isomorphe Untergruppen < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:51 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Torboe |
| Aufgabe | Sei [mm] (G,\circ) [/mm] = [mm] (\IZ_{8},*) [/mm] und [mm] (K,\*) [/mm] = [mm] (\IZ_{12},*)
[/mm]
a) Sind [mm] (\IZ_{8},*) [/mm] und [mm] (\IZ_{12},*) [/mm] isomorph?
b) Sei H:= {1,3} [mm] \subset [/mm] G = [mm] (\IZ_{8},*)
[/mm]
Berechnen Sie 3 [mm] \circ [/mm] H und 5 [mm] \circ [/mm] H. |
Mir wurde als Hinweis gegeben, dass man das mithilfe des Satzes von Lagranges lösen kann. Aber der sagt doch nur aus, dass die Ordnung einer Untergruppe ein Teiler der Ordnung einer endlichen Gruppe ist, oder? Ich wüsste jetzt nicht, wie er hier helfen kann. Isomorphismus bedeutet ja in beide Richtungen. Aber wie ist da der Ansatz??
Dieses "isomorph" bereitet mir generell noch Kopfzerbrechen... . Auch in anderen Zusammenhängen. Gibts da ne einfache Erklärung was verlangt ist, wenn ein Isomorphismus gezeigt werden soll??
Und bei c): was bedeutet eigentlich in diesem Zusammenhang diese Kringel? Normal heißt er doch verknüpft oder ? Also wenn bspw. 2 Fkt. verknüpft sind: also f(x) = x² und g(x) = x+1 und die Verknüpfung lautet f [mm] \circ [/mm] g, dann folgt doch ==> = (x+1)². Aber was bedeutet diese Kringel hier? Wie muss ich das lesen???
Naja, Fragen über Fragen... Aber wie gesagt, ich tu mich manchmal schwer, die "Syntax" von den Aufgaben zu verstehen :/.
Vielen Dank schonmal für Antworten :)!
|
|
| |
|
Einen wunderschönen guten Morgen!
Meine Güte, so tief in der Nacht noch Mathematik... 
Zu Deiner Frage: Ein Isomorphismus zwischen irgendwelchen Strukturen (Gruppen, Vektorräumen, etc.) ist immer eine bijektive Abbildung, bei der sowohl die Abbildung als auch ihre Umkehrabbildung die Struktur "respektieren". Im Fall von Gruppen heißt dies, dass beide Abbildungen Homomorphismen von Gruppen sein sollen. Bei Vektorräumen ist der richtige Begriff der der linearen Abbildung.
Bei endlichen Gruppen ist es nun so, dass Gruppen verschiedener Ordnung nicht isomorph sein können, denn es gibt keine Bijektion zwischen zwei endlichen Mengen verschiedener Mächtigkeit.
Alles klar soweit? Und was den Kringel [mm] $\circ$ [/mm] angeht... Mathematiker haben nicht allzu viele Symbole für Verknüpfungen, deshalb werden viele "überladen", also mehrfach verwendet. Das + z.B. findet sich nicht nur im Zusammenhang mit reellen Zahlen, sondern auch in abstrakten Vektorräumen oder anderen abelschen Gruppen als Symbol für die Verknüpfung.
Ähnlich verhält es sich mit dem [mm] $\circ$. [/mm] Man nutzt es für Kompositionen von Abbildungen, ja, aber manchmal findet es auch in allgemeinen Gruppen Verwendung, um die Verknüpfung zu symbolisieren. In diesem Fall steht in der Definition der Aufgabe, dass die Verknüpfung in der Gruppe G mit [mm] $\circ$ [/mm] bezeichnet werden soll, ebenso wie die Verknüpfung in K als $*$ geschrieben wird.
Und das $H$ ist eine Teilmenge von G. Hier geht es also darum ein Element mit einer Teilmenge zu verknüpfen - heraus kommt nach Definition wieder eine Teilmenge, nämlich diejenige, die entsteht, wenn das Element mit jedem Element der Teilmenge verknüpft wird.
Schreib Dir das einfach mal hin, ist gar nicht so schwierig... 
Liebe Grüße,
Lars
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:30 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Torboe |
| Aufgabe | Korrektur der Angabe:
(G, [mm] \circ) [/mm] := [mm] (\IZ_{8}\*,*)
[/mm]
(K, *) := [mm] (\IZ_{12}\*,*)
[/mm]
Also die Gruppen sind doch nicht endlich, sondern Restklassenringe in 8 bzw. 12. |
Wünsch dir auch nen guten Morgen!
jo, so so spät noch Mathe, da bald ne Klausur ansteht :/.
Vielen Dank erstmal für die Erklärung, das meiste hab ich jetzt soweit begriffen, ist tatsächlich nicht so schwer. Also als lösung für die b) hab ich:
3*H = {1,3} = H
5*H = {5,7}
Und wenn man den Satz von Lagrange wieder beachtet passts auch. G hat 4 Elemente und die beiden Untergruppen jeweils die Anzahl 2.
Um nochmal auf die a) zurückzukommen. Ein Isomorphismus zwischen Gruppen liegt also wohl dann vor, wenn beide Gruppen die gleiche Anzahl der Elemente haben, oder? Weil nur dann ist sie ja injektiv. Und wann wäre sie surjektiv?
Du sagst:
Ein Isomorphismus zwischen irgendwelchen Strukturen (Gruppen, Vektorräumen, etc.) ist immer eine bijektive Abbildung, bei der sowohl die Abbildung als auch ihre Umkehrabbildung die Struktur "respektieren"
Was bedeutet in diesem Fall respektieren? Und wie bilde ich eine Umkehrabbildung einer Gruppe?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig | | Datum: | 15:12 Fr 18.01.2008 | | Autor: | Torboe |
ok, ich glaube ich hab jetzt schonmal nen Ansatz:
Den Isomorphismus kann ich beweisen, wenn folgendes gilt:
[mm] \alpha [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b) = [mm] \alpha [/mm] (a) * [mm] \alpha [/mm] (b)
Hier mein Lösungsvorschlag:
Ich soll klären, ob die beiden Gruppen isomorph sind.
Also die Menge von G = {1,3,5,7} und K = {1,5,7,11}. Da die beiden Gruppen gleichviele Elemente enthalten, sind sie schonmal bijektiv.
Und, wenn ich das richtig verstanden habe, schreibt man die Elemente quasi übereinander und mit einem Pfeil von oben nach unten eine Abbildung dar. Daraus folgt: 1->1, 3->5, 5->7, 7->11. Was bedeutet: [mm] \alpha [/mm] (1) = 1, [mm] \alpha [/mm] (3) = 5, [mm] \alpha [/mm] (5) = 7, [mm] \alpha [/mm] (7) = 11 .
Es gilt: [mm] \alpha [/mm] (a [mm] \circ [/mm] b) = [mm] \alpha [/mm] (a) * [mm] \alpha [/mm] (b)
1.
[mm] \alpha [/mm] (1*3) = [mm] \alpha [/mm] (3) = 5
[mm] \alpha(1) [/mm] * [mm] \alpha(3) [/mm] = 1*5 = 5
--> passt?!
2.
[mm] \alpha [/mm] (1*7) = [mm] \alpha [/mm] (7) = 11
[mm] \alpha(1) [/mm] * [mm] \alpha(7) [/mm] = 1*1 = 11
passt?!
3.
[mm] \alpha [/mm] (1*5) = [mm] \alpha [/mm] (5) = 7
[mm] \alpha(1) [/mm] * [mm] \alpha(5) [/mm] = 1*7 = 7
passt ?!
4.
[mm] \alpha [/mm] (3*5) = [mm] \alpha [/mm] (15mod8=7mod8) = [mm] \alpha [/mm] (7) = 11
[mm] \alpha(3) [/mm] * [mm] \alpha(5) [/mm] = 5*7 = 35mod8=3mod8=3
passt nicht??
oder hab ich was falsch gemacht? muss ich das für alle kombinationen durchtesten oder reicht eine?
Danke schonmal!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 So 20.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:26 Mo 21.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
