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(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:09 So 09.05.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die kanonisch rationale Form über [mm] \IR [/mm] und die Jordansche Normalform über [mm] \IC [/mm] der Matrix
[mm] \pmat{ -2&5 &-1 &0&6&2 \\ -1& 2 &0 &0&0&1\\ 0& 0 &0&-1&0&-4\\ 0& 0 &0 &0&1&0\\ 0& 0& 0&0&0&-1\\ 0&0 &-1&0&6&0}
[/mm]
und die zugehörigen Transformationsmatrzen. |
Hallöchen,
wollte mal fragen ob mir jemand bei der Suche nach einer geeigneten Basis für die Transformationsmatrizen zu helfen.
Danke an alle, die mir so bereitwillig helfen.
Lösung:
charpol(A)= [mm] (x^2 [/mm] + [mm] 1)^3
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Eigenwerte [mm] x_1 [/mm] = i und [mm] x_2 [/mm] = -i
[mm] \Rightarrow [/mm] Eigenvektoren zum Eigenwert x= i: [mm] v_1=\vektor{2-i\\1\\0\\0\\0\\0} [/mm] und [mm] v_2=\vektor{-0,2 i\\0\\1\\-0,2 i\\0,2\\-0,2 i}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Eigenvektoren zum Eigenwert x= -i: [mm] v_1=\vektor{2+i\\1\\0\\0\\0\\0} [/mm] und [mm] v_2=\vektor{0,2 i\\0\\1\\0,2 i\\0,2\\0,2 i}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 1 mal einen 4x4 und 1 mal einen 2x2 Block
[mm] Rg(A^2-E)=2
[/mm]
[mm] Rg((A^2-E)^2)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Minimalpolynom [mm] m_{A}(x)= (x^2+1)^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] Minimalpolynom [mm] m_{Block1}(x)= (x^2+1)^2 [/mm] und Minimalpolynom [mm] m_{Block2}(x)= (x^2+1)
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
kanonisch rationale Form Q= [mm] \pmat{0&0&0&-1&0&0\\1&0&0&0&0&0\\0&1&0&-1&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&-1\\0&0&0&0&1&0}
[/mm]
[mm] ker(A^2-E) [/mm] = < [mm] e_1, e_2, \vektor{0\\0\\0\\1\\0\\1}, \vektor{0\\0\\1\\0\\5\\0} [/mm] >
[mm] b_1= e_3
[/mm]
[mm] b_2=Ab_1 [/mm] = [mm] \vektor{-1\\0\\0\\0\\0\\-1}
[/mm]
[mm] b_3=A^2b_1=Ab_2= \vektor{0\\0\\4\\0\\1\\0}
[/mm]
[mm] b_4=A^3b_1=...= \vektor{2\\0\\0\\1\\0\\2}
[/mm]
[mm] b_5 [/mm] kann als [mm] e_5 [/mm] oder [mm] e_6 [/mm] gewählt werden und
infolge dessen [mm] b_6 [/mm] = [mm] Ab_5
[/mm]
aber irgendwie komme ich auf keine Lösung die richtig ist, wo ist denn meine Fehler?
So nun zur Jordanschen Normalform:
ich habe für jeden Eigenwert zwei Eigenvektoren also insgesamt vier Blöcke
zu i gibt es einen 2x2 und einen 1x1 block
zu -i genauso
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] J=\pmat{i&0&0&0&0&0\\0&i&0&0&0&0\\0&1&i&0&0&0\\0&0&0&-i&0&0\\0&0&0&1&-i&0\\0&0&0&0&0&-i}
[/mm]
und wie erhalte ich hier diese Transformationsmatrix?
Vielen Dank.
Gruß
Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 12.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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