jakobi matrix regulär? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man berechne die Jacobi-Matrix Jf der Funktion f : [mm] R^{3} [/mm] → [mm] R^{3}
[/mm]
$ f(x,y,z) = [mm] \vektor{ x \*cos(y) \*sin (z) \\ x \*sin(y)\* sin(z) \\ x\*cos(z) } [/mm] $
An welchen Punkten ist Jf (x,y,z) regulär? |
hallo nochmal,
ich habe die jacobi matrix berechnet und habe folgendes heraus:
$ Jf= [mm] \pmat{ 1 & -sin(y) & cos(z) \\ 1 & cos(y) & cos(z) \\ 1 & 0 & -sin(z)} [/mm] $
so nun habe ich probleme zu zeigen,
dass sie regulär ist.
Also ich weiß, dass eine Matrix regulär ist, wenn eine Inverse existiert
mit A * [mm] A^{-1} [/mm] = I,
aber wie soll ich das auf irgendwelche Punkte beziehen?
also ich würde jetzt versuchendie Inverse der Matrix zu berechnen,
aber ist das so richtig,
weil ich ja dann keine Punkte oder so angebe,
sondern einfach nur die Inverse berechne!
Könnte mir das jemand bitte erklären was ich tun muss,
und bitte so, dass ich es auch verstehe,
danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:10 Sa 23.06.2007 | | Autor: | barsch |
Hi,
vielleicht hilft dir folgendes weiter:
Regulär bedeutet invertierbar. Damit eine Matrix jedoch invertierbar ist, muss sie vollen Rang haben. Das heißt, die Vektoren müssen linear unabhängig sein.
Im Moment weiß ich auch noch nicht, inwiefern das weiterhelfen könnte, aber wenn mir was einfällt, werde ich es posten.
Aber vielleicht hilft es dir ja.
MfG
barsch
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:52 So 24.06.2007 | | Autor: | wulfstone |
Danke für die schnellen Antworten,
ist wirklich nett,
so du sagtest ich solle die determinante berechnen,
also dann mache ich das mal,
so wie wir gelernt haben,
ich ziehe mir die unterste Zeile heran.
$ det(Jf) = [mm] 1*(-1)^{3+1}* \vmat{ -sin(y) & cos(z) \\ cos(y) & cos(z) } [/mm] + -sin(z) [mm] *(-1)^{3+3} [/mm] * [mm] \vmat{ 1 & -sin(y) \\ 1 & cos(y) } [/mm] $
so und noch zusammenfassen,
dann sieht meine determinante wie folgt aus!
$ det(Jf) = cos(z)(-sin(y)-cos(y)) - sin(z)*(cos(y)+sin(y)) $
so aber egal was ich für z und y einsetze,
es kommt immer ein Wert ungleich 0 heraus,
ist das so richtig und falls ja,
muss ich das noch irgendwie beweisen?
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Hallo wulfstone,
wie kommst du denn eigentlich auf diese Jacobi-Matrix?
Ich habe das mal nachgerechnet und komme auf
[mm] J_f=\pmat{ \cos(y)\sin(z) & -x\sin(y)\sin(z) & x\cos(y)\cos(z)\\ \sin(y)\sin(z) & x\cos(y)\sin(z) & x\sin(y)\cos(z)\\ \cos(z) & 0 & -x\sin(z)}
[/mm]
Damit ergibt sich für die Determinante nach Sarrus:
[mm] $det(J_f)=0\gdw -x(\cos(y)+3x\sin(z))=0\Rightarrow$....
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Regel von Sarrus
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