"keine LR-Zerlegung" < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:50 Di 09.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Ich soll ein Beispiel angeben, für eine Matrix A [mm] \in GL(2,\IR), [/mm] die keine LR-Zerlegung besitzt.
Das Standardbeispiel ist doch
[mm] A=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
Dies Matrix ist doch invertierbar, nämlich [mm] A^{-1}=\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }, [/mm] und ohne Spaltentausch oder so gibt es doch keine LR-Zerlegung, oder?
Aber da das schon in der Vorlesung vorkam, finde ich es eigentlich komisch...
Oder habe ich etwas falsch gemacht?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Stimmt, das ist in der Tat das klassische Beispiel dafür, dass man i.A. ohne Permutationsmatiruzen nicht auskommt. Vielleicht sollt ihr das ja noch beweisen?
Gäbe es eine Darstellung
[mm] $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ l_{21} & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} r_{11} & r_{12} \\ 0 & r_{22} \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$,
[/mm]
so müssten die folgenden Gleichungen wahr sein:
(1) [mm] $r_{11} [/mm] = 0$
(2) [mm] $r_{12} [/mm] = 1$
(3) [mm] $l_{21} \cdot r_{11} [/mm] = 1$
(4) [mm] $l_{21} \cdot r_{12} [/mm] + [mm] r_{22} [/mm] = 0$.
Offenbar stellen aber die beiden Gleichungen (1) und (3) einen Widerspruch dar.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Mi 10.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Stefan!
Danke für die Zustimmung und den Beweis. Ich hatte es mir zwar selber schon so ausgerechnet, aber jetzt beim Aufschreiben hätte ich den Schmierzettel wohl nicht mehr gefunden, und im Moment wäre ich da glaube ich gar nicht mehr so schnell drauf gekommen. Aber eigentlich ist es ja ganz einfach...
Viele Grüße
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