k-mal stetig differenzierbar < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Di 14.09.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich muss einen Vortrag vorbereiten und in meinem Buch steht folgende Notation:
[mm] $\overline{C}^k(\Omega) [/mm] = [mm] C^k(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$
[/mm]
Dabei ist [mm] C^k(\Omega) [/mm] die Menge der k-mal stetig differenzierbaren Funktionen [mm] f:\Omega\to\IR^n [/mm] und [mm] C(\overline{\Omega}) [/mm] der Raum der stetigen Funktionen [mm] f:\overline{\Omega}\to\IR^n.
[/mm]
Was ist nun der Schnitt davon?
Also der Schnitt von stetigen Funktionen und stetig differenzierbaren Funktionen sind doch stetigen Funktionen, oder?
Und der Schnitt von Funktionen, die von [mm] \Omega [/mm] bzw. [mm] \overline{\Omega} [/mm] nach [mm] \IR^n [/mm] abbilden sind doch Funktionen, die von [mm] \Omega [/mm] nach [mm] \IR^n [/mm] abbilden, oder?
Also hätte ich als Endergebnis für den Schnitt alle stetigen Funktionen [mm] f:\Omega\to\IR^n?
[/mm]
Irgendwie hab ich das Gefühl, dass das keinen Sinn macht, weil in [mm] \overline{C}^k(\Omega) [/mm] das k ja bestimmt für k-mal stetig differenzierbar steht?
Was mache ich falsch?
Dann hab ich noch eine Frage zum Raum: Der Raum der stetigen Funktionen, heißt dass, der Vektorraum der stetigen Funktionen und könnte man dann auch einfach sagen, die Menge der stetigen Funktionen?
Vielen Dank!
LG Nadine
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Guten Abend
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> Hallo zusammen!
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> Ich muss einen Vortrag vorbereiten und in meinem Buch steht
> folgende Notation:
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> [mm]\overline{C}^k(\Omega) = C^k(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})[/mm]
>
> Dabei ist [mm]C^k(\Omega)[/mm] die Menge der k-mal stetig
> differenzierbaren Funktionen [mm]f:\Omega\to\IR^n[/mm] und
> [mm]C(\overline{\Omega})[/mm] der Raum der stetigen Funktionen
> [mm]f:\overline{\Omega}\to\IR^n.[/mm]
>
> Was ist nun der Schnitt davon?
Ich hab diese Notation auch noch nie gesehen, aber wenn ich mir anschaue was da steht dann gilt doch [mm] $\phi \in \overline{C}^k(\Omega)$ [/mm] wenn gilt wenn [mm] $\phi [/mm] | [mm] _{\Omega}$ [/mm] k-mal stetig diffbar ist und [mm] $\phi [/mm] | [mm] _{\overline{\Omega}}$ [/mm] stetig ist, d.h. die Funktion ist überall stetig, und zusätzlich noch auf [mm] $\Omega$ [/mm] k-mal stetig diffbar.
Für mich ist das sowas wie eine stetige Funktion mit der Bedinung auf einem bestimmten Gebiet [mm] (\Omega) [/mm] zusätzlich eine gewisse Glätte zu besitzen.
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> Also der Schnitt von stetigen Funktionen und stetig
> differenzierbaren Funktionen sind doch stetigen Funktionen,
> oder?
>
> Und der Schnitt von Funktionen, die von [mm]\Omega[/mm] bzw.
> [mm]\overline{\Omega}[/mm] nach [mm]\IR^n[/mm] abbilden sind doch Funktionen,
> die von [mm]\Omega[/mm] nach [mm]\IR^n[/mm] abbilden, oder?
>
> Also hätte ich als Endergebnis für den Schnitt alle
> stetigen Funktionen [mm]f:\Omega\to\IR^n?[/mm]
>
> Irgendwie hab ich das Gefühl, dass das keinen Sinn macht,
> weil in [mm]\overline{C}^k(\Omega)[/mm] das k ja bestimmt für k-mal
> stetig differenzierbar steht?
>
> Was mache ich falsch?
>
> Dann hab ich noch eine Frage zum Raum: Der Raum der
> stetigen Funktionen, heißt dass, der Vektorraum der
> stetigen Funktionen und könnte man dann auch einfach
> sagen, die Menge der stetigen Funktionen?
>
> Vielen Dank!
>
> LG Nadine
>
Ich hoffe ich konnte helfen!
lg Kai
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:41 Mi 15.09.2010 | | Autor: | fred97 |
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> Hallo zusammen!
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> Ich muss einen Vortrag vorbereiten und in meinem Buch steht
> folgende Notation:
>
> [mm]\overline{C}^k(\Omega) = C^k(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})[/mm]
>
> Dabei ist [mm]C^k(\Omega)[/mm] die Menge der k-mal stetig
> differenzierbaren Funktionen [mm]f:\Omega\to\IR^n[/mm] und
> [mm]C(\overline{\Omega})[/mm] der Raum der stetigen Funktionen
> [mm]f:\overline{\Omega}\to\IR^n.[/mm]
>
> Was ist nun der Schnitt davon?
>
> Also der Schnitt von stetigen Funktionen und stetig
> differenzierbaren Funktionen sind doch stetigen Funktionen,
> oder?
Nein, es sind die stetig differenzierbaren Funktionen. Aus der Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit !!!
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> Und der Schnitt von Funktionen, die von [mm]\Omega[/mm] bzw.
> [mm]\overline{\Omega}[/mm] nach [mm]\IR^n[/mm] abbilden sind doch Funktionen,
> die von [mm]\Omega[/mm] nach [mm]\IR^n[/mm] abbilden, oder?
>
> Also hätte ich als Endergebnis für den Schnitt alle
> stetigen Funktionen [mm]f:\Omega\to\IR^n?[/mm]
Nein. s.o.
>
> Irgendwie hab ich das Gefühl, dass das keinen Sinn macht,
Doch, das macht Sinn !
> weil in [mm]\overline{C}^k(\Omega)[/mm] das k ja bestimmt für k-mal
> stetig differenzierbar steht?
Richtig.
>
> Was mache ich falsch?
Sei $ [mm] f:\overline{\Omega}\to\IR^n. [/mm] $ gegeben.
Es gilt: f [mm] \in \overline{C}^k(\Omega) \gdw
[/mm]
1. f ist auf [mm] \overline{\Omega} [/mm] stetig
und
2. f ist auf [mm] \Omega [/mm] k-mal partiell differenzierbar und sämtliche partiellen
Ableitungen von f bis zur Ordnung k sind auf [mm] \Omega [/mm] stetig.
FRED
>
> Dann hab ich noch eine Frage zum Raum: Der Raum der
> stetigen Funktionen, heißt dass, der Vektorraum der
> stetigen Funktionen und könnte man dann auch einfach
> sagen, die Menge der stetigen Funktionen?
>
> Vielen Dank!
>
> LG Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mi 15.09.2010 | | Autor: | Pacapear |
Hallo!
> > Also der Schnitt von stetigen Funktionen und stetig
> > differenzierbaren Funktionen sind doch stetigen Funktionen,
> > oder?
>
> Nein, es sind die stetig differenzierbaren Funktionen. Aus
> der Differenzierbarkeit folgt die Stetigkeit !!!
Hmm, irgenwie versteh ich das noch nicht...
Wenn ich die Menge der stetigen Funktionen mit der Menge der stetig differenzierbaren Funktionen schneide...
Stetige Funktionen müssen doch nicht zwangsweise differenzierbar sein, stetig differenzierbare Funktionen sind doch aber sowohl differenzierbar als auch stetig, also ist doch Stetigkeit die Gemeinsamkeit, und damit der Schnitt, oder nicht?
> > Was mache ich falsch?
>
> Sei [mm]f:\overline{\Omega}\to\IR^n.[/mm] gegeben.
>
> Es gilt: f [mm]\in \overline{C}^k(\Omega) \gdw[/mm]
>
> 1. f ist auf [mm]\overline{\Omega}[/mm] stetig
>
> und
>
> 2. f ist auf [mm]\Omega[/mm] k-mal partiell differenzierbar und
> sämtliche partiellen
> Ableitungen von f bis zur Ordnung k sind auf [mm]\Omega[/mm]
> stetig.
Hmm, woher nimmst du, dass [mm] f:\overline{\Omega}\to\IR^n [/mm] gegeben ist?
Das gilt doch nur, wenn $f [mm] \in C(\overline{\Omega})$.
[/mm]
Für $f [mm] \in C^k(\Omega)$ [/mm] gilt ja [mm] f:\Omega\to\IR^n.
[/mm]
Und ich muss ja den Schnitt von beiden nehmen, nämlich [mm] C^k(\Omega) \cap C(\overline{\Omega}) [/mm] , also den Schnitt von stetig auf [mm] \overline{\Omega} [/mm] und k-mal stetig differenzierbar auf [mm] \Omega.
[/mm]
Der Schnitt von stetig und k-mal stetig differenzierbar soll ja k-mal stetig differenzierbar sein, auch wenn ich das noch nicht verstehe, aber was ist denn der Schnitt von [mm] f:\overline{\Omega}\to\IR^n [/mm] und [mm] f:\Omega\to\IR^n?
[/mm]
LG Nadine
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Hallo Nadine,
da tun sich ja einige Lücken auf, die wir mal versuchen wollen zu schliessen:
> Stetige Funktionen müssen doch nicht zwangsweise differenzierbar sein, stetig differenzierbare Funktionen sind doch aber sowohl differenzierbar als auch stetig, also ist doch Stetigkeit die Gemeinsamkeit, und damit der Schnitt, oder nicht?
Fangen wir von vorn an.
Du hast recht, dass stetige Funktionen nicht zwangsweise differenzierbar sein müssen, die Umkehrung gilt jedoch schon.
Stetig differenzierbar bedeutet nicht stetig UND differenzierbar, das würde ja keinen Sinn machen, da ja aus Differenzierbarkeit Stetigkeit sofort folgt und jede Funktion die differenzierbar IMMER auch stetig ist.
Stetig differenzierbar bedeutet, dass die Funktion differenzierbar UND ihre Ableitung stetig ist.
Ist sie sogar k-mal stetig differenzierbar, weisst du, dass sämtliche Ableitungen von $1-k$ existieren und sogar stetig sind!
Nun hast du zwei Räume, nämlich die Funktionen, die auf [mm] \overline{\Omega} [/mm] stetig sind und diejenigen, die auf [mm] \Omega [/mm] differenzierbar sind.
Was ist nun der Schnitt von beiden?
Nunja, die Funktionen, die auf [mm] \Omega [/mm] differenzierbar sind, sind offensichtlich auch auf [mm] \Omega [/mm] stetig, das ist schonmal schön. Sie müssen aber nicht auch auf [mm] \overline{\Omega} [/mm] stetig sein!
Beispielsweise ist $f(x) = [mm] \bruch{1}{x}$ [/mm] auf $(0,1)$ differenzierbar, aber auf [0,1] nicht stetig (egal wie man sie in 0 fortsetzt).
D.h. sie ist in [mm] $C^1((0,1))$ [/mm] aber NICHT in [mm] $C(\overline{(0,1)}) [/mm] = C([0,1])$ und damit auch nicht in [mm] $C^1(\Omega) \cap C(\overline{\Omega})$ [/mm] mit [mm] $\Omega=(0,1)$
[/mm]
Soweit klar?
Ich denke das ist erstmal die Grundlage, um deine weiteren Fragen zu verstehen.
MFG,
Gono.
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