kartesisches Produkt < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Di 08.10.2013 | | Autor: | merzi |
| Aufgabe | Seien A, B, C, D Mengen.
Zeigen Sie, dass
(A [mm] \times [/mm] B) [mm] \cap [/mm] (C [mm] \times [/mm] D) = (A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \times [/mm] (B [mm] \cap [/mm] D)
gilt |
Ich hab jetzt den Ansatz getroffen:
a [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] b [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] c [mm] \in [/mm] C [mm] \wedge [/mm] d [mm] \in [/mm] D
(a [mm] \in [/mm] A [mm] \wedge [/mm] c [mm] \in [/mm] C) [mm] \wedge [/mm] (b [mm] \in [/mm] B [mm] \wedge [/mm] d [mm] \in [/mm] D)
(A [mm] \cap [/mm] C) [mm] \times [/mm] (B [mm] \cap [/mm] D)
Stimmt das so?
Wie beweise ich das von der anderen Seite?
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo merzi und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Seien A, B, C, D Mengen.
> Zeigen Sie, dass
> (A [mm]\times[/mm] B) [mm]\cap[/mm] (C [mm]\times[/mm] D) = (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\times[/mm] (B [mm]\cap[/mm]
> D)
> gilt
> Ich hab jetzt den Ansatz getroffen:
> a [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] b [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge[/mm] c [mm]\in[/mm] C [mm]\wedge[/mm] d [mm]\in[/mm] D
>
> (a [mm]\in[/mm] A [mm]\wedge[/mm] c [mm]\in[/mm] C) [mm]\wedge[/mm] (b [mm]\in[/mm] B [mm]\wedge[/mm] d [mm]\in[/mm] D)
>
> (A [mm]\cap[/mm] C) [mm]\times[/mm] (B [mm]\cap[/mm] D)
Ich kann dir leider nicht folgen. Du betrachtest insgesamt vier Elemente der Mengen A, B, C und D? Dann steht in der dritten Zeile plötzlich eine Menge, ohne dass du uns verrätst, was mit dieser Menge sein soll. Es fehlt jede Erläuterung, was du glaubst, getan zu haben.
Vorüberlegung: Was bedeutet eigentlich z.B. [mm] $(A\cap C)\times(B\cap [/mm] D)$? Wie ist dieses kartesische Produkt definiert?
Standardmethode, um die Gleichheit zweier Mengen $M$ und $N$ zu zeigen: Zeige nacheinander [mm] $M\subseteq [/mm] N$ und [mm] $M\supseteq [/mm] N$.
Fangen wir also mal mit dem Nachweis von [mm] $(A\times B)\cap(C\times D)\subseteq (A\cap C)\times(B\cap [/mm] D)$ an:
Zu zeigen ist also nach der Definition von "Teilmenge", dass für alle [mm] $x\in(A\times B)\cap (C\times [/mm] D)$ auch [mm] $x\in(A\cap C)\times(B\cap [/mm] D)$ gilt.
Sei also [mm] $x\in(A\times B)\cap(C\times [/mm] D)$. Zu zeigen ist [mm] $x\in(A\cap C)\times (B\cap [/mm] D)$.
Was bedeutet [mm] $x\in(A\times B)\cap (C\times [/mm] D)$? Nach Definition von [mm] $\cap$ [/mm] gerade [mm] $x\in A\times [/mm] B$ und [mm] $x\in C\times [/mm] D$.
Was bedeutet wiederum [mm] $x\in A\times [/mm] B$? Es bedeutet nach Definition des kartesischen Produktes, dass $x=(a,b)$ für ein [mm] $a\in [/mm] A$ und ein [mm] $b\in [/mm] B$ gilt.
Analog bedeutet [mm] $x\in C\times [/mm] D$, dass $x=(c,d)$ für ein [mm] $c\in [/mm] C$ und ein [mm] $d\in [/mm] D$ gilt.
Also $(a,b)=x=(c,d)$. Es folgt $a=c$ und $b=d$. Also gilt auch [mm] $a\in [/mm] C$ und [mm] $b\in [/mm] D$.
Somit folgt [mm] $a\in A\cap [/mm] C$ und [mm] $b\in B\cap [/mm] D$. Also gilt [mm] $x=(a,b)\in(A\cap C)\times(B\cap [/mm] D)$. Genau das war zu zeigen.
Ist dir dieser Beweis von [mm] $(A\times B)\cap(C\times D)\subseteq (A\cap C)\times(B\cap [/mm] D)$ klar? Ansonsten bitte unbedingt nachfragen!
Versuche du dann mal den Beweis von [mm] $(A\times B)\cap(C\times D)\supseteq (A\cap C)\times(B\cap [/mm] D)$.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Di 08.10.2013 | | Autor: | merzi |
Ich verstehe es fast, nur den letzten Schritt habe ich noch nicht verstanden.
> Somit folgt [mm]a\in A\cap C[/mm] und [mm]b\in B\cap D[/mm]. Also gilt
> [mm]x=(a,b)\in(A\cap C)\times(B\cap D)[/mm]. Genau das war zu
> zeigen.
Wie komme ich schlussendlich auf [mm]x=(a,b)\in(A\cap C)\times(B\cap D)[/mm]? Aus welchem Grund das [mm] \times [/mm] zwischen [mm](A\cap C)[/mm] und [mm](B\cap D)[/mm]?
Danke für die Hilfe!
Gruß
Mathias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Somit folgt [mm]a\in A\cap C[/mm] und [mm]b\in B\cap D[/mm]. Also gilt
> > [mm]x=(a,b)\in(A\cap C)\times(B\cap D)[/mm]. Genau das war zu
> > zeigen.
>
> Wie komme ich schlussendlich auf [mm]x=(a,b)\in(A\cap C)\times(B\cap D)[/mm]?
> Aus welchem Grund das [mm]\times[/mm] zwischen [mm](A\cap C)[/mm] und [mm](B\cap D)[/mm]?
Was bedeutet denn [mm] $(A\cap C)\times(B\cap [/mm] D)$?
Nach Definition des kartesischen Produktes gilt
[mm] $(A\cap C)\times(B\cap D)=\{(s,t)\;|\;s\in A\cap C,\;t\in B\cap D\}$.
[/mm]
[mm] $(A\cap C)\times(B\cap [/mm] D)$ ist also die Menge aller Paare, deren erste Komponente Element von [mm] $A\cap [/mm] C$ und deren zweite Komponente ein Element von [mm] $B\cap [/mm] D$ ist.
Nun haben wir überlegt, dass [mm] $a\in A\cap [/mm] C$ und [mm] $b\in B\cap [/mm] D$ gilt. Also ist $(a,b)$ so ein Paar, dessen erste Komponente Element von [mm] $A\cap [/mm] C$ und dessen zweite Komponente ein Element von [mm] $B\cap [/mm] D$ ist. Also gilt tatsächlich [mm] $(a,b)\in(A\cap C)\times(B\cap [/mm] D)$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Di 08.10.2013 | | Autor: | merzi |
Sehr gut. Danke!
Habe es nun auch in die andere Richtung bewiesen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Habe es nun auch in die andere Richtung bewiesen.
Schön! Magst du uns deinen Beweis präsentieren?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Di 08.10.2013 | | Autor: | merzi |
Kartesisches Produkt ist definiert durch [mm](A\times B):=\{(a,b)/a\in A\wedge b\in B\}[/mm]
[mm](A\cap C)\times (B\cap D)[/mm]
[mm]x\in (A\cap C)\wedge y\in (B\cap D)[/mm]
[mm]x\in A\wedge x\in C\wedge y\in B\wedge y\in D[/mm]
Ein bisschen anders anordnen:
[mm]x\in A\wedge y\in B\wedge x\in C\wedge y\in D[/mm]
Daraus folgt:
[mm](A\times B)\cap (C\times D)[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Di 08.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Freut mich, dass du deine Lösung gepostet hast! 
> Kartesisches Produkt ist definiert durch [mm](A\times B):=\{(a,b)/a\in A\wedge b\in B\}[/mm]
>
Sei [mm] $\red{(x,y)\in}$ [/mm]
> [mm](A\cap C)\times (B\cap D)[/mm]
>
Dann folgt
> [mm]x\in (A\cap C)\wedge y\in (B\cap D)[/mm]
und somit
> [mm]x\in A\wedge x\in C\wedge y\in B\wedge y\in D[/mm]
>
> Ein bisschen anders anordnen:
>
> [mm]x\in A\wedge y\in B\wedge x\in C\wedge y\in D[/mm]
>
> Daraus folgt:
>
[mm] $\red{(x,y)\in}$
[/mm]
> [mm](A\times B)\cap (C\times D)[/mm]
Mit den kleinen Ergänzungen von mir stimmt der Beweis!
Beachte insbesondere die rot markierten Ergänzungen. (Einfach eine Menge hinzuschreiben, ohne zu verraten, was mit ihr sein soll, ist nämlich sinnlos.)
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