ist die funktion surjektiv ? < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:29 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Malkem |
| Aufgabe | | Ist die Funktion [mm] f:\IC\to\IC [/mm] mit [mm] f(z):=z^{2} [/mm] surjektiv ? |
moin an alle Mathematiker :)
Ich habe da was ausgerechnet und wollte nochmal hier nachfragen ob das so richtig ist oder ob ich da auf dem holzweg bin....
z ist ja gleich z = 1 + j
ich habe nun einmal 3 + 3j eingesetzt und bekam 18j raus
und einmal -3 - 3j eingesetzt und habe ebenfalls 18j raus bekommen
also ist diese funktion surjektiv, richtig ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:36 Sa 09.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Malkem,
Willkommen im Matheraum. Ich nehme an, $j$ ist bei Dir die komplexe Einheit? von wegen [mm] $j\cdot [/mm] j = -1$?
Wieso ist denn $z = 1+j$? z ist eine komplexe Variable und kann beliebige Werte annehmen.
Was Du gezeigt hast, indem Du $3+3j$ und $-3-3j$ eingesetzt hast, ist dass $f(z)$ nicht injektiv ist, nicht, dass die Funktion surjektiv ist ^^;
Um zu zeigen, dass $f(z)$ surjektiv ist, musst Du eine beliebige Zahl [mm] $\tilde{z}$ [/mm] des Bildbereichs [mm] $\IC$ [/mm] hernehmen und zeigen, dass es ein $z$ aus dem Definitionsbereich (auch [mm] $\IC$) [/mm] gibt, so dass $f(z) = [mm] \tilde{z}$.
[/mm]
Kennst Du die Darstellung der komplexen Zahlen in Polarkoordinaten? Die würde die Aufgabe extrem vereinfachen. Aber vielleicht hilft Dir obiges ja schon, in die richtige Richtung weiterzuüberlegen.
Gruß,
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Malkem |
genau, wir nehmen in der elektrotechnik das j statt dem i in der komplexen rechnung.
ich hätte vielleicht noch hinzufügen sollen das wir in der vorlesung das z als z = x + jy definiert haben.
surjektive ist doch, wenn zu jedem y [mm] \in [/mm] B mind. ein X [mm] \in [/mm] A existiert.
Hätte ich denn mit der rechnung oben nicht bewiesen das so ist ? ich hätte doch ein Element aus Y das zu zwei Elementen in X führt oder ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:22 Sa 09.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Deine Definition von Surjektivität ist richtig, die Anwendung dieser Definition aber nicht ^^;
Das Problem ist, dass Du Dir ein spezielles $y$ (nämlich $18j$) herausgesucht hast und für dieses eine $y$ gezeigt hast, dass Urbilder existieren. Du musst es aber für alle $y [mm] \in [/mm] B$ zeigen.
Du musst Dir ein beliebiges [mm] $\tilde{z} [/mm] = [mm] \tilde{x}+j\tilde{y}$ [/mm] hernehmen (beliebig heisst: "in einer nicht-einschränkenden Form", nicht "irgendein willkürliches") und zeigen, dass es ein $z = x + jy$ gibt mit
[mm] $z^{2} [/mm] = [mm] (x^2-y^2) [/mm] + 2jxy = [mm] \tilde{x} [/mm] + [mm] j\tilde{y}$.
[/mm]
Das sind zwei Gleichungen für die zwei Unbekannten $x$ und $y$. Wenn du die gelöst hast und die Lösung damit verträglich ist, dass $z$ aus [mm] $\IC$ [/mm] ist, bist Du fertig.
Gruß,
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Sa 09.01.2010 | | Autor: | Malkem |
erstmal danke an dich für die schnellen antworten
jetzt weiss ich endlich was du meinst, ich dachte die ganze zeit wenn eine funktion nicht injektiv ist das sie automatisch surjektiv ist.....
ich werd mir das alles nochmal im skript angucken
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