isol. Sing. und Residuum < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme die isolierten Singularitäten, ihren Typ und das Residuum von
[mm] (1+\exp(z))^{-2} [/mm] |
Hallo,
also die isolierten Singularitäten sind die Stellen mit [mm] e^z=-1, [/mm] also [mm] $z_0=i\pi+2\pi [/mm] ik, [mm] k\in \IZ$
[/mm]
Leider habe ich Schwierigkeiten den Typ zu bestimmen. Die Reihenentwicklung der e-Funktion bringt mich nicht weiter.
Desweiteren weiß ich nicht, wie ich hier das Residuum ausrechnen kann.
Viele Grüße
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Fr 01.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme die isolierten Singularitäten, ihren Typ und das
> Residuum von
> [mm](1+\exp(z))^{-2}[/mm]
> Hallo,
>
> also die isolierten Singularitäten sind die Stellen mit
> [mm]e^z=-1,[/mm] also [mm]z_0=i\pi+2\pi ik, k\in \IZ[/mm]
>
> Leider habe ich Schwierigkeiten den Typ zu bestimmen. Die
> Reihenentwicklung der e-Funktion bringt mich nicht weiter.
>
> Desweiteren weiß ich nicht, wie ich hier das Residuum
> ausrechnen kann.
>
> Viele Grüße
> Patrick
Ich mach Dir es mal vor für [mm] $z_0=i \pi$
[/mm]
Wir setzen [mm]f(z):=(1+\exp(z))^{-2}[/mm], [mm] $g(z):=1+e^z$ [/mm] und [mm] $h(z):=g(z)^2$
[/mm]
Es ist [mm] g(z_0)=0 [/mm] und [mm] g'(z_0) \ne [/mm] 0. Somit hat g in [mm] z_0 [/mm] eine einfache Nullstelle. Damit hat h in [mm] z_0 [/mm] eine doppelte Nulstelle.
Fazit: f hat in [mm] z_0 [/mm] eine Pol der Ordnung 2.
Für die Berechnung des Residuums:
http://de.wikipedia.org/wiki/Residuum_(Funktionentheorie)
FRED
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Danke soweit.
Zum Residuum:
Ok, ich berechne also
[mm] $$Res(f,i\pi)=\lim_{z\to i\pi} \frac{d}{dz} [(z-i\pi)^2\frac{1}{(1+e^z)^2}]$$
[/mm]
Wenn ich das zuvor mit dem Computer auswerten lasse erhalte ich [mm] \infty [/mm] ...?
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Hallo XPatrickX,
> Danke soweit.
> Zum Residuum:
>
> Ok, ich berechne also
>
> [mm]Res(f,i\pi)=\lim_{z\to i\pi} \frac{d}{dz} [(z-i\pi)^2\frac{1}{(1+e^z)^2}][/mm]
>
> Wenn ich das zuvor mit dem Computer auswerten lasse erhalte
> ich [mm]\infty[/mm] ...?
Nein.
Zur Berechnung des Grenzwertes
[mm]\lim_{z\to i\pi} \frac{d}{dz} [(z-i\pi)^2\frac{1}{(1+e^z)^2}][/mm]
ist der Kollege L'Hospital mehrfach anzuwenden.
Gruss
MathePower
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