jacobi-matrix < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Fr 24.06.2005 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Ich habe folgende Aufgaben, bei denen ich nicht weiterkomme:
1) Beweisen Sie, dass für [mm] f\inC^{2}(U), U\subset\IR^{n} [/mm] offen, gilt:
[mm] H_{f}(x)=J_{gradf}(x).
[/mm]
2) Beweisen Sie, dass für [mm] f\inC^{2}(U), U\subset\IR^{n} [/mm] offen, und [mm] v\in\IR^{n} [/mm] gilt: [mm]\bruch{\partial^{2}}{\partial v\partial v}f(x)=v^{T}H_{f}(x)v[/mm].
|
|
| |
|
Hallo, die Hesse Matrix ist in Komponenten definiert als : [mm] $(H_{f}(x))_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x_i \partial x_j}. [/mm] $
Der Gradient einer Funktion $f: [mm] \mathbf{R^n}\to \mathbf{R} [/mm] $ in der i-ten Komponente ist definiert als $(grad\ [mm] f)_{i}=\frac{\partial f}{\partial x_i}.$ [/mm]
Definiere nun die i-te Komponente einer Funktion $g : [mm] \mathbf{R^n}\to\mathbf{R^n}$ [/mm] als [mm] $g_{i}=(grad\ f)_{i}. [/mm] $
Nun kann man die Definition der Jakobimatrix auf $ g=(grad\ f).$ anwenden und erhält das gewünschte Ergebnis:
[mm] $(J_{g})_{ij}=(J_{grad\ f})_{ij}=\frac{\partial g_i}{\partial x_j}=\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial f}{\partial x_i}=(H_{f})_{ij}$
[/mm]
|
|
|
|
