme [mm] f'=6X^5+1=1 [/mm] raus?
und zur 2) da kann man beides benutzen, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 Mo 17.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> und zur 2) da kann man beides benutzen, oder?
Modulo 2 ist das Polynom reduzibel. Das bringt dir also gar nichts. Eisenstein dagegen ist eine gute Wahl - aber nur in [mm] $\IZ[X]$. [/mm] Du musst noch begruenden, warum das trotzdem geht.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Mo 17.12.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Erstmal zur 1) Mir fällt leider nur was ziemlich
> > aufwendiges ein. Ich würde jetzt alle möglichen
> > irreduziblen Polynome vom Grad 1, 2,3, 4 und 5 in
> > [mm]\IF_{2}[X][/mm] aufstellen
>
> Das klingt arbeitsintensiv. Da müsstest Du immerhin bei 62
> Polynomen überlegen, ob sie reduzibel sind oder nicht.
> Dann könntest Du stattdessen auch gleich alle Polynome vom
> Grad 6 untersuchen, das sind auch nur 64.
Nun, man kann das ganze auch vereinfachen. Wenn das Polynom reduzibel ist, muss es mindestens einen irreduziblen Faktor geben, der hoechstens Grad 3 hat (warum?). Wenn er Grad 1 hat, hat das Polynom eine Nullstelle, das kann man schnell ausschleissen.
Von Grad 2 und 3 zusammen gibt es nur drei irreduzible Polynome, diese kann man schnell testen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Mo 17.12.2012 | | Autor: | Schachtel5 |
Ah, okay vielen Dank an euch beiden.
Ich hab jetzt beides hinbekommen,
die Koeffizienten des 2. Polynoms liegen ja auch alle in [mm] \IZ [/mm] , also man betrachtet g [mm] \in \IZ[X] [/mm] und bekommt dann mit Eisenstein, dass es irred. in [mm] \IQ[X] [/mm] ist.
Und bei dm 1.Polynom hat jetzt auch alles geklappt, danke!
Liebe Grüße
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Mo 17.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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