kettenregel beweis < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Mo 27.09.2004 | | Autor: | souris |
hallo,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich mach meine alternstive lernleistungs feststllung (alf) in mathe mit dem thema verkettung und kettenregel, beim beweis ist mir jedoch was unklar
[mm] \bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0}=\bruch{u[v(x)]-u[v(x)]}{x-x0}
[/mm]
jetzt erweitere ich den term(?) mit v(x)-v(x0) und das ist mein problem, warum erweitere ich?
muss man da eine "idee" haben oder ergibt sich das aus einem grund?
hoffe ich habe nicht allzu verwirrt geschrieben.
wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:31 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Souris,
> hallo,
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> ich mach meine alternstive lernleistungs feststllung (alf)
> in mathe mit dem thema verkettung und kettenregel, beim
> beweis ist mir jedoch was unklar
>
> [mm]\bruch{f(x)-f(x0)}{x-x0}=\bruch{u[v(x)]-u[v(x)]}{x-x0}
[/mm]
Du meinst:
(I) [mm]\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\bruch{u[v(x)]-u[v(x_0)]}{x-x_0}
[/mm]
Bei dir stünde im Zähler rechterhand $u[v(x)]-u[v(x)]$, was $0$ wäre. Aber das ist nur ein Flüchtigkeitsfehler, nehme ich an. 
> jetzt erweitere ich den term(?) mit v(x)-v(x0) und das ist
> mein problem, warum erweitere ich?
> muss man da eine "idee" haben oder ergibt sich das aus
> einem grund?
Naja, die "Hoffnung" ist, das man den Differenzquotienten von $v$ mit einbauen kann. Der Differenzquotient von $v$ sieht ja (bzgl. $x$ und [mm] $x_0$) [/mm] so aus:
[m]\bruch{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}[/m].
(Und das [mm] $x-x_0$ [/mm] steht in (I) ja schon rechterhand im Nenner, aber das [m]v(x)-v(x_0)[/m] "fehlt" noch im Zähler.)
Ich denke, dir ist der Zusammenhang zwischen dem Diff'quotienten und der Ableitung bekannt.
> hoffe ich habe nicht allzu verwirrt geschrieben.
Nein! 
> wäre echt nett wenn mir jemand helfen könnte.
Hoffe, dass dir meine Antwort etwas weiterhilft.
Liebe Grüße
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Mo 27.09.2004 | | Autor: | souris |
ja war nur ein flüchtigkeitsfehler
wenn ich dass jetzt richtg verstanden habe, füge ich $ [mm] v(x)-v(x_0) [/mm] $ nur ein, mit der begründung, dass ich es im zähler brauche und da ich es nicht nur multiplizieren darf, muss ich es halt erweitern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:04 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Souris,
> ja war nur ein flüchtigkeitsfehler
>
>
> wenn ich dass jetzt richtg verstanden habe, füge ich
> [mm]v(x)-v(x_0)[/mm] nur ein, mit der begründung, dass ich es im
> zähler brauche und da ich es nicht nur multiplizieren darf,
> muss ich es halt erweitern?
Ja, so habe ich das gemeint.
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Mo 27.09.2004 | | Autor: | souris |
danke :)
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Hi.
Du darfst überhaupt nicht mit [mm] $v(x)-v(x_0)$ [/mm] erweitern, da du dabei voraussetzt, dass v(x) in einer gewissen punktierten Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] nicht mit [mm] $v(x_0)$ [/mm] übereinstimmt, was jedoch im Allgemeinen nicht gegeben ist.
Bist du alleine auf diese Idee gekommen oder hat dir dein Lehrer ausdrücklich diesen Pseudeobeweis vorgegeben (in der Schule soll sowas ja vorkommen)?
Gruß
Philipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:34 Mo 27.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Philipp,
> Hi.
> Du darfst überhaupt nicht mit [mm]v(x)-v(x_0)[/mm] erweitern, da du
> dabei voraussetzt, dass v(x) in einer gewissen punktierten
> Umgebung von [mm]x_0[/mm] nicht mit [mm]v(x_0)[/mm] übereinstimmt,
Okay, das sehe ich ein, allerdings könnte man ja den Fall, dass die Funktion $v$ auf einer gewissen Umgebung von [mm] $x_0$ [/mm] konstant ist, gesondert betrachten und den Beweis dann per Fallunterscheidung weiterführen.
(Beachte, dass $v$ in [m]x_0[/m] diff'bar sein muss, d.h. der Limes von [m]\bruch{v(x)-v(x_0)}{x-x_0}[/m] bei $x [mm] \rightarrow x_0$ [/mm] muss existieren!)
editiert von Marcel um 22:28 Uhr:
Zu dem jetzt durchgestrichenen Text:
Ohje, da habe ich mir das Leben zu einfach gemacht :
Wäre $v$ etwa definiert wie folgt:
$v: [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] definiert durch:
$v(x):=x²$, falls $x [mm] \in \IQ$ [/mm] und
$v(x):=0$, falls $x [mm] \in \IR \setminus \IQ$,
[/mm]
so wäre $v$ in [mm] $x_0=0$ [/mm] diff'bar (d.h. der Limes von [m]\bruch{v(x)-v(0)}{x-0}[/m] bei $x [mm] \rightarrow [/mm] 0$ würde existieren; genauer: dieser Grenzwert hat den Wert $0$), aber $v$ wäre in keiner Umgebung von [mm] $x_0=0$ [/mm] konstant $v(0)=0$. Für irrationale $x$ jedoch wäre stets $v(x)-v(0)=0-0=0$.
Man darf die Fallunterscheidung also nicht nur auf Umgebungen von [mm] $x_0$, [/mm] auf denen $v$ konstant ist, reduzieren (so wie ich das zuerst vorhatte), sondern man muss sie so formulieren, wie sie in der Aufgabenstellung steht (siehe Mitteilung von souris bzw. den Einwand von Philipp). ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") , mein Fehler!
editiert am 28.09.2004 umd 21:13 Uhr:
Allerdings wird der Beweis am Ende sowieso sehr unschön, weil man etwas benutzt, was man zu sehen glaubt, aber keinen formalen Beweis dafür hat (zumindest habe ich in Schulbüchern noch nie einen dazu gesehen).
nachträglich durchgestrichen, denn:
Das dachte ich gestern, aber jetzt habe ich nochmal nachgeguckt und gesehen, dass mein Gedächtnis mich getrübt hatte!
> was jedoch
> im Allgemeinen nicht gegeben ist.
> Bist du alleine auf diese Idee gekommen oder hat dir dein
> Lehrer ausdrücklich diesen Pseudeobeweis vorgegeben (in der
> Schule soll sowas ja vorkommen)?
Ja, soll vorkommen!
> Gruß
> Philipp
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:47 Mo 27.09.2004 | | Autor: | souris |
> (Beachte, dass [mm]v[/mm] in [m]x_0[/m] diff'bar sein muss, d.h. der Limes von $ [mm] \bruch{v(x)-v(x_0)}{x-x_0} [/mm] $ bei $ x [mm] \rightarrow x_0 [/mm] $ muss existieren!)
>
steht als gegeben drin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:01 Di 28.09.2004 | | Autor: | Philipp-ER |
Hi Marcel.
Das v, das du definiert hast, entspricht genau dem, was ich meinte.
Es mag sein, dass solch pathologische Funktionen nicht unbedingt von praktischem Interesse sind, aber wenn man die Kettenregel ohne irgendwelche Einschränkungen formuliert, kann man im Beweis nicht plötzlich nur den Sonderfall einer "braven" inneren Funktion betrachten.
Ich sehe übrigens nicht, wie man bei diesem Ansatz mit einer Fallunterscheidung zu Rande kommen soll, da ich keine Idee habe, wie sich über den Differenzenquotient tatsächlich ein sauberer, den pathologischen Fall beinhaltender Beweis erbringen lässt (normalerweise beweist man die Kettenregel ja über einen ganz anderen Weg). Hast du dafür vielleicht eine Idee?
Gruß
Philipp
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Di 28.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Philipp!
Du hast vollkommen Recht. Man kann diesen Ansatz nicht retten, er ist von Grund auf falsch.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:19 Di 28.09.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Philipp,
> Hi Marcel.
> Das v, das du definiert hast, entspricht genau dem, was
> ich meinte.
> Es mag sein, dass solch pathologische Funktionen nicht
> unbedingt von praktischem Interesse sind, aber wenn man die
> Kettenregel ohne irgendwelche Einschränkungen formuliert,
> kann man im Beweis nicht plötzlich nur den Sonderfall einer
> "braven" inneren Funktion betrachten.
Ja, mir wurde das erst etwas später klar.
Das war aber generell gestern nicht mein Tag, denn zuerst hatte ich $v$ anders definiert (anstelle des $x²$ hatte ich ein $x$ stehen, und dann wäre $v$ in [mm] $x_0=0$ [/mm] gar nicht diff'bar gewesen; Paul(us) hatte aber den Fehler sofort entdeckt, als ich ihn gebeten hatte, das ganze nochmal schnell zu kontrollieren; Danke nochmal, Paul!!! ).
> Ich sehe übrigens nicht, wie man bei diesem Ansatz mit
> einer Fallunterscheidung zu Rande kommen soll, da ich keine
> Idee habe, wie sich über den Differenzenquotient
> tatsächlich ein sauberer, den pathologischen Fall
> beinhaltender Beweis erbringen lässt (normalerweise beweist
> man die Kettenregel ja über einen ganz anderen Weg). Hast
> du dafür vielleicht eine Idee?
Nein, leider nicht. Ich hätte den Text vielleicht ändern sollen, denn so, wie er momentan in dem Thread steht, könnte man tatsächlich auf die Idee kommen, dass man diesen hier erwähnten Fall vielleicht "leichter als gewohnt" beweisen könnte.
Ich lasse den Text jetzt dennoch so stehen, denn man kann das auch so betrachten:
Diesen ersten Fall (also den Fall mit den Voraussetzungen von souris) kann man so beweisen, wie es bei souris steht [mm] ($\rightarrow$ [/mm] geeignet für Schüler, jedenfalls im Grundkurs ).
Für den anderen Fall muss man den 'anderen' Beweis (der, der mithilfe der Zerlegungsformel geführt wird) der Kettenregel heranziehen [mm] ($\rightarrow$ [/mm] geeignet für LK bzw. Uni oder FH).
Es wäre also eine Art "pädagogische" Fallunterscheidung, auf die man natürlich verzichten könnte, wenn man nur den 'anderen' Beweis (mithilfe der Zerlegungsformel) der Kettenregel vorführen will.
Übrigens, jetzt wo du darauf hingewiesen hattest:
Damals wollte ich meinen Prof. in bzw. nach der Vorlesung fragen, warum man den Beweis nicht anders führen kann; ähnlich, wie souris das hier vorgeschlagen hatte (da kommt aber später, sofern ich mich recht erinnere, noch ein weiteres Problem; ist aber momentan egal edit: Habe mich falsch erinnert! ).
Offenbar hatte ich das vergessen.
Dank dir kenne ich nun einen wirklich vernünftigen Grund, warum man diesen "Pseudo-Beweis" am besten verwerfen sollte (wenn man keine Einschränkungen vornehmen will, so wie das bei souris vorausgesetzt war).
Ist doch immer wieder schön, wenn einem ein Licht auf geht ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") und man wieder etwas gelernt hat, was im Gedächtnis bleibt.
Ich denke, das werde ich nun auch nicht mehr vergessen, denn meine Funktion $v$, so wie sie jetzt da steht, hatte ich schon mal an anderen Stellen zum Vorschein gebracht (weiß aber nicht mehr, worum es da genau ging; sie war ein Gegenbeispiel für irgendeine Behauptung...).
> Gruß
> Philipp
Liebe Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Mo 27.09.2004 | | Autor: | souris |
@philipp-ER
steht so in meinem mathebuch drin, allerdings auch folgende bemerkung:
Diese Herleitung der KEttenregel gilt nur für solche Funktionen, bei denen in einer hinreichend kleinen Umgebung von x0 die differenz v(x)-v(x0) [mm] \not= [/mm] 0 ist.
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