kanonische Abbildung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die Abbildung i:X->X'' , (i(x))(x')=x'(x) heißt kanonische Abbildung. Auf diese Weise wird X mit einem Unterraum von X'' identifiziert. |
Hallo!
Ich verstehe nicht ganz wie dieses identifizieren gemeint sein soll...In X haben wir ja beliebige Vektoren und in X'' Funktionale?!
Könnte mir das jemand erläutern...habe irgendwie den Eindruck, dass ich es an einer späteren Stelle irgedwo brauche. Und zwar soll aus der Reflexivität von i(X) jene von X folgen. Warum ist das so?
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:32 So 26.09.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Angelika!
> Die Abbildung i:X->X'' , (i(x))(x')=x'(x) heißt kanonische
> Abbildung. Auf diese Weise wird X mit einem Unterraum von
> X'' identifiziert.
> Hallo!
>
> Ich verstehe nicht ganz wie dieses identifizieren gemeint
> sein soll...In X haben wir ja beliebige Vektoren und in X''
> Funktionale?!
Richtig. Genauer gesagt, $X''$ besteht aus den linearen Funktionalen auf $X'$. Die Abbildung $i$ ordnet also jedem Vektor aus $X$ eindeutig ein Element aus $X''$ (ein Funktional auf $X'$) zu. Mehr ist damit nicht gemeint.
Außerdem ist $i$ linear, denn da alle Elemente von $X'$ lineare Funktionale auf X sind, gilt
[mm] (i(x_1+x_2))(x') = x'(x_1+x_2) = x'(x_1)+x'(x_2) = (i(x_1))(x') + (i(x_2))(x') = (i(x_1) + i(x_2))(x')[/mm]
und
[mm] (i(\lambda x))(x') = x'(\lambda x) = \lambda x'(x) = (\lambda i(x))(x') [/mm] .
Also ist das Bild von X unter i ein Vektorraum.
> Könnte mir das jemand erläutern...habe irgendwie den
> Eindruck, dass ich es an einer späteren Stelle irgedwo
> brauche. Und zwar soll aus der Reflexivität von i(X) jene
> von X folgen. Warum ist das so?
Was meinst du mit "Reflexivität von i(X)" ?
X ist reflexiv, wenn i surjektiv und damit ein Isomorphismus ist, denn dann gibt es eine 1-zu-1 Abbildung zwischen den Elementen von X und denen von $X''$.
Viele Grüße
Rainer
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> Richtig. Genauer gesagt, [mm]X''[/mm] besteht aus den linearen
> Funktionalen auf [mm]X'[/mm]. Die Abbildung [mm]i[/mm] ordnet also jedem
> Vektor aus [mm]X[/mm] eindeutig ein Element aus [mm]X''[/mm] (ein Funktional
> auf [mm]X'[/mm]) zu. Mehr ist damit nicht gemeint.
Danke Rainer, dann habe ich das zum Glück richtig verstanden....
>
> Was meinst du mit "Reflexivität von i(X)" ?
>
> X ist reflexiv, wenn i surjektiv und damit ein
> Isomorphismus ist, denn dann gibt es eine 1-zu-1 Abbildung
> zwischen den Elementen von X und denen von [mm]X''[/mm].
Ja so habe ich das gemeint! Es geht eig darum zu zeigen X' refl. <-> X refl. wobei ich nur bei -> Schwierigkeiten habe. Es heißt nämlich:" Mit X' ist wegen -> auch X'' refl. somit(nach einem schon bewiesenen Satz) auch der abgeschlossene Unterraum [mm] i_X(X) [/mm] und darum auch X." Ich verstehe eben nicht ganz wie aus der Reflexivität von [mm] i_X(X) [/mm] jene von X folgt. Übersehe ich da irgedwas oder ist das gar nicht so trivial?(Mit [mm] i_X(X) [/mm] ist das echte Bild von i gemeint)
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mo 27.09.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Angelika!
> > Richtig. Genauer gesagt, [mm]X''[/mm] besteht aus den linearen
> > Funktionalen auf [mm]X'[/mm]. Die Abbildung [mm]i[/mm] ordnet also jedem
> > Vektor aus [mm]X[/mm] eindeutig ein Element aus [mm]X''[/mm] (ein Funktional
> > auf [mm]X'[/mm]) zu. Mehr ist damit nicht gemeint.
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> Danke Rainer, dann habe ich das zum Glück richtig
> verstanden....
>
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> >
> > Was meinst du mit "Reflexivität von i(X)" ?
> >
> > X ist reflexiv, wenn i surjektiv und damit ein
> > Isomorphismus ist, denn dann gibt es eine 1-zu-1 Abbildung
> > zwischen den Elementen von X und denen von [mm]X''[/mm].
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> Ja so habe ich das gemeint! Es geht eig darum zu zeigen X'
> refl. <-> X refl. wobei ich nur bei -> Schwierigkeiten
> habe. Es heißt nämlich:" Mit X' ist wegen -> auch X''
> refl. somit(nach einem schon bewiesenen Satz) auch der
> abgeschlossene Unterraum [mm]i_X(X)[/mm] und darum auch X." Ich
> verstehe eben nicht ganz wie aus der Reflexivität von
> [mm]i_X(X)[/mm] jene von X folgt. Übersehe ich da irgedwas oder ist
> das gar nicht so trivial?(Mit [mm]i_X(X)[/mm] ist das echte Bild
> von i gemeint)
Vergiss nicht, dass [mm] $i_X(X)$ [/mm] und $X$ isomorph sind. Das ist doch der Grund, warum man beide miteinander identifizieren kann.
Viele Grüße
Rainer
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