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hallo, ich soll bei einem kegelschnitt ermitteln, um was für einen graphen es sich handelt. scheinbar habe ich aber einen oder mehrere fehler gemacht, aber kann nichts finden. (der fehler kann erst nach der matrix S kommen, da diese als zwischenlösung vorgegeben wurde und meiner entspricht)
hier die wichtigsten sachen meiner rechnung:
gleichung des kegelschnittes:
[mm] H=\{\vektor{x \\ y} \in \IR^2 | \bruch{8}{5} x^2 + \bruch{12}{5}xy + \bruch{17}{5}y^2 - 4\wurzel{5}x - 6\wurzel{5}y+13=0\}
[/mm]
1. schreiben als
[mm] \vektor{ x\\ y}^T [/mm] A [mm] \vektor{ x\\ y} [/mm] + [mm] b^T \vektor{x \\ y} [/mm] + c = 0 mit [mm] A^T=A
[/mm]
A= [mm] \pmat{ a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2 }
[/mm]
[mm] b=\vektor{ -4\wurzel{5}\\ -6\wurzel{5}}
[/mm]
c=13
[mm] \vektor{ x\\ y}^T [/mm] A [mm] \vektor{ x\\ y}
[/mm]
= [mm] a_1_1x^2 [/mm] + [mm] (a_1_2+a_2_1)xy+a_2_2y^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_1_1=\bruch{5}{8}; a_1_2=\bruch{6}{5}; a_2_1=\bruch{6}{5}; a_2_2=\bruch{17}{5}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A= [mm] \pmat{\bruch{8}{5} & \bruch{6}{5} \\ \bruch{6}{5} & \bruch{17}{5} }
[/mm]
2. drehen
[mm] det\pmat{\bruch{5}{8}-x & \bruch{6}{5} \\ \bruch{6}{5} & \bruch{17}{5}- x }=0
[/mm]
[mm] \gdw x^2-5x+4 [/mm] = 0
eigenwerte: [mm] x_1=4 [/mm] und [mm] x_2=1
[/mm]
eigenvektor: [mm] v_1'=\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
normiert: [mm] v_1=\vektor{\bruch{1}{\wurzel{5}} \\ \bruch{2}{\wurzel{5}}}
[/mm]
eigenvektor: [mm] v_1'=\vektor{-2 \\ 1}
[/mm]
normiert: [mm] v_1=\vektor{-\bruch{2}{\wurzel{5}} \\ \bruch{1}{\wurzel{5}}}
[/mm]
daraus ergibt sich die orthogonale matrix S:
[mm] S=\pmat{ \bruch{1}{\wurzel{5}} & -\bruch{2}{\wurzel{5}}\\ \bruch{2}{\wurzel{5} & \bruch{1}{\wurzel{5}} }}
[/mm]
in der zwischenlösung sind die spalten vertauscht, aber das ist ja egal. wie gesagt, der fehler muss in der folgenden rechnung stecken
transformiere [mm] \vektor{x \\ y}= S\vektor{x' \\ y'}
[/mm]
[mm] \vektor{ x\\ y}^T [/mm] A [mm] \vektor{ x\\ y} [/mm] + [mm] b^T \vektor{x \\ y} [/mm] + c = 0
[mm] \gdw [/mm] (x' y') [mm] S^T [/mm] AS [mm] \vektor{ x'\\ y'} [/mm] + [mm] b^T S\vektor{x' \\ y'} [/mm] + c = 0
[mm] \gdw [/mm] (x' y') [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } \vektor{ x'\\ y'} [/mm] + [mm] \vektor{ -4\wurzel{5}\\ -6\wurzel{5}}^T \pmat{ \bruch{1}{\wurzel{5}} & -\bruch{2}{\wurzel{5}}\\ \bruch{2}{\wurzel{5} & \bruch{1}{\wurzel{5}} }}\vektor{x' \\ y'} [/mm] + c = 0
[mm] \gdw {x'}^2-{16x'}+{y'}^2+2y'+13=0
[/mm]
falls es hilft, das endergebnis wäre eine ellipse mit
[mm] \bruch{{x''}^2}{2^2}+{y''}^2=1
[/mm]
ich finde leider den fehler nicht, ich habe sowas vorher auch noch nie gemacht und wäre wirklich sehr dankbar für hilfe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:33 Sa 17.07.2010 | | Autor: | max3000 |
> hallo, ich soll bei einem kegelschnitt ermitteln, um was
> für einen graphen es sich handelt. scheinbar habe ich aber
> einen oder mehrere fehler gemacht, aber kann nichts finden.
> (der fehler kann erst nach der matrix S kommen, da diese
> als zwischenlösung vorgegeben wurde und meiner
> entspricht)
>
> hier die wichtigsten sachen meiner rechnung:
>
> gleichung des kegelschnittes:
>
> [mm]H=\{\vektor{x \\ y} \in \IR^2 | \bruch{8}{5} x^2 + \bruch{12}{5}xy + \bruch{17}{5}y^2 - 4\wurzel{5} - 6\wurzel{5}y+13=0\}[/mm]
>
> 1. schreiben als
>
> [mm]\vektor{ x\\ y}^T[/mm] A [mm]\vektor{ x\\ y}[/mm] + [mm]b^T \vektor{x \\ y}[/mm]
> + c = 0 mit [mm]A^T=A[/mm]
>
> A= [mm]\pmat{ a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2 }[/mm]
>
> [mm]b=\vektor{ -4\wurzel{5}\\ -6\wurzel{5}}[/mm]
> c=13
>
>
> [mm]\vektor{ x\\ y}^T[/mm] A [mm]\vektor{ x\\ y}[/mm]
> = [mm]a_1_1x^2[/mm] +
> [mm](a_1_2+a_2_1)xy+a_2_2y^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow a_1_1=\bruch{5}{8}; a_1_2=\bruch{6}{5}; a_2_1=\bruch{6}{5}; a_2_2=\bruch{17}{5}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] A= [mm]\pmat{\bruch{5}{8} & \bruch{6}{5} \\ \bruch{6}{5} & \bruch{17}{5} }[/mm]
>
> 2. drehen
>
> [mm]det\pmat{\bruch{5}{8} & \bruch{6}{5} \\ \bruch{6}{5} & \bruch{17}{5} }=x^2-5x+4[/mm]
>
> eigenwerte: [mm]x_1=4[/mm] und [mm]x_2=1[/mm]
>
Ich glaube hier liegt der Fehler.
Du hast die Stellen ausgerechnet, an denen die Determinante = 0 ist.
Das sind aber nicht die Eigentwerte.
Siehe da nochmal nach der Definition.
Du musst alle [mm] \lambda [/mm] ausrechnen für die
[mm] det\pmat{\bruch{5}{8}-\lambda & \bruch{6}{5} \\ \bruch{6}{5} & \bruch{17}{5}-\lambda }=0
[/mm]
ist. Den Rest hab ich noch nicht kontrolliert, weil das das erste ist was mir aufgefallen ist.
Grüße
Max
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> > hallo, ich soll bei einem kegelschnitt ermitteln, um was
> > für einen graphen es sich handelt. scheinbar habe ich aber
> > einen oder mehrere fehler gemacht, aber kann nichts finden.
> > (der fehler kann erst nach der matrix S kommen, da diese
> > als zwischenlösung vorgegeben wurde und meiner
> > entspricht)
> >
> > hier die wichtigsten sachen meiner rechnung:
> >
> > gleichung des kegelschnittes:
> >
> > [mm]H=\{\vektor{x \\ y} \in \IR^2 | \bruch{8}{5} x^2 + \bruch{12}{5}xy + \bruch{17}{5}y^2 - 4\wurzel{5} - 6\wurzel{5}y+13=0\}[/mm]
>
> >
> > 1. schreiben als
> >
> > [mm]\vektor{ x\\ y}^T[/mm] A [mm]\vektor{ x\\ y}[/mm] + [mm]b^T \vektor{x \\ y}[/mm]
> > + c = 0 mit [mm]A^T=A[/mm]
> >
> > A= [mm]\pmat{ a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2 }[/mm]
> >
> > [mm]b=\vektor{ -4\wurzel{5}\\ -6\wurzel{5}}[/mm]
> > c=13
> >
> >
> > [mm]\vektor{ x\\ y}^T[/mm] A [mm]\vektor{ x\\ y}[/mm]
> > = [mm]a_1_1x^2[/mm] +
> > [mm](a_1_2+a_2_1)xy+a_2_2y^2[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow a_1_1=\bruch{5}{8}; a_1_2=\bruch{6}{5}; a_2_1=\bruch{6}{5}; a_2_2=\bruch{17}{5}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] A= [mm]\pmat{\bruch{5}{8} & \bruch{6}{5} \\ \bruch{6}{5} & \bruch{17}{5} }[/mm]
>
> >
> > 2. drehen
> >
> > [mm]det\pmat{\bruch{5}{8} & \bruch{6}{5} \\ \bruch{6}{5} & \bruch{17}{5} }=x^2-5x+4[/mm]
>
> >
> > eigenwerte: [mm]x_1=4[/mm] und [mm]x_2=1[/mm]
> >
>
> Ich glaube hier liegt der Fehler.
> Du hast die Stellen ausgerechnet, an denen die
> Determinante = 0 ist.
> Das sind aber nicht die Eigentwerte.
> Siehe da nochmal nach der Definition.
> Du musst alle [mm]\lambda[/mm] ausrechnen für die
>
> [mm]det\pmat{\bruch{5}{8}-\lambda & \bruch{6}{5} \\ \bruch{6}{5} & \bruch{17}{5}-\lambda }=0[/mm]
>
> ist. Den Rest hab ich noch nicht kontrolliert, weil das das
> erste ist was mir aufgefallen ist.
>
> Grüße
>
> Max
ah, ich habe die matrix nicht vollständig hingeschrieben, tut mir leid.
[mm] det\pmat{\bruch{5}{8}-x & \bruch{6}{5} \\ \bruch{6}{5} & \bruch{17}{5}- x }=0
[/mm]
[mm] \gdw x^2-5x+4 [/mm] = 0
habe es oben ergänzt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 Sa 17.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
es ist [mm] $a_{11} [/mm] = [mm] \bruch{8}{5}$,
[/mm]
das ist der Wert mit dem du auch gerechnet hast.
Die berechneten Eigenwerte und Eigenvektoren stimmen.
Aber $S^TAS = [mm] \pmat{4 & 0 \\ 0 & 1}$ [/mm] (Eigenwerte auf der Diagonalen)
Nach der Drehung ist noch eine Translation nötig, denn die als Lösung angegebene Ellipse hat den Ursprung (0;0) als Schnittpunkt der Hauptachsen.
Gruß meili
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danke, also wäre meine lösung schon eine ellipse? ich weiß nicht, wie ich das richtig überprüfen kann
und wie könnte ich das mit der translation machen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Sa 17.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
Wenn [mm] $\bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}= [/mm] 1$ eine Ellipse um (0;0) ist, so ist [mm] $\bruch{(x+x')^2}{a^2}+\bruch{(y+y')^2}{b^2}= [/mm] 1$ eine verschobene. Nach Ausmultiplizieren der Binomme ergibt sich eine Summe.
In die andere Richtung kommt man mit quadratischer Ergänzung, die man mit c verrechnet.
Gruß meili
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achso, okay, wenn mit translation das gemeint ist, dann habe ich das mittlerweile auch schon versucht, aber ich komme nicht auf diese ellipsen form am ende
[mm] x^2-16x [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + 2y + 13 = 0
[mm] \gdw x^2-16x [/mm] + 64 + [mm] y^2 [/mm] + 2y +1 + 13 -1 -64 = 0
[mm] \gdw [/mm] (x - [mm] 8)^2 [/mm] + [mm] (y+1)^2 [/mm] = 52
edit: habe mich verschrieben, eine 1 wurde hinzugefügt
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:37 So 18.07.2010 | | Autor: | abakus |
> achso, okay, wenn mit translation das gemeint ist, dann
> habe ich das mittlerweile auch schon versucht, aber ich
> komme nicht auf diese ellipsen form am ende
>
> [mm]x^2-16x[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 2y + 13 = 0
> [mm]\gdw x^2-16x[/mm] + 64 + [mm]y^2[/mm] + 2y + 13 -1 -64 = 0
> [mm]\gdw[/mm] (x - [mm]8)^2[/mm] + [mm](y+1)^2[/mm] = 52
Hallo,
du hast 64 addiert und wieder subtrahiert, okay.
Und dann? für die zweite Klammer benötigst du "+1", hast aber "+13" dastehen. Zerlege also 13 in 1+12 und verwende die 1 als zweite Ergänzung.
Gruß Abakus
>
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> > achso, okay, wenn mit translation das gemeint ist, dann
> > habe ich das mittlerweile auch schon versucht, aber ich
> > komme nicht auf diese ellipsen form am ende
> >
> > [mm]x^2-16x[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 2y + 13 = 0
> > [mm]\gdw x^2-16x[/mm] + 64 + [mm]y^2[/mm] + 2y + 13 -1 -64 = 0
> > [mm]\gdw[/mm] (x - [mm]8)^2[/mm] + [mm](y+1)^2[/mm] = 52
> Hallo,
> du hast 64 addiert und wieder subtrahiert, okay.
> Und dann? für die zweite Klammer benötigst du "+1", hast
> aber "+13" dastehen. Zerlege also 13 in 1+12 und verwende
> die 1 als zweite Ergänzung.
> Gruß Abakus
>
> >
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> >
[mm]x^2-16x[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 2y + 13 = 0
[mm]\gdw x^2-16x[/mm] + 64 + [mm]y^2[/mm] + 2y + 1 + 12 -64 = 0
[mm]\gdw[/mm] (x - [mm]8)^2[/mm] + [mm](y+1)^2[/mm] = 52
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 So 18.07.2010 | | Autor: | abakus |
> > > achso, okay, wenn mit translation das gemeint ist, dann
> > > habe ich das mittlerweile auch schon versucht, aber ich
> > > komme nicht auf diese ellipsen form am ende
> > >
> > > [mm]x^2-16x[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 2y + 13 = 0
> > > [mm]\gdw x^2-16x[/mm] + 64 + [mm]y^2[/mm] + 2y + 13 -1 -64 = 0
> > > [mm]\gdw[/mm] (x - [mm]8)^2[/mm] + [mm](y+1)^2[/mm] = 52
> > Hallo,
> > du hast 64 addiert und wieder subtrahiert, okay.
> > Und dann? für die zweite Klammer benötigst du "+1",
> hast
> > aber "+13" dastehen. Zerlege also 13 in 1+12 und verwende
> > die 1 als zweite Ergänzung.
> > Gruß Abakus
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> > >
> [mm]x^2-16x[/mm] + [mm]y^2[/mm] + 2y + 13 = 0
> [mm]\gdw x^2-16x[/mm] + 64 + [mm]y^2[/mm] + 2y + 1 + 12 -64 = 0
> [mm]\gdw[/mm] (x - [mm]8)^2[/mm] + [mm](y+1)^2[/mm] = 52
Hallo,
irgendwo vorher muss da ein Fehler stecken, denn du hast eine Ellipsengleichung zu einer Kreisgleichung gemacht. Vor [mm] x^2 [/mm] und vor [mm] y^2 [/mm] dürfen eigentlich nicht die selben Faktoren stehen.
Ich habe deine Ausgangsgleichung mal mit Geogebra anzeigen lassen, es IST eine Ellipse:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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