ist das richtig < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Berechnen Sie [mm] z_{1}=2+3i [/mm] und [mm] z_{2}=5-i [/mm] den Quotienten
[mm] z=\bruch{z_{2}}{z_{1}} [/mm] und geben Sie |z| und arg z an
Hinweis Im Bruch ist [mm] z_{2} \overline{z_{2}}.
[/mm]
Meine Lösung
[mm] z_{2}=5-i \overline{z_{2}}=5+i
[/mm]
[mm] Z=\bruch{5+i}{2+3i}=\bruch{5+i}{2+3i}*\bruch{2-3i}{2-3i}=\bruch{5-15i++2i+3}{4+9}=\bruch{8-13i}{13}=\bruch{8}{13}-\bruch{13i}{13}
[/mm]
[mm] |z|=\wurzel{a_{2}+ b_{2}}=|z|=\wurzel{\bruch{(8}{13})^2+\bruch{(13}{13})^2i}=|z|=\wurzel{\bruch{64}{169}+1i}
[/mm]
Ist das so weit richtig
|
|
| |
|
Hiho,
> [mm]\bruch{5+i}{2+3i}*\bruch{2-3i}{2-3i}=\bruch{5-15i+3}{4+9}[/mm]
Rechne doch nochmal (5+i)(2-3i) nochmal nach.
MfG,
Gono.
|
|
|
| |
|
[mm] \bruch{5-i}{2+3i}
[/mm]
So sollte der Bruch doch korrekt lauten oder?
Dann komm ich auf das Ergebnis:
[mm] \bruch{7}{13} [/mm] - [mm] \bruch{17}{13}i
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:13 So 08.02.2009 | | Autor: | Christopf |
Du darfst nicht vergessen z2 muss konjugiert werden
|
|
|
| |
|
Wieso muss man denn im Vorfeld konjugieren?
Bei soetwas bildet man doch nur die konjugiert komplexe um aus dem nenner das i zu entfernen.
Ich mag mich natürlich auch irren jedoch habe ich es so in einer relativ festen erinnerung ;)
|
|
|
| |
|
Wie kann ich arg(z) ermitteln bei dieser Aufgabe
Sind meine ermitteltenErgebnisse richtig
|
|
|
| |
|
Hallo Christopf,
> Wie kann ich arg(z) ermitteln bei dieser Aufgabe
Berechne erstmal richtig [mm] $z=\frac{z_2}{z_1}$
[/mm]
Wobei du dich entweder in der Aufgabenstellung vertippt hast (dort steht [mm] $z_2=5\red{-}i$) [/mm] oder bei deinem Rechenansatz, da hast du im Zähler von [mm] $z=\frac{z_2}{z_1}$ [/mm] plötzlich [mm] $5\blue{+}i$ [/mm] genommen.
Das wäre zuerst zu klären!
>
> Sind meine ermitteltenErgebnisse richtig
Nein, wieso gehst du nicht den Hinweisen nach, die dir gegeben werden??
Gonozal_IX hat dich schon auf deinen Fehler hingewiesen und ImminentMatt das richtige Ergebnis für z hingeschrieben (falls tatsächlich wie in der Aufgabenstellung [mm] $z_2=5-i$ [/mm] ist)
Mit deinem falschen z ist natürlich auch $|z|$ falsch, dein Ansatz, das auszurechnen, geht in die richtige Richtung
Beachte, dass mit $w=a+bi$ der Realteil $a$ ist und der Imaginärteil $b$
Also [mm] $|w|=\sqrt{Re(w)^2+Im(w)^2}=\sqrt{a^2+b^2}$
[/mm]
Unter der Wurzel hat also $i$ nichts verloren
Das Argument einer komplexen Zahl $w=a+bi$ kannst du berechnen durch [mm] $arg(w)=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)$ [/mm] für [mm] $a\neq [/mm] 0$
Wobei du noch auf den Quadranten achten solltest, in dem w liegt
Näheres zur Berechnung des Argumentes ![[]](/images/popup.gif) hier
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 So 08.02.2009 | | Autor: | Christopf |
Auch du hast mein hinweis überlesen
das [mm] z_{2} =\overline{z_{2}} [/mm] ist
Das macht [mm] \red{ aus 5-i = 5+i}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Halo,
> Auch du hast mein hinweis überlesen
>
> das [mm]z_{2} =\overline{z_{2}}[/mm] ist
>
> Das macht [mm]\red{ aus 5-i = 5+i}[/mm]
Nein, DU überliest mit einer Leichtigkeit alle Hinweise, die man dir so gibt.
Um die Zahl [mm] $z=\frac{z_2}{z_1}$ [/mm] in Normalform $a+bi$ zu bringen, muss man sie mit dem komplex Konjugierten des Nenners erweitern, denn du willst ja den Nenner reell kriegen.
Also wird [mm] $z=\frac{z_2}{z_1}=\frac{z_2\cdot{}\overline{z_1}}{\underbrace{z_1\cdot{}\overline{z_1}}_{\in\IR}}$ [/mm] berechnet
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Im ursprünglichen Post fehlt dann auch das "=" und deswegen missversteht man das.
So wie das da steht liest sich das frei nach dem Motto:
Ich bilde die konjugiert Komplexe im Nenner
|
|
|
| |
|
> Auch du hast mein hinweis überlesen
>
> das [mm]z_{2} =\overline{z_{2}}[/mm] ist
Hallo,
Du könntest Dir mal überlegen, für welche Zahlen [mm] z=\overline{z} [/mm] gilt.
das ist eine von der Aufgabe völlig unabhängige, aber möglicherweise bildende Angelegenheit.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:31 So 08.02.2009 | | Autor: | Christopf |
Wie ich mittlere Weile schon mehrmals geschrieben habe gilt das nur für [mm] z_{2}
[/mm]
Und jetzt würde ich gerne wissen ob meine Rechnung richtig ist
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Wie ich mittlere Weile schon mehrmals geschrieben habe gilt
> das nur für [mm]z_{2}[/mm]
Das ist doch Unfug.
Wenn du eine komplexe Zahl $w=a+bi$ hast, für die [mm] $w=\overline{w}$ [/mm] gelten soll, so muss doch gelten $a+bi=a-bi$
Da Realteil und Imaginärteil eindeutig sind, muss(!!) also $b=0$ gelten.
Du siehst, es kann nur dann [mm] $w=\overline{w}$ [/mm] gelten, wenn w reell ist
Da [mm] $z_2=5-i$ [/mm] ist, also komplex, ist [mm] $\overline{z_2}=5+i$
[/mm]
Und offensichtlich ist [mm] $z_2\neq\overline{z_2}$
[/mm]
LG
schachuzipus
>
> Und jetzt würde ich gerne wissen ob meine Rechnung richtig
> ist
>
> Danke
|
|
|
| |
|
In der Aufgabe steht: Berechnen sie den [mm] Quotientenz=\bruch{\overline{z_{2}}}{z_{1}} [/mm] und |z| und arg(z)
Z1 und z2 habe ich schon gepostet und dann habe ich meine rechnung gemacht
Kannmir jemand zeigen wie es ricchtig ist
Danke
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> In der Aufgabe steht: Berechnen sie den
> [mm]Quotientenz=\bruch{\overline{z_{2}}}{z_{1}}[/mm] und |z| und
> arg(z)
aaahso
Dann ist dein Ansatz auch richtig, du hast nur das Produkt [mm] $(5+i)\cdot{}(2-3i)$ [/mm] im Zähler falsch berechnet!
Es ist [mm] $(5+i)\cdot{}(2-3i)=5\cdot{}2+5\cdot{}(-3i)+i\cdot{}2+i\cdot{}(-3i)=10-15i+2i-3i^2=10-13i-3(-1)=13-13i$
[/mm]
Also [mm] $z=\frac{\overline{z_2}}{z_1}=\frac{13}{13}-\frac{13}{13}i=1-i$
[/mm]
>
> Z1 und z2 habe ich schon gepostet und dann habe ich meine
> rechnung gemacht
>
> Kannmir jemand zeigen wie es ricchtig ist
Den Betrag $|z|$ und das Argument $arg(z)$ rechnest du nun aus, ok?
>
> Danke
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ist zu dieser Aufgabe [mm] arg(z)=-\bruch{\pi}{4}
[/mm]
und |z|=0
|
|
|
| |
|
Hallo Christopf,
> Ist zu dieser Aufgabe [mm]arg(z)=-\bruch{\pi}{4}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Oder [mm] $-\frac{\pi}{4}+2\pi=\frac{7}{4}\pi$, [/mm] je nachdem, ob ihr das Argument [mm] $\in[-\pi,\pi)$ [/mm] oder [mm] $\in[0,2\pi)$ [/mm] definiert habt.
> und |z|=0
Nee [mm] $|z|=|1-i|=|\red{1}+\blue{(-1)}\cdot{}i|=\sqrt{\red{1}^2+\blue{(-1)}^2}=\sqrt{2}$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
|
