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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Do 24.09.2009 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Für ein [mm] z\in\IR>0 [/mm] sei x definiert als:
[mm] x:=\wurzel{z+\wurzel{z+\wurzel{z+...}}}
[/mm]
Aufgabe: geben sie eine Iterationsvorschrift zur berechnung von x an und bestimmen sie ein [mm] \alpha\in\IR [/mm] ,sodass die Iterationsvorschrift für alle [mm] x\in[0,\infty) [/mm] konvergiert. |
hallo ihr lieben...
ich verzweifel gerade an dieser aufgabe...
hab schon überall im net gesucht aber find nichts was mir hilft,ich weiß auch gar nicht ob ich die aufgabe nich verstanden habe oder ob ich das generell einfach nicht kann!!!
es wäre super wenn mir jemand sagen könnte, wie ich diese aufgabe löse( die iterationsvorschrift bestimmen)!!!
ich schreibe morgen nämlich meine klausur... :(
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Do 24.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für ein [mm]z\in\IR>0[/mm] sei x definiert als:
>
> [mm]x:=\wurzel{z+\wurzel{z+\wurzel{z+...}}}[/mm]
>
> Aufgabe: geben sie eine Iterationsvorschrift zur berechnung
> von x an und bestimmen sie ein [mm]\alpha\in\IR[/mm] ,sodass die
> Iterationsvorschrift für alle [mm]x\in[0,\infty)[/mm] konvergiert.
> hallo ihr lieben...
> ich verzweifel gerade an dieser aufgabe...
> hab schon überall im net gesucht aber find nichts was mir
> hilft,ich weiß auch gar nicht ob ich die aufgabe nich
> verstanden habe oder ob ich das generell einfach nicht
> kann!!!
> es wäre super wenn mir jemand sagen könnte, wie ich
> diese aufgabe löse( die iterationsvorschrift
> bestimmen)!!!
> ich schreibe morgen nämlich meine klausur... :(
probier's mal mit
[mm] $$x_1:=\sqrt{z},\;\;x_{n+1}=\sqrt{z+x_n}\;\;(n \in \IN)\,.$$
[/mm]
Zu dem [mm] $\alpha$:
[/mm]
> bestimmen sie ein [mm]\alpha\in\IR[/mm] ,sodass die
> Iterationsvorschrift für alle [mm]x\in[0,\infty)[/mm] konvergiert.
Das macht doch keinen Sinn. Sollte da vll. [mm] $[0,\blue{\alpha})$ [/mm] anstatt [mm] $[0,\red{\infty})$, [/mm] oder sollte da vll. [mm] $[\blue{\alpha},\infty)$ [/mm] stehen?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Do 24.09.2009 | | Autor: | simplify |
upps...sorry ja das soll [/alpha, /infty) heißen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Do 24.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> upps...sorry ja das soll [/alpha, /infty) heißen...
und vermutlich sollte es anstatt
> bestimmen sie ein $ [mm] \alpha\in\IR [/mm] $ ,sodass die Iterationsvorschrift für alle $ [mm] \red{x}\in[\alpha,\infty) [/mm] $ konvergiert.
auch heißen:
"...bestimmen sie ein $ [mm] \alpha\in\IR [/mm] $ ,sodass die Iterationsvorschrift für alle $ [mm] \blue{z}\in[\alpha,\infty) [/mm] $ konvergiert."
Oder?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:14 Do 24.09.2009 | | Autor: | simplify |
naja da steht zwar x, aber wenn du meinst das das sonst keinen sinn macht, war wohl mal wieder jemand sehr schlampig bei der formulierung...;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:16 Do 24.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> naja da steht zwar x, aber wenn du meinst das das sonst
> keinen sinn macht, war wohl mal wieder jemand sehr
> schlampig bei der formulierung...;)
[mm] $x\,$ [/mm] wird doch der Grenzwert der Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] sein (welche übrigens von [mm] $z\,$ [/mm] abhängt), sofern diese konvergiert. Du kannst Dir ja auch schonmal überlegen, dass, sollte ein solches [mm] $\alpha$ [/mm] existieren, dann [mm] $\alpha [/mm] > 1$ gelten muss...
P.S.:
Vergiss den letzten Satz mal.. ich hatte da 'nen Denkfehler und muss das neu überdenken ^^
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:18 Do 24.09.2009 | | Autor: | simplify |
achso..hab ich ja ganz vergessen...vielen dank für eure schnellen antworten/hilfe... :)
aber ich hab da so meine probleme beim aufstellen der iterationsvorschriften... ist das ne sache der gehirngröße oder gibts da auch so was wie nen bauplan??
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Also,
angenommen die Folge konvergiert, dann gilt [mm] x^{2}=z+x
[/mm]
[mm] \rightarrow [/mm] allgemeine Iterationsvorschrift
[mm] x=\bruch{z}{x}+1 [/mm] (Konvergenz probier ich grad mit nem Quetschlemma zu beweisen)
Die Annahme ist richtig, da (das Folgende muss man schon kennen) die Rechenvorschrift eine Sonderform der Ramanujan-Identität ist.
[mm] r+n+a=\wurzel{(n+a)^{2}+a*(r+0*n)+(r+0*n)\wurzel{(n+a)^{2}+a*(r+1*n)+(r+1*n)\wurzel...}}, [/mm] wobei r=1, n=0 und [mm] z=a^2+a [/mm] ist.
Somit ist x=1+a und [mm] (1+a)*(1+a-1)=a^{2}+a [/mm] w.A.
Der Beweis geht aber in der Form schon fast auf sich selbst zurück.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:54 Do 24.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> achso..hab ich ja ganz vergessen...vielen dank für eure
> schnellen antworten/hilfe... :)
> aber ich hab da so meine probleme beim aufstellen der
> iterationsvorschriften... ist das ne sache der
> gehirngröße oder gibts da auch so was wie nen bauplan??
naja, Du solltest Dir zuerst mal klar machen, wie die ersten Folgenglieder der Folge [mm] $(x_n)_n$ [/mm] wohl aussehen, dann erkennt man die (rekursive) Vorschrift doch sehr schnell:
[mm] $$x_1=\sqrt{z}$$
[/mm]
[mm] $$x_2=\sqrt{z+\sqrt{z}}=\sqrt{z+x_1}$$
[/mm]
[mm] $$x_3=\sqrt{z+\sqrt{z+\sqrt{z}}}=\sqrt{z+x_2}$$
[/mm]
$$.$$
$$.$$
$$.$$
Außerdem hattest Du schon vorher die Vermutung, dass hier wohl der Banachsche Fixpunktsatz eine Rolle spielt. Woher diese Vermutung stammt, sei jetzt mal egal. Aber Du erkennst oben schon, dass [mm] $\varphi(r):=\sqrt{z+r}$ [/mm] ($r [mm] \ge [/mm] 0$) gesetzt werden kann.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:56 Do 24.09.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hallo,
Die Antwort ist ganz einfach, nur der Beweis der Konvergenz ist daran schwierig, post mal ein-zwei Versuche
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:12 Do 24.09.2009 | | Autor: | simplify |
alsoooo:
[mm] U=[\alpha,\infty)
[/mm]
ich muss ein /alpha finden, für das folgendes gilt:
1. [mm] x_{n+1}= \wurzel{z+x_{n}}=\partial(x) \in [/mm] U , für alle x [mm] \in [/mm] U
2. [mm] |\partial(x) -\partial(y)| \le [/mm] q|x-y| , [mm] q\in [/mm] [0,1); für alle x,y [mm] \inU
[/mm]
außer einsetzen oder zeichnen hab ich da leider nich wirklich nen ansatz...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:18 Do 24.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> alsoooo:
> [mm]U=[\alpha,\infty)[/mm]
> ich muss ein /alpha finden, für das folgendes gilt:
>
> 1. [mm]x_{n+1}= \wurzel{z+x_{n}}=\partial(x) \in[/mm] U , für alle
> x [mm]\in[/mm] U
> 2. [mm]|\partial(x) -\partial(y)| \le[/mm] q|x-y| , [mm]q\in[/mm] [0,1);
> für alle x,y [mm]\inU[/mm]
> außer einsetzen oder zeichnen hab ich da leider nich
> wirklich nen ansatz...
ich versteh' deinen Ansatz nicht. Was ist [mm] $\partial(x)$ [/mm] in diesem Zshg.?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Do 24.09.2009 | | Autor: | simplify |
na ich hab hier nich den richtigen buchstaben gefunden aber so hab ich mal die iterationsvorschrift genannt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:28 Do 24.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> na ich hab hier nich den richtigen buchstaben gefunden aber
> so hab ich mal die iterationsvorschrift genannt...
ah okay.. ich weiß aber immer noch nicht, worauf Du hinaus willst. Irgendwie sieht mir das aus, als wenn Du was mit "Fixpunkten" machen willst. Du solltest schon dazuschreiben, was genau Du eigentlich machen willst. Es gibt ja mehrere Ansätze, um die Konvergenz einer Folge nachzuweisen; natürlich wird nicht immer jeder klappen, und wenn mehrere klappen, gibt's vll. auch einen, der am günstigsten erscheint bzw. sein wird...
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Do 24.09.2009 | | Autor: | simplify |
naja ich hab halt in meinem skript nur den ansatz des banachschen fixpunktsatzes für die konvergenz einer fixpunktiteration gefunden. welche gibt es denn noch??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Do 24.09.2009 | | Autor: | Niladhoc |
Hier ist eine Übersicht,über die ich selbst keine habe^^
http://de.wikipedia.org/wiki/Fixpunktsatz
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 Do 24.09.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> naja ich hab halt in meinem skript nur den ansatz des
> banachschen fixpunktsatzes für die konvergenz einer
> fixpunktiteration gefunden. welche gibt es denn noch??
ich sag' ja auch nicht, dass Du das verwerfen sollst. Sondern Du solltest auch sagen, dass Du z.B. mit ![[]](/images/popup.gif) diesen Satz (Banachscher Fixpunktsatz, Wiki) an die Aufgabe herangehst.
Generell gibt es einen Haufen Sätze, um zu prüfen, ob eine Folge konvergiert, beginnend beim Hauptsatz über monotone Folgen, über Konvergenzuntersuchungen mit Limsup und Liminf (jedenfalls bei Folgen in [mm] $\IR$) [/mm] bis weiß der Geier, wohin... 
Aber insbesondere ist ja - willst Du diesen Satz benützen, auch zu prüfen, ob die Voraussetzungen zur Anwendung dieses Satzes gegeben sind. Und generell gibt es auch andere Sätze, die Aussagen bzgl. eines Fixpunktes liefern. Les' einfach den letzten Link hier.
P.S.:
Ich glaube, Du hattest den Buchstaben [mm] $\varphi$ [/mm] gemeint.
Gruß,
Marcel
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