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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - isomorphie von körpererw.
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isomorphie von körpererw.: tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Mi 05.01.2011
Autor: sepp-sepp

Aufgabe
i) Zeigen Sie dass die körper [mm] \IQ(\wurzel[4]{2}) \in \IC [/mm] und [mm] \IQ(i\wurzel[4]{2}) \in \IC [/mm] isomorph sind.
ii) Bestimmen Sie alle Automorphismen von [mm] \IQ(\wurzel{2}). [/mm]
iii) Welche davon lassen sich zu Isomorphismen [mm] \IQ(\wurzel[4]{2}) \to \IQ(i\wurzel[4]{2}) [/mm] fortsetzen?

also leider hab ich nur zu ii) die Automorphismen gefunden:
[mm] \sigma_{1}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2} [/mm]
[mm] \sigma_{2}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2} [/mm]
bei i) fehlt mir die spur: Was muss gelten, damit zwei körper isomorph sind?
bei iii) weiß ich leider nicht wie das mit den autom. in ii) zusammenhängt und wie man sowas macht :( wer kann helfen?


        
Bezug
isomorphie von körpererw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:35 Mi 05.01.2011
Autor: felixf

Moin!

> i) Zeigen Sie dass die körper [mm]\IQ(\wurzel[4]{2}) \in \IC[/mm]
> und [mm]\IQ(i\wurzel[4]{2}) \in \IC[/mm] isomorph sind.
> ii) Bestimmen Sie alle Automorphismen von [mm]\IQ(\wurzel{2}).[/mm]
> iii) Welche davon lassen sich zu Isomorphismen
> [mm]\IQ(\wurzel[4]{2}) \to \IQ(i\wurzel[4]{2})[/mm] fortsetzen?
>  also leider hab ich nur zu ii) die Automorphismen
> gefunden:
> [mm]\sigma_{1}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2}[/mm]
>  [mm]\sigma_{2}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2}[/mm]

[ok]

> bei i) fehlt mir die spur: Was muss gelten, damit zwei
> körper isomorph sind?

Dass es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt ;-)

Wenn du etwa zwei Koerper [mm] $\IQ(\alpha)$ [/mm] und [mm] $\IQ(\beta)$ [/mm] hast, und [mm] $\alpha$ [/mm] und [mm] $\beta$ [/mm] das gleiche Minimalpolynom $f$ haben, dann gilt [mm] $\IQ(\alpha) \cong \IQ[X]/(f) \cong \IQ(\beta)$. [/mm]

>  bei iii) weiß ich leider nicht wie das mit den autom. in
> ii) zusammenhängt und wie man sowas macht :( wer kann
> helfen?

Nun, erstmal solltest du ueberhaupt einen Isomorphismus [mm] $\IQ(\sqrt[4]{2}) \to \IQ(i \sqrt[4]{2})$ [/mm] finden, oder am besten gleich alle. Dazu bestimmst du alle Nullstellen von [mm] $X^4 [/mm] - 2$ in [mm] $\IQ(i \sqrt[4]{2})$. [/mm]

Dann ueberlegst du dir, was diese Isomorphismen jeweils mit [mm] $\sqrt{2} [/mm] = [mm] \sqrt[4]{2}^2$ [/mm] machen. Dann siehst du, welche Automorphismen du von [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] bekommst, wenn du sie auf [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] einschraenkst.

LG Felix


Bezug
                
Bezug
isomorphie von körpererw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:02 Mi 05.01.2011
Autor: sepp-sepp

ok, schon mal vielen dank.
i) Also die minimalpolynome sind bei beiden [mm] X^{4}-2, [/mm] also sind sie isomorph, reicht das?
iii) Nst sind [mm] \wurzel[4]{2}, -\wurzel[4]{2}, i\wurzel[4]{2}, -i\wurzel[4]{2} [/mm] oder?
und nun kann ich folg. Isomorphismen bilden:
[mm] \sigma_{1}: \wurzel[4]{2}\mapsto\wurzel[4]{2} [/mm]
[mm] \sigma_{2}: \wurzel[4]{2}\mapsto-\wurzel[4]{2} [/mm]
[mm] \sigma_{3}: \wurzel[4]{2}\mapsto i\wurzel[4]{2} [/mm]
[mm] \sigma_{4}: \wurzel[4]{2}\mapsto-i\wurzel[4]{2} [/mm]
und wenn ich überall $ [mm] \sqrt{2} [/mm] = [mm] \sqrt[4]{2}^2 [/mm] $ einsetze erhalte ich
[mm] \sigma_{1}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2} [/mm]
[mm] \sigma_{2}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2} [/mm]
[mm] \sigma_{3}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2} [/mm]
[mm] \sigma_{4}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2} [/mm]
stimmt das noch? und was muss ich jetzt noch zeigen?


Bezug
                        
Bezug
isomorphie von körpererw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Mi 05.01.2011
Autor: felixf

Moin!

> ok, schon mal vielen dank.
>  i) Also die minimalpolynome sind bei beiden [mm]X^{4}-2,[/mm] also
> sind sie isomorph, reicht das?

Es stimmt im wesentlichen, nur du musst schon etwas mehr aufschreiben wenn du das als Uebungszettel abgibst ;-)

>  iii) Nst sind [mm]\wurzel[4]{2}, -\wurzel[4]{2}, i\wurzel[4]{2}, -i\wurzel[4]{2}[/mm]
> oder?

Ja, aber nicht alle davon liegen in [mm] $\IQ(i \sqrt[4]{2})$! [/mm]

>  und nun kann ich folg. Isomorphismen bilden:
>  [mm]\sigma_{1}: \wurzel[4]{2}\mapsto\wurzel[4]{2}[/mm]
>  [mm]\sigma_{2}: \wurzel[4]{2}\mapsto-\wurzel[4]{2}[/mm]
>  
> [mm]\sigma_{3}: \wurzel[4]{2}\mapsto i\wurzel[4]{2}[/mm]
>  
> [mm]\sigma_{4}: \wurzel[4]{2}\mapsto-i\wurzel[4]{2}[/mm]

Zwei davon sind Isomorphismen [mm] $\IQ(\sqrt[4]{2}) \to \IQ(i \sqrt[4]{2})$, [/mm] und zwei davon sind Automorphismen von [mm] $\IQ(\sqrt[4]{2})$. [/mm]

>  und wenn
> ich überall [mm]\sqrt{2} = \sqrt[4]{2}^2[/mm] einsetze erhalte ich
>  [mm]\sigma_{1}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2}[/mm]
>  [mm]\sigma_{2}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2}[/mm]
>  
> [mm]\sigma_{3}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2}[/mm]
>  [mm]\sigma_{4}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2}[/mm]
> stimmt das noch? und was muss ich jetzt noch zeigen?

Das stimmt so nicht, da ist ein Minus verlorengegangen.

Wenn das so stimmen wuerde, und alles Isomorphismen [mm] $\IQ(\sqrt[4]{2}) \to \IQ(i \sqrt[4]{2})$ [/mm] waeren, so wuerdest du sehen, dass jeder Automorphismus von [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] eine Einschraenkung eines solchen Isomorphismus ist (ist dir das klar?).

Jetzt finde aber erstmal alle Isomorphismen [mm] $\IQ(\sqrt[4]{2}) \to \IQ(i \sqrt[4]{2})$, [/mm] noch hast du zu viele :)

LG Felix


Bezug
                                
Bezug
isomorphie von körpererw.: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:28 Do 06.01.2011
Autor: sepp-sepp

ok. da war ich zu voreilig. ich denke die isomorphismen von $ [mm] \IQ(\sqrt[4]{2}) \to \IQ(i \sqrt[4]{2}) [/mm] $ sind:
$ [mm] \sigma_{3}: \wurzel[4]{2}\mapsto i\wurzel[4]{2} [/mm] $
$ [mm] \sigma_{4}: \wurzel[4]{2}\mapsto-i\wurzel[4]{2} [/mm] $
und dann $ [mm] \sqrt{2} [/mm] = [mm] \sqrt[4]{2}^2 [/mm] $eingesetzt
$ [mm] \sigma_{3}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2} [/mm] $
$ [mm] \sigma_{4}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2} [/mm] $
was muss ich jetzt machen?


Bezug
                                        
Bezug
isomorphie von körpererw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 Do 06.01.2011
Autor: felixf

Moin!

> ok. da war ich zu voreilig. ich denke die isomorphismen von
> [mm]\IQ(\sqrt[4]{2}) \to \IQ(i \sqrt[4]{2})[/mm] sind:
>  [mm]\sigma_{3}: \wurzel[4]{2}\mapsto i\wurzel[4]{2}[/mm]
>  
> [mm]\sigma_{4}: \wurzel[4]{2}\mapsto-i\wurzel[4]{2}[/mm]

Genau!

>  und dann
> [mm]\sqrt{2} = \sqrt[4]{2}^2 [/mm]eingesetzt
> [mm]\sigma_{3}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2}[/mm]
>  [mm]\sigma_{4}: \wurzel{2}\mapsto\wurzel{2}[/mm]

Das stimmt so nicht. Du hast da einen Vorzeichenfehler gemacht. Was ist $(i [mm] \sqrt[4]{2})^2$ [/mm] und was ist $(-i [mm] \sqrt[4]{2})^2$? [/mm]

LG Felix


Bezug
                                                
Bezug
isomorphie von körpererw.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:15 Do 06.01.2011
Autor: sepp-sepp

ja da hast du recht, es müsste heißen:
$ [mm] \sigma_{3}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2} [/mm] $
$ [mm] \sigma_{4}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2} [/mm] $
und nun? mir fehlt immer noch die schlussfolgerung:(


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Bezug
isomorphie von körpererw.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:20 Do 06.01.2011
Autor: felixf

Moin!

> ja da hast du recht, es müsste heißen:
>  [mm]\sigma_{3}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2}[/mm]
>  [mm]\sigma_{4}: \wurzel{2}\mapsto-\wurzel{2}[/mm]

So. Jetzt beachte, dass ein Automorphismus von [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] bereits voellig durch das Bild von [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] bestimmt ist. Damit ist [mm] $\sigma_3|_{\IQ(\sqrt{2})} [/mm] = [mm] \sigma_2$ [/mm] (wobei [mm] $\sigma_2$ [/mm] der Automorphismus aus diesem Post ist) und ebenso [mm] $\sigma_4|_{\IQ(\sqrt{2})} [/mm] = [mm] \sigma_2$. [/mm]

Du siehst also: nur der Automorphismus [mm] $\sigma_2$ [/mm] von [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] kann zu einem Isomorphismus [mm] $\IQ(\sqrt[4]{2}) \to \IQ(i \sqrt[4]{2})$ [/mm] fortgesetzt werden (und zwar auf zwei verschiedene Art und Weisen).

LG Felix


Bezug
                                                                
Bezug
isomorphie von körpererw.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:29 Do 06.01.2011
Autor: sepp-sepp

ok. vielen dank für deine mühen. hast mir echt sehr geholfen:)

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