kern A und invertierbar < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:25 Sa 06.05.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey leute, wir haben hier irgendwoe in einem beweis folgendes verwendet:
Sei A eine Matrix.
[mm] Kern(A)\not= [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] A nicht invertierbar
[mm] Kern(A)\not= [/mm] 0 müsste dann ja bedeuten, dass A nicht vollen Rang hat oder?
aber warum genau ist das so? [mm] Kern(A)\not= [/mm] 0 bedeutet doch eigentlich "nur", dass man A mit links an einen vektor v muliplizieren kann und man erhält den 0-Vektor oder? das geht doch immer wenn man den v einfach auch als den 0 vektor wählt oder? demnach wäre ja keine matrix invertierbar
hier steckt sicherlich ein fehler drin +g+
wäre nett, wenn jemand licht in die sache bringen könnte =)
Gruß Ari
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Sa 06.05.2006 | | Autor: | Janyary |
hallo ari,
zuerst einmal, wenn ueberhaupt lassen sich nur regulaere matrizen invertieren, d.h. Matrizen [mm] \in \IK^{nxn}
[/mm]
sei nun [mm] A\in \IK^{nxn} [/mm] matrix,
dim(Ker(A))=n-rg(A)
Ker(A) sind ja die Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Der Nullvektor selbst ist immer Element des Kerns.
> [mm]Kern(A)\not=[/mm] 0 [mm]\gdw[/mm] A nicht invertierbar
>
> [mm]Kern(A)\not=[/mm] 0 müsste dann ja bedeuten, dass A nicht vollen
> Rang hat oder?
das ist richtig, d.h. es gibt weitere Vektoren verschieden vom Nullvektor, die ebenfalls auf den Kern abgebildet werden.
> aber warum genau ist das so? [mm]Kern(A)\not=[/mm] 0 bedeutet doch
> eigentlich "nur", dass man A mit links an einen vektor v
> muliplizieren kann und man erhält den 0-Vektor oder? das
> geht doch immer wenn man den v einfach auch als den 0
> vektor wählt oder? demnach wäre ja keine matrix
> invertierbar
das hier macht nicht viel Sinn, denn du moechtest ja nicht zeigen, dass nur der Nullvektor auf den Nullvektor abgebildet wird, sondern dass es auch andere Vektoren gibt, die ebenfalls auf den Nullvektor abgebildet werden.
ok vielleicht nochmal zusammengefasst,
A ist invertierbar [mm] \gdw [/mm] rg(A)=n, d.h. A vollen Rang hat [mm] \gdw [/mm] dim(Ker(A))=0, d.h. der Kern von A nur den Nullvektor enthaelt.
hoffe das ist verstaendlich erklaert, ansonsten einfach nochmal fragen ;)
LG Jany
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:10 Sa 06.05.2006 | | Autor: | AriR |
jo ist jetzt klar geworden.. bin nicht drauf gekommen, dass man das mit der dim formel begründen kann
vielen dank :)
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