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Was bedeutet es, wenn zwei Gruppen isomorph sind?
Ein Bsp., das mir neulich begegnet ist, ist, dass [mm] S^1 \cong SO_2\IR [/mm] ist. (1-Sphäre, spezielle orthogonale Gruppe über [mm] \IR). [/mm] Was bedeutet es jetzt, dass die isomorph sind?
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Hallo Balendilin,
> Was bedeutet es, wenn zwei Gruppen isomorph sind?
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> Ein Bsp., das mir neulich begegnet ist, ist, dass [mm]S^1 \cong SO_2\IR[/mm]
> ist. (1-Sphäre, spezielle orthogonale Gruppe über [mm]\IR).[/mm]
> Was bedeutet es jetzt, dass die isomorph sind?
Ganz grob und kurz:
Das bedeutet, dass die Gruppen strukturgleich sind.
Was nützt das?
Nun, es gibt Aussagen, die kann man oftmals in der einen Gruppe (mit der einen Struktur) besser oder einfacher beweisen, die Isomorphie überträgt es dann auf die andere Gruppe ...
Durch die Isomorphie bekommst du eine 1:1 Korrespondenz zwischen den Gruppen.
Gruß
schachuzipus
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> Ganz grob und kurz:
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> Das bedeutet, dass die Gruppen strukturgleich sind.
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Was bedeutet es denn, dass zwei Gruppen "strukturgleich" sind? bzw. was ist denn die "Struktur" einer Gruppe?
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Moin,
sind zwei Gruppen $\ [mm] G_1, G_2 [/mm] $ isomorph, so existiert zu dem Morphismus $\ [mm] G_1 \to G_2 [/mm] $ die Umkehrabbildung $ [mm] G_2 \to G_1 [/mm] $.
$\ [mm] G_1 \to G_2 [/mm] $ ist dann gerade der Isomorphismus. Du bildest also mittels der Isomorphie die Elemente der einen Gruppe umkehrbar eindeutig (bijektiv) auf die Elemente der Zielgruppe ab.
Ein Beispiel aus der lin. Algebra bzgl. Struktur:
Seien $\ V, W $ zwei Vektorraume der Dimension $\ n $ und $\ [mm] \varphi: [/mm] V [mm] \to [/mm] W $ eine lineare Abbildung.
$\ [mm] \varphi$ [/mm] ist ein Vektorraumhomomorphismus. Ist nun $\ [mm] \varphi$ [/mm] bijektiv hast du einen Isomorphismus zwischen $\ V, W$ und es gilt folgende Äquivalenz
$\ [mm] v_1,...,v_n [/mm] $ bilden eine Basis von $\ V [mm] \gdw \varphi(v_1), [/mm] ..., [mm] \varphi(v_n)$ [/mm] bilden eine Basis von $\ W $.
Du kannst also relativ schnell eine Basis eines Vektorraums finden, wenn du den zugehörigen Isomorphismus nur kennst.
Um diesem Beispiel etwas Kraft zu verleihen: Da jeder Körper Vektorraum über sich selbst ist, kannst du so beispielsweise allein durch Kenntnis der kanonischen Basis von $\ [mm] \IR [/mm] $ die kanonische Basis von $\ [mm] \IC [/mm] $ finden.
Weiteres beispiel aus der linearen Algebra:
Satz: Jeder $\ n-$dimensionale Vektorraum $\ V $ ist isomorph zum Körper $\ [mm] \IK^n [/mm] $ und die Abbildung
$\ v [mm] \mapsto \vektor{\lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n}_B \in \IK [/mm] $ ist der Isomorphismus. $\ B $ ist die kanonische Basis aus $\ [mm] \IK^n [/mm] $
Das erlaubt dir die Darstellung Koordinatendarstellung von Vektoren aus $\ V $ bezüglich der Basis $\ B $.
Du kannst die Basis natürlich frei wählen.
Ich lass' das Ganze mal auf teilweise beantwortet, da ich nur mit Beispielen aus der linearen Algebra dienen konnte.
Viele Grüße
ChopSuey
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:24 Sa 26.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Ganz grob und kurz:
> >
> > Das bedeutet, dass die Gruppen strukturgleich sind.
> >
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> Was bedeutet es denn, dass zwei Gruppen "strukturgleich"
> sind? bzw. was ist denn die "Struktur" einer Gruppe?
Das bedeutet, dass sich die Gruppen nur durch die Benennung der Elemente unterscheiden.
Nimm zum Beispiel die natuerlichen Zahlen $0, 1, 2, 3, ...$. Anstelle 0 kannst du auch Kuh sagen, anstelle 1 Muh, dann hast du Kuh + Kuh = Kuh, Kuh + Muh = Muh = Muh + Kuh, Kuh + Kuh = 2. Die Menge [mm] $\{ 0, 1, 2, 3, \dots \}$ [/mm] ist zwar eine andere als [mm] $\{ Kuh, Muh, 2, 3, ... \}$, [/mm] jedoch sind beide Halbgruppen strukturgleich -- die Elemente heissen halt nur anders.
Bei zwei endlichen Gruppen $G$ und $H$ kannst du sagen, dass sie strukturgleich sind, falls folgendes gilt:
sie haben beide $n$ Elemente, und wenn du $G = [mm] \{ g_1, \dots, g_n \}$ [/mm] und $H = [mm] \{ h_1, \dots, h_n \}$ [/mm] schreibst mit einer bestimmten Auswahl der Elemente, dann gilt [mm] $g_i \circ g_j [/mm] = [mm] g_k$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $h_i \circ h_j [/mm] = [mm] h_k$ [/mm] ist.
Anders gesagt: die Verknuepfungstabelle sieht -- bis auf Umbenennung der Elemente -- gleich aus.
LG Felix
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